Homomorfismo

En álgebra , un homomorfismo es una aplicación que preserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (como dos grupos , dos anillos o dos espacios vectoriales ). La palabra homomorfismo proviene del griego antiguo : ὁμός ( homos ) que significa "igual" y μορφή ( morphe ) que significa "forma" o "figura". Sin embargo, la palabra aparentemente se introdujo en matemáticas debido a una (mala) traducción del alemán ähnlich, que significa "similar", a ὁμός, que significa "igual". ^[¹^] El término "homomorfismo" apareció ya en 1892, cuando se le atribuyó al matemático alemán Felix Klein (1849-1925). ^[²^]

Los homomorfismos de espacios vectoriales también se denominan aplicaciones lineales , y su estudio es objeto de estudio del álgebra lineal .

El concepto de homomorfismo se ha generalizado, bajo el nombre de morfismo , a muchas otras estructuras que o bien no tienen un conjunto subyacente, o bien no son algebraicas. Esta generalización es el punto de partida de la teoría de categorías .

Un homomorfismo también puede ser un isomorfismo , un endomorfismo , un automorfismo , etc. (véase más abajo). Cada uno de ellos puede definirse de forma que se generalice a cualquier clase de morfismos.

Definición

Un homomorfismo es una aplicación entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (por ejemplo, dos grupos, dos cuerpos, dos espacios vectoriales) que preserva las operaciones de las estructuras. Esto significa una aplicación $f:A\to B$ entre dos conjuntos $A$ , $B$ equipado con la misma estructura de tal manera que, si $\cdot$ es una operación de la estructura (suponiendo aquí, para simplificar, que es una operación binaria ), entonces

$f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$

por cada par $x$ , $y$ de elementos de $A$ . ^{[ nota 1 ]} Se suele decir que $f$ preserva el funcionamiento o es compatible con el funcionamiento.

Formalmente, un mapa $f:A\to B$ preserva una operación $\mu$ de aridad $k$ , definido en ambos $A$ y $B$ si

$f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),$

para todos los elementos $a_{1},...,a_{k}$ en $A$ .

Las operaciones que deben conservarse en un homomorfismo incluyen las operaciones 0-arias , es decir, las constantes. En particular, cuando el tipo de estructura requiere un elemento identidad , este debe asignarse al elemento identidad correspondiente de la segunda estructura.

Por ejemplo:

Un homomorfismo de semigrupos es una aplicación entre semigrupos que preserva la operación de semigrupo.
Un homomorfismo de monoides es una aplicación entre monoides que preserva la operación de monoide y asigna el elemento identidad del primer monoide al del segundo monoide (el elemento identidad es una operación 0-aria ).
Un homomorfismo de grupos es una aplicación entre grupos que conserva la operación de grupo. Esto implica que el homomorfismo de grupos asigna el elemento identidad del primer grupo al elemento identidad del segundo grupo, y asigna el inverso de un elemento del primer grupo al inverso de la imagen de dicho elemento. Por lo tanto, un homomorfismo de semigrupos entre grupos es necesariamente un homomorfismo de grupos.
Un homomorfismo de anillos es una aplicación entre anillos que conserva la suma de anillos, la multiplicación de anillos y la identidad multiplicativa . La conservación de la identidad multiplicativa depende de la definición de anillo que se utilice. Si la identidad multiplicativa no se conserva, se trata de un homomorfismo rng .
Una aplicación lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales ; es decir, un homomorfismo de grupos entre espacios vectoriales que preserva la estructura de grupo abeliano y la multiplicación escalar .
Un homomorfismo de módulos , también llamado aplicación lineal entre módulos , se define de manera similar.
Un homomorfismo algebraico es una aplicación que preserva las operaciones algebraicas .

Una estructura algebraica puede tener más de una operación, y se requiere un homomorfismo para preservar cada una de ellas. Por lo tanto, una aplicación que preserva solo algunas de las operaciones no es un homomorfismo de la estructura, sino únicamente un homomorfismo de la subestructura obtenida al considerar solo las operaciones preservadas. Por ejemplo, una aplicación entre monoides que preserva la operación monoide pero no el elemento identidad, no es un homomorfismo de monoides, sino únicamente un homomorfismo de semigrupos.

La notación para las operaciones no tiene por qué ser la misma en el origen y el destino de un homomorfismo. Por ejemplo, los números reales forman un grupo para la suma, y los números reales positivos forman un grupo para la multiplicación. La función exponencial

$x\mapsto e^{x}$

Satisface

$e^{x+y}=e^{x}e^{y},$

y es, por lo tanto, un homomorfismo entre estos dos grupos. Incluso es un isomorfismo (véase más abajo), ya que su función inversa , el logaritmo natural , satisface

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),$ y también es un homomorfismo de grupo.

Ejemplos

{\displaystyle f} — homomorfismo monoide $f$ del monoide $(N, +, 0)$ al monoide $($ $N$ $, \times, 1)$ , definido por $f(x)=2^{x}$ Es inyectiva , pero no sobreyectiva .

Los números reales forman un anillo , que incluye tanto la suma como la multiplicación. El conjunto de todas las matrices de 2×2 también es un anillo, bajo la suma y la multiplicación de matrices . Si definimos una función entre estos anillos de la siguiente manera:

$f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}$

donde $r$ es un número real, entonces $f$ es un homomorfismo de anillos, ya que $f$ preserva tanto la suma:

$f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)$

y la multiplicación:

$f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).$

Por ejemplo, los números complejos distintos de cero forman un grupo bajo la operación de multiplicación, al igual que los números reales distintos de cero. (El cero debe excluirse de ambos grupos ya que no tiene un inverso multiplicativo , que es necesario para los elementos de un grupo). Definir una función $f$ de los números complejos distintos de cero a los números reales distintos de cero mediante

$f(z)=|z|.$

Eso es, $f$ es el valor absoluto (o módulo) del número complejo $z$ . Entonces $f$ es un homomorfismo de grupos, ya que preserva la multiplicación:

$f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).$

Nótese que $f$ no puede extenderse a un homomorfismo de anillos (de los números complejos a los números reales), ya que no conserva la suma:

$|z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.$

Como otro ejemplo, el diagrama muestra un homomorfismo de monoide. $f$ del monoide $(\mathbb {N} ,+,0)$ al monoide $(\mathbb {N} ,\times ,1)$ Debido a los diferentes nombres de las operaciones correspondientes, las propiedades de preservación de la estructura satisfechas por $f$ equivaler a $f(x+y)=f(x)\times f(y)$ y $f(0)=1$ .

Un álgebra de composición $A$ sobre un campo $F$ tiene una forma cuadrática , llamada norma , $N:A\to F$ , que es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de $A$ al grupo multiplicativo de $F$ .

homomorfismos especiales

Varios tipos de homomorfismos tienen un nombre específico, que también se define para los morfismos generales .

Isomorfismo

Un isomorfismo entre estructuras algebraicas del mismo tipo se define comúnmente como un homomorfismo biyectivo . ^{[ 3 ]}^{: 134}^{[ 4 ]}^{: 28}

En el contexto más general de la teoría de categorías , un isomorfismo se define como un morfismo que tiene un inverso que también es un morfismo. En el caso específico de las estructuras algebraicas, ambas definiciones son equivalentes, aunque pueden diferir para las estructuras no algebraicas, que poseen un conjunto subyacente.

Más precisamente, si

$f:A\to B$

es un (homo)morfismo, tiene un inverso si existe un homomorfismo

$g:B\to A$

de tal manera que

$f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.$

Si $A$ y $B$ tienen conjuntos subyacentes y $f:A\to B$ tiene un inverso $g$ , entonces $f$ es biyectivo. De hecho, $f$ es inyectivo , como $f(x)=f(y)$ implica $x=g(f(x))=g(f(y))=y$ , y $f$ es sobreyectiva , como, para cualquier $x$ en $B$ , uno tiene $x=f(g(x))$ , y $x$ es la imagen de un elemento de $A$ .

Por el contrario, si $f:A\to B$ es un homomorfismo biyectivo entre estructuras algebraicas, sea $g:B\to A$ sea el mapa tal que $g(y)$ es el elemento único $x$ de $A$ de tal manera que $f(x)=y$ Uno tiene $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ and }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},$ y solo queda demostrar que $g$ es un homomorfismo. Si $*$ es una operación binaria de la estructura, para cada par $x$ , $y$ de elementos de $B$ , uno tiene

$g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),$

y $g$ es, por lo tanto, compatible con $*.$ Como la demostración es similar para cualquier aridad , esto muestra que $g$ es un homomorfismo.

Esta demostración no funciona para estructuras no algebraicas. Por ejemplo, para espacios topológicos , un morfismo es una aplicación continua , y la inversa de una aplicación continua biyectiva no es necesariamente continua. Un isomorfismo de espacios topológicos, llamado homeomorfismo o aplicación bicontinua, es, por lo tanto, una aplicación continua biyectiva, cuya inversa también es continua.

Endomorfismo

Un endomorfismo es un homomorfismo cuyo dominio es igual al codominio , o, más generalmente, un morfismo cuya fuente es igual a su destino. ^{[ 3 ]}^{: 135}

Los endomorfismos de una estructura algebraica, o de un objeto de una categoría , forman un monoide bajo composición.

Los endomorfismos de un espacio vectorial o de un módulo forman un anillo . En el caso de un espacio vectorial o un módulo libre de dimensión finita , la elección de una base induce un isomorfismo de anillos entre el anillo de endomorfismos y el anillo de matrices cuadradas de la misma dimensión.

Automorfismo

Un automorfismo es un endomorfismo que también es un isomorfismo. ^{[ 3 ]}^{: 135}

Los automorfismos de una estructura algebraica o de un objeto de una categoría forman un grupo bajo composición, que se denomina grupo de automorfismos de la estructura.

Muchos grupos que han recibido un nombre son grupos de automorfismos de alguna estructura algebraica. Por ejemplo, el grupo lineal general. $\operatorname {GL} _{n}(k)$ es el grupo de automorfismos de un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un campo $k$ .

Los grupos de automorfismos de cuerpos fueron introducidos por Évariste Galois para estudiar las raíces de los polinomios y son la base de la teoría de Galois .

Monomorfismo

Para estructuras algebraicas, los monomorfismos se definen comúnmente como homomorfismos inyectivos . ^{[ 3 ]}^{: 134}^{[ 4 ]}^{: 29}

En el contexto más general de la teoría de categorías , un monomorfismo se define como un morfismo que es cancelable por la izquierda . ^{[ 5 ]} Esto significa que un (homo)morfismo $f:A\to B$ es un monomorfismo si, para cualquier par $g$ , $h$ de morfismos de cualquier otro objeto $C$ a $A$ , entonces $f\circ g=f\circ h$ implica $g=h$ .

Estas dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para todas las estructuras algebraicas comunes. Más precisamente, son equivalentes para los cuerpos , para los cuales todo homomorfismo es un monomorfismo, y para las variedades de álgebra universal , es decir, estructuras algebraicas para las cuales las operaciones y los axiomas (identidades) se definen sin ninguna restricción (los cuerpos no forman una variedad, ya que el inverso multiplicativo se define como una operación unaria o como una propiedad de la multiplicación, las cuales, en ambos casos, se definen solo para elementos distintos de cero).

En particular, las dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para conjuntos , magmas , semigrupos , monoides , grupos , anillos , cuerpos , espacios vectoriales y módulos .

Un monomorfismo dividido es un homomorfismo que tiene un inverso izquierdo y, por lo tanto, es a su vez un inverso derecho de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo $f\colon A\to B$ es un monomorfismo dividido si existe un homomorfismo $g\colon B\to A$ de tal manera que $g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.$ Un monomorfismo escindido es siempre un monomorfismo, en ambos sentidos de la palabra . Para conjuntos y espacios vectoriales, todo monomorfismo es un monomorfismo escindido, pero esta propiedad no se cumple para la mayoría de las estructuras algebraicas comunes.

Epimorfismo

En álgebra , los epimorfismos se definen a menudo como homomorfismos sobreyectivos . ^{[ 3 ]}^{: 134}^{[ 4 ]}^{: 43} Por otro lado, en teoría de categorías , los epimorfismos se definen como morfismos cancelables por la derecha . ^[⁵^] Esto significa que un (homo)morfismo $f:A\to B$ es un epimorfismo si, para cualquier par $g$ , $h$ de morfismos de $B$ a cualquier otro objeto $C$ la igualdad $g\circ f=h\circ f$ implica $g=h$ .

Un homomorfismo sobreyectivo siempre es cancelable por la derecha, pero lo contrario no siempre es cierto para las estructuras algebraicas. Sin embargo, las dos definiciones de epimorfismo son equivalentes para conjuntos , espacios vectoriales , grupos abelianos , módulos (véase más adelante la demostración) y grupos . ^{[ 6 ]} La importancia de estas estructuras en todas las matemáticas, especialmente en el álgebra lineal y el álgebra homológica , puede explicar la coexistencia de dos definiciones no equivalentes.

Las estructuras algebraicas para las que existen epimorfismos no sobreyectivos incluyen semigrupos y anillos . El ejemplo más básico es la inclusión de los enteros en los números racionales , que es un homomorfismo de anillos y de semigrupos multiplicativos. Para ambas estructuras es un monomorfismo y un epimorfismo no sobreyectivo, pero no un isomorfismo. ^{[ 5 ]}^{[ 7 ]}

Una generalización amplia de este ejemplo es la localización de un anillo mediante un conjunto multiplicativo. Toda localización es un epimorfismo de anillo, que, en general, no es sobreyectivo. Dado que las localizaciones son fundamentales en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica , esto podría explicar por qué en estas áreas se prefiere la definición de epimorfismos como homomorfismos cancelables por la derecha.

Un epimorfismo dividido es un homomorfismo que tiene un inverso derecho y, por lo tanto, es a su vez un inverso izquierdo de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo $f\colon A\to B$ es un epimorfismo dividido si existe un homomorfismo $g\colon B\to A$ de tal manera que $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.$ Un epimorfismo escindido siempre es un epimorfismo, en ambos sentidos de la palabra . Para conjuntos y espacios vectoriales, todo epimorfismo es un epimorfismo escindido, pero esta propiedad no se cumple para la mayoría de las estructuras algebraicas comunes.

En resumen, uno tiene

${\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};$

La última implicación es una equivalencia para conjuntos, espacios vectoriales, módulos, grupos abelianos y grupos; la primera implicación es una equivalencia para conjuntos y espacios vectoriales.

Núcleo

Cualquier homomorfismo $f:X\to Y$ define una relación de equivalencia $\sim$ en $X$ por $a\sim b$ si y solo si $f(a)=f(b)$ . La relación $\sim$ se llama el núcleo de $f$ . Es una relación de congruencia en $X$ El conjunto cociente $X/{\sim }$ Luego se le puede dar una estructura del mismo tipo que $X$ , de forma natural, definiendo las operaciones del conjunto cociente por $[x]\ast [y]=[x\ast y]$ , para cada operación $\ast$ de $X$ . En ese caso la imagen de $X$ en $Y$ bajo el homomorfismo $f$ es necesariamente isomorfo a $X/\!\sim$ ; este hecho es uno de los teoremas de isomorfismo .

Cuando la estructura algebraica es un grupo para alguna operación, la clase de equivalencia $K$ del elemento identidad de esta operación es suficiente para caracterizar la relación de equivalencia. En este caso, el cociente por la relación de equivalencia se denota por $X/K$ (generalmente se lee como " $X$ mod $K$ "). También en este caso, es $K$ , en vez de $\sim$ , que se llama el núcleo de $f$ Los núcleos de los homomorfismos de un tipo dado de estructura algebraica están naturalmente dotados de alguna estructura. Este tipo de estructura de los núcleos es el mismo que la estructura considerada, en el caso de grupos abelianos , espacios vectoriales y módulos , pero es diferente y ha recibido un nombre específico en otros casos, como subgrupo normal para los núcleos de homomorfismos de grupos e ideales para los núcleos de homomorfismos de anillos (en el caso de anillos no conmutativos, los núcleos son los ideales de dos lados ).

Estructuras relacionales

En la teoría de modelos , la noción de estructura algebraica se generaliza a estructuras que involucran tanto operaciones como relaciones. Sea L una signatura que consta de símbolos de función y relación, y A y B dos L -estructuras. Entonces, un homomorfismo de A a B es una aplicación h del dominio de A al dominio de B tal que

h ( F ^A ( a ₁ ,..., a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),..., h ( a _n )) para cada símbolo de función n -aria F en L ,
R ^A ( a ₁ ,..., a _n ) implica R ^B ( h ( a ₁ ),..., h ( a _n )) para cada símbolo de relación n- aria R en L .

En el caso especial con una sola relación binaria, obtenemos la noción de homomorfismo de grafos . ^{[ 8 ]}

teoría del lenguaje formal

Los homomorfismos también se utilizan en el estudio de los lenguajes formales ^{[ 9 ]} y a menudo se les denomina brevemente morfismos . ^{[ 10 ]} Alfabetos dados $\Sigma _{1}$ y $\Sigma _{2}$ , una función $h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}$ de tal manera que $h(uv)=h(u)h(v)$ a pesar de $u,v\in \Sigma _{1}$ se llama homomorfismo en $\Sigma _{1}^{*}$ . ^{[ nota 2 ]} Si $h$ es un homomorfismo en $\Sigma _{1}^{*}$ y $\varepsilon$ denota la cadena vacía, entonces $h$ se llama un $\varepsilon$ homomorfismo libre de -cuando $h(x)\neq \varepsilon$ a pesar de $x\neq \varepsilon$ en $\Sigma _{1}^{*}$ .

Un homomorfismo $h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}$ en $\Sigma _{1}^{*}$ que satisface $|h(a)|=k$ a pesar de $a\in \Sigma _{1}$ se llama un $k$ -homomorfismo uniforme . ^{[ 11 ]} Si $|h(a)|=1$ a pesar de $a\in \Sigma _{1}$ (eso es, $h$ es 1-uniforme), entonces $h$ También se le llama codificación o proyección .

El conjunto $\Sigma ^{*}$ de palabras formadas a partir del alfabeto $\Sigma$ puede pensarse como el monoide libre generado por $\Sigma$ Aquí , la operación monoide es la concatenación y el elemento identidad es la palabra vacía. Desde esta perspectiva, un homomorfismo de lenguaje es precisamente un homomorfismo monoide. ^{[ nota 3 ]}

Véase también

Difeomorfismo
Cifrado homomórfico
Compartición homomórfica de secretos : un protocolo de votación descentralizado y simplificado
Morfismo
Cuasimorfismo

Notas

↑ Como suele ocurrir, pero no siempre, se utiliza el mismo símbolo para la operación de ambos. $A$ y $B$ se utilizó aquí.
↑ El ∗ denota laoperación de estrella de Kleene , mientras que Σ ^∗ denota el conjunto de palabras formadas a partir del alfabeto Σ, incluyendo la palabra vacía. La yuxtaposición de términos denota concatenación . Por ejemplo, h ( u ) h ( v ) denota la concatenación de h ( u ) con h ( v ).
↑ Se nos asegura que un homomorfismo de lenguaje h mapea la palabra vacía ε a la palabra vacía. Dado que h ( ε ) = h ( εε ) = h ( ε ) h ( ε ), el número w de caracteres en h ( ε ) es igual al número 2 w de caracteres en h ( ε ) h ( ε ). Por lo tanto, w = 0 y h ( ε ) tiene longitud nula.

Citas

^ Fricke, Robert (1897-1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen (en alemán). BG Teubner. OCLC 29857037 .
↑
Ver:
- Ritter, Ernst (1892). "Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze" [ Las formas automórficas únicas del género cero, una revisión y extensión del teorema de Poincaré ] . Mathematische Annalen (en alemán). 41 : 1– 82. doi : 10.1007/BF01443449 . S2CID 121524108 . [nota al pie pág. 22:] Ich nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: 'holoedrisch, bezw. hemiedrisch usw isomorph' die Benennung 'isomorph' auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von 'Homomorphismus' sprechen, ... [ Siguiendo una sugerencia del Prof. Klein, en lugar de las engorrosas y no siempre satisfactorias designaciones "holoédrico, o hemiédrico, etc. isomorfo", limitaré la denominación "isomorfismo" al caso de un isomorfismo holoédrico de dos grupos; por lo demás, sin embargo, [hablaré] de un "homomorfismo", ... ]
- Fricke, Robert (1892). "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" [ Sobre el carácter aritmético de las funciones triangulares pertenecientes a los puntos de ramificación (2,3,7) y (2,4,7) ] . Mathematische Annalen (en alemán). 41 (3): 443– 468. doi : 10.1007/BF01443421 . S2CID 120022176 . [pag. 466] Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruentes Sustituciones con racionales según el Coeficiente del Determinante 1 begründet. ... *) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung 'meroedrischer Isomorphismus' die sinngemässere 'Homomorphismus'. [ Así, como se ve inmediatamente, una relación homomórfica del grupo Γ ₍₆₃₎ se basa en el grupo de sustituciones incongruentes de módulo n con coeficientes enteros racionales del determinante 1. ... Siguiendo un uso que ha sido introducido por el Sr. Klein durante sus conferencias más recientes, escribo en lugar de la designación anterior 'isomorfismo meroédrico' el 'homomorfismo' más lógico. ]
1 2 3 4 5 Birkhoff, Garrett (1967) [1940]. Teoría de retículos . Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Americana. Vol. 25 (3.ª ed.). Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-1025-5. MR 0598630 .
1 2 3 Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . S. Burris y HP Sankappanavar. ISBN 978-0-9880552-0-9.
1 2 3 Mac Lane, Saunders (1971). Categorías para el matemático en ejercicio . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5. Springer. Ejercicio 4 en la sección I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001 .
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↑ Para un análisis detallado de homomorfismos e isomorfismos relacionales, véase Schmidt, Gunther (2010). Matemáticas relacionales . Cambridge University Press. Sección 17.3. ISBN 978-0-521-76268-7.
↑ Ginsburg, Seymour (1975). Propiedades algebraicas y de teoría de autómatas de los lenguajes formales . North-Holland. ISBN 0-7204-2506-9.
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↑ Krieger 2006 , pág. 287.

Referencias

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Mac Lane, Saunders (1971), Categorías para el matemático en activo , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 5, Springer, ISBN 0-387-90036-5, Zbl 0232.18001
Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (2003), Un primer curso de álgebra abstracta , Addison-Wesley, ISBN 978-1-292-02496-7

[3] Como suele ocurrir, pero no siempre, se utiliza el mismo símbolo para la operación de ambos. $A$ y $B$ se utilizó aquí.

[12] El ∗ denota laoperación de estrella de Kleene , mientras que Σ ^∗ denota el conjunto de palabras formadas a partir del alfabeto Σ, incluyendo la palabra vacía. La yuxtaposición de términos denota concatenación . Por ejemplo, h ( u ) h ( v ) denota la concatenación de h ( u ) con h ( v ).

[14] Se nos asegura que un homomorfismo de lenguaje h mapea la palabra vacía ε a la palabra vacía. Dado que h ( ε ) = h ( εε ) = h ( ε ) h ( ε ), el número w de caracteres en h ( ε ) es igual al número 2 w de caracteres en h ( ε ) h ( ε ). Por lo tanto, w = 0 y h ( ε ) tiene longitud nula.

[1] Fricke, Robert (1897-1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen (en alemán). BG Teubner. OCLC 29857037 .

[2] Ver:
Ritter, Ernst (1892). "Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze" [ Las formas automórficas únicas del género cero, una revisión y extensión del teorema de Poincaré ] . Mathematische Annalen (en alemán). 41 : 1– 82. doi : 10.1007/BF01443449 . S2CID 121524108 . [nota al pie pág. 22:] Ich nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: 'holoedrisch, bezw. hemiedrisch usw isomorph' die Benennung 'isomorph' auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von 'Homomorphismus' sprechen, ... [ Siguiendo una sugerencia del Prof. Klein, en lugar de las engorrosas y no siempre satisfactorias designaciones "holoédrico, o hemiédrico, etc. isomorfo", limitaré la denominación "isomorfismo" al caso de un isomorfismo holoédrico de dos grupos; por lo demás, sin embargo, [hablaré] de un "homomorfismo", ... ]
Fricke, Robert (1892). "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" [ Sobre el carácter aritmético de las funciones triangulares pertenecientes a los puntos de ramificación (2,3,7) y (2,4,7) ] . Mathematische Annalen (en alemán). 41 (3): 443– 468. doi : 10.1007/BF01443421 . S2CID 120022176 . [pag. 466] Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruentes Sustituciones con racionales según el Coeficiente del Determinante 1 begründet. ... *) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung 'meroedrischer Isomorphismus' die sinngemässere 'Homomorphismus'. [ Así, como se ve inmediatamente, una relación homomórfica del grupo Γ ₍₆₃₎ se basa en el grupo de sustituciones incongruentes de módulo n con coeficientes enteros racionales del determinante 1. ... Siguiendo un uso que ha sido introducido por el Sr. Klein durante sus conferencias más recientes, escribo en lugar de la designación anterior 'isomorfismo meroédrico' el 'homomorfismo' más lógico. ]

[mwAsg] Ritter, Ernst (1892). "Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze" [ Las formas automórficas únicas del género cero, una revisión y extensión del teorema de Poincaré ] . Mathematische Annalen (en alemán). 41 : 1– 82. doi : 10.1007/BF01443449 . S2CID 121524108 . [nota al pie pág. 22:] Ich nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: 'holoedrisch, bezw. hemiedrisch usw isomorph' die Benennung 'isomorph' auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von 'Homomorphismus' sprechen, ... [ Siguiendo una sugerencia del Prof. Klein, en lugar de las engorrosas y no siempre satisfactorias designaciones "holoédrico, o hemiédrico, etc. isomorfo", limitaré la denominación "isomorfismo" al caso de un isomorfismo holoédrico de dos grupos; por lo demás, sin embargo, [hablaré] de un "homomorfismo", ... ]

[mwAtw] Fricke, Robert (1892). "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" [ Sobre el carácter aritmético de las funciones triangulares pertenecientes a los puntos de ramificación (2,3,7) y (2,4,7) ] . Mathematische Annalen (en alemán). 41 (3): 443– 468. doi : 10.1007/BF01443421 . S2CID 120022176 . [pag. 466] Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruentes Sustituciones con racionales según el Coeficiente del Determinante 1 begründet. ... *) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung 'meroedrischer Isomorphismus' die sinngemässere 'Homomorphismus'. [ Así, como se ve inmediatamente, una relación homomórfica del grupo Γ ₍₆₃₎ se basa en el grupo de sustituciones incongruentes de módulo n con coeficientes enteros racionales del determinante 1. ... Siguiendo un uso que ha sido introducido por el Sr. Klein durante sus conferencias más recientes, escribo en lugar de la designación anterior 'isomorfismo meroédrico' el 'homomorfismo' más lógico. ]

[Birkhoff.1967-4] 1 2 3 4 5 Birkhoff, Garrett (1967) [1940]. Teoría de retículos . Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Americana. Vol. 25 (3.ª ed.). Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-1025-5. MR 0598630 .

[Burris.Sankappanavar.2012-5] 1 2 3 Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . S. Burris y HP Sankappanavar. ISBN 978-0-9880552-0-9.

[workmath-6] 1 2 3 Mac Lane, Saunders (1971). Categorías para el matemático en ejercicio . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5. Springer. Ejercicio 4 en la sección I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001 .

[7] Linderholm, CE (1970). "Un epimorfismo de grupo es sobreyectivo". The American Mathematical Monthly . 77 (2): 176– 177. doi : 10.1080/00029890.1970.11992448 .

[8] Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Álgebra de Hopf: una introducción . Matemática Pura y Aplicada. vol. 235. Ciudad de Nueva York: Marcel Dekker. pag. 363.ISBN 0824704819. Zbl 0962.16026 .

[9] Para un análisis detallado de homomorfismos e isomorfismos relacionales, véase Schmidt, Gunther (2010). Matemáticas relacionales . Cambridge University Press. Sección 17.3. ISBN 978-0-521-76268-7.

[10] Ginsburg, Seymour (1975). Propiedades algebraicas y de teoría de autómatas de los lenguajes formales . North-Holland. ISBN 0-7204-2506-9.

[11] Harju, T.; Karhumӓki, J. (1997). «Morfismos». En Rozenberg, G.; Salomaa, A. (eds.). Manual de lenguajes formales . Vol. I. Springer. ISBN 3-540-61486-9.

[FOOTNOTEKrieger2006287-13] Krieger 2006 , pág. 287.

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