Teorema del panal de abejas

El teorema del panal, anteriormente conocido como la conjetura del panal , establece que una cuadrícula hexagonal regular o panal tiene el menor perímetro total de cualquier subdivisión del plano en regiones de igual área. La conjetura fue demostrada en 1999 por el matemático Thomas C. Hales . ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \Gamma }$sea ​​cualquier sistema de curvas suaves en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, subdividiendo el plano en regiones (componentes conectados del complemento de${\displaystyle \Gamma }$), todos los cuales están delimitados y tienen área unitaria. Entonces, promediado sobre discos grandes en el plano, la longitud promedio de${\displaystyle \Gamma }$por unidad de área es al menos tan grande como para el teselado hexagonal. El teorema se aplica incluso si el complemento de${\displaystyle \Gamma }$tiene componentes adicionales que no están limitados o cuya área no es una; permitir estos componentes adicionales no puede acortar${\displaystyle \Gamma }$Formalmente, dejemos${\displaystyle B(0,r)}$denotamos el disco de radio${\displaystyle r}$centrado en el origen, dejemos${\displaystyle L_{r}}$denota la longitud total de${\displaystyle \Gamma \cap B(0,r)}$y dejar${\displaystyle A_{r}}$denota el área total de${\displaystyle B(0,r)}$cubierto por componentes de área unitaria delimitadas. (Si estos son los únicos componentes, entonces${\displaystyle A_{r}=\pi r^{2}}$.) Entonces el teorema establece que $${\displaystyle \limsup _{r\to \infty }{\frac {L_{r}}{A_{r}}}\geq {\sqrt[{4}]{12}}.}$$ El valor que aparece en el lado derecho de la desigualdad es la longitud límite por unidad de área del teselado hexagonal.

El primer registro de la conjetura data del 36  a. C., de Marco Terencio Varrón , pero a menudo se atribuye a Papo de Alejandría ( c. 290 – c. 350 ). ^{[ 2 ]} En el siglo XVII, Jan Brożek utilizó un teorema similar para argumentar por qué las abejas crean panales hexagonales . En 1943, László Fejes Tóth publicó una demostración para un caso especial de la conjetura, en el que se requiere que cada celda sea un polígono convexo . ^{[ 3 ]} La conjetura completa fue demostrada en 1999 por el matemático Thomas C. Hales , quien menciona en su trabajo que hay razones para creer que la conjetura pudo haber estado presente en la mente de matemáticos anteriores a Varrón. ^{[ 1 ] [ 2 ]} 

También está relacionado con el empaquetamiento más denso de círculos en el plano, en el que cada círculo es tangente a otros seis círculos, que llenan algo más del 90% del área del plano.

El caso en que el problema se restringe a una cuadrícula cuadrada fue resuelto en 1989 por Jaigyoung Choe, quien demostró que la figura óptima es un hexágono irregular. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• Estructura de Weaire-Phelan , un contraejemplo a la conjetura de Kelvin sobre la solución del problema similar en 3D.