Fibración de Hopf

Identificar${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$con${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$(dónde${\displaystyle \mathbb {C} }$denota los números complejos ) escribiendo:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},\,x_{3}+ix_{4}),}$

e identificar${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$con${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$escribiendo

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},\,x_{3}).}$

De este modo${\displaystyle S^{3}}$se identifica con el subconjunto de todos${\displaystyle (z_{0},z_{1})}$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$de tal manera que${\displaystyle |z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}=1}$, y${\displaystyle S^{2}}$se identifica con el subconjunto de todos${\displaystyle (z,x)}$en${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle |z|^{2}+x^{2}=1}$. (Aquí, para un número complejo)${\displaystyle z=a+ib}$, su valor absoluto al cuadrado es${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}=a^{2}+b^{2}}$(donde el asterisco denota el conjugado complejo ). Entonces, la fibración de Hopf${\displaystyle p}$se define por

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).}$

El primer componente es un número complejo, mientras que el segundo componente es real. Cualquier punto en la 3- esfera debe tener la propiedad de que${\displaystyle |z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}=1}$Si eso es así, entonces${\ Displaystyle p (z_ {0}, z_ {1})}$se encuentra en la esfera unitaria 2 en${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$, como se puede demostrar sumando los cuadrados de los valores absolutos de las componentes complejas y reales de${\displaystyle p}$:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}&=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}\\&=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1\end{alignedat}}}$

Además, si dos puntos en la 3-esfera se corresponden con el mismo punto en la 2-esfera, es decir, si${\ Displaystyle p (z_ {0}, z_ {1}) = p (w_ {0}, w_ {1})}$, entonces${\displaystyle (w_{0},w_{1})}$debe ser igual${\displaystyle (\lambda z_ {0},\lambda z_ {1})}$para algún número complejo${\displaystyle \lambda }$con${\displaystyle |\lambda |^{2}=1}$Lo contrario también es cierto; cualesquiera dos puntos en la 3- esfera que difieren por un factor complejo común.${\displaystyle \lambda }$se mapean al mismo punto en la 2 -esfera. Estas conclusiones se derivan del factor complejo.${\displaystyle \lambda }$se cancela con su conjugado complejo${\displaystyle \lambda ^{*}}$en ambas partes de${\displaystyle p}$: en el complejo${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{*}}$componente y en el componente real${\displaystyle |z_{0}|^{2}-|z_{1}|^{2}}$.

Dado que el conjunto de números complejos${\displaystyle \lambda }$con${\displaystyle |\lambda |^{2}=1}$Si formamos el círculo unitario en el plano complejo, se deduce que para cada punto${\displaystyle m}$en${\displaystyle S^{2}}$, la imagen inversa${\displaystyle p^{-1}(m)}$es un círculo, es decir,${\displaystyle p^{-1}(m)\cong S^{1}}$. De este modo, la 3- esfera se realiza como una unión disjunta de estas fibras circulares.

Una parametrización directa de la 3 -esfera empleando el mapa de Hopf es la siguiente. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta }$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .}$

o en euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

Dónde${\displaystyle \eta }$recorre la cordillera desde${\displaystyle 0}$a${\displaystyle \pi /2}$,${\displaystyle \xi _{1}}$recorre la cordillera desde${\displaystyle 0}$a${\displaystyle 2\pi }$, y${\displaystyle \xi _{2}}$puede tomar cualquier valor de${\displaystyle 0}$a${\displaystyle 4\pi }$Cada valor de${\displaystyle \eta }$, excepto${\displaystyle 0}$y${\displaystyle \pi /2}$que especifican círculos, especifica un toro plano separado en la 3- esfera y un viaje de ida y vuelta (${\displaystyle 0}$a${\displaystyle 4\pi }$) de cualquiera de${\displaystyle \xi _{1}}$o${\displaystyle \xi _{2}}$hace que completes un círculo con ambos lados del toroide.

Una correspondencia de la parametrización anterior con la 2- esfera es la siguiente, con puntos en los círculos parametrizados por${\displaystyle \xi _{2}}$.

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}}$

Otra interpretación geométrica de la fibración de Hopf se puede obtener considerando rotaciones de la 2- esfera en el espacio 3- dimensional ordinario . El grupo de rotación SO(3) tiene un recubrimiento doble , el grupo de espín Spin(3) , difeomorfo a la 3- esfera. El grupo de espín actúa transitivamente sobre${\displaystyle S^{2}}$mediante rotaciones. El estabilizador de un punto es isomorfo al grupo de círculos ; sus elementos son ángulos de rotación que dejan el punto inmóvil, y todos comparten el eje que conecta dicho punto con el centro de la esfera. De ello se deduce fácilmente que la 3 -esfera es un fibrado de círculos principal sobre la 2- esfera, y esta es la fibración de Hopf.

Para hacerlo más explícito, hay dos enfoques: el grupo Spin(3) puede identificarse con el grupo Sp(1) de cuaterniones unitarios , o con el grupo unitario especial SU(2) .

En el primer enfoque, un vector${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$se interpreta como un cuaternión${\displaystyle q\in \mathbb {H} }$escribiendo

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!}$

La 3 -esfera se identifica entonces con los versores , los cuaterniones de norma unitaria, aquellos${\displaystyle q\in \mathbb {H} }$para qué${\displaystyle |q|^{2}=1}$, dónde${\displaystyle |q|^{2}=qq^{*}}$, que es igual a${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$para${\displaystyle q}$como se indicó anteriormente.

Por otro lado, un vector${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3})}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$puede interpretarse como un cuaternión puro

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

Entonces, como es bien sabido desde Cayley (1845) , la cartografía

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

es una rotación en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$: de hecho es claramente una isometría , ya que${\displaystyle |qpq^{*}|^{2}=qpq^{*}\,qp^{*}q^{*}=qpp^{*}q^{*}=|p|^{2}}$y no es difícil comprobar que conserva la orientación.

De hecho, esto identifica al grupo de versores con el grupo de rotaciones de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, módulo el hecho de que los versores${\displaystyle q}$y${\displaystyle -q}$determinar la misma rotación. Como se indicó anteriormente, las rotaciones actúan transitivamente sobre${\displaystyle S^{2}}$y el conjunto de versores${\displaystyle q}$que fijan un versor derecho dado${\displaystyle p}$tener la forma${\displaystyle q=u+vp}$, dónde${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$son números reales con${\displaystyle u^{2}+v^{2}=1}$Este es un subgrupo circular. Para mayor concreción, se puede tomar${\displaystyle p=\mathbf {k} }$y entonces la fibración de Hopf se puede definir como el mapa que envía un versor${\displaystyle \omega }$a${\displaystyle \omega \mathbf {k} \omega ^{*}}$Todos los cuaterniones${\displaystyle \omega q}$, dónde${\displaystyle q}$es uno de los círculos de versores que fijan${\displaystyle \mathbf {k} }$, se asignan a la misma cosa (que resulta ser una de las dos rotaciones de 180° que giran${\displaystyle \mathbf {k} }$al mismo lugar que${\displaystyle \omega }$hace).

Otra forma de ver esta fibración es que cada versor${\displaystyle \omega }$mueve el plano abarcado por${\displaystyle \{1,\mathbf {k} \}}$a un nuevo plano abarcado por${\displaystyle \{\omega ,\omega \mathbf {k} \}}$Cualquier cuaternión${\displaystyle \omega q}$, dónde${\displaystyle q}$es uno de los círculos de versores que fijan${\displaystyle \mathbf {k} }$tendrá el mismo efecto. Ponemos todo esto en una fibra, y las fibras se pueden mapear uno a uno a la 2 -esfera de rotaciones de 180° que es el rango de${\displaystyle \omega \mathbf {k} \omega ^{*}}$.

Este enfoque está relacionado con la construcción directa mediante la identificación de un cuaternión.${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}}$con la matriz de 2×2 :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Esto identifica el grupo de versores con SU(2) y los cuaterniones imaginarios con las matrices antihermíticas de 2×2 (isomorfas a${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$).

Si la fibración de Hopf se trata como un campo vectorial en el espacio tridimensional, existe una solución a las ecuaciones de Navier-Stokes (compresibles y no viscosas) de la dinámica de fluidos en la que el fluido fluye a lo largo de los círculos de la proyección de la fibración de Hopf en el espacio tridimensional. El tamaño de las velocidades, la densidad y la presión se pueden elegir en cada punto para satisfacer las ecuaciones. Todas estas cantidades se anulan al alejarse del centro. Si a es la distancia al anillo interior, los campos de velocidad, presión y densidad vienen dados por:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

para constantes arbitrarias${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. Se encuentran patrones de campos similares como soluciones solitónicas de magnetohidrodinámica : ^{[ 4 ]}

Se obtiene una versión real de la fibración de Hopf considerando el círculo.${\displaystyle S^{1}}$como un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$De la forma habitual y mediante la identificación de puntos antipodales. Esto da como resultado un haz de fibras.${\displaystyle S^{1}\to \mathbb {RP} ^{1}}$sobre la línea proyectiva real con fibra${\displaystyle S^{0}=\{1,-1\}}$. Igual que${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$es difeomorfo a una esfera,${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$es difeomorfo a un círculo.

De forma más general, la n -esfera${\displaystyle S^{n}}$fibras sobre el espacio proyectivo real${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$con fibra${\displaystyle S^{0}}$.

La construcción de Hopf da como resultado haces de círculos${\displaystyle p:S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$sobre el espacio proyectivo complejo . En realidad, esta es la restricción del fibrado de líneas tautológico sobre${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$a la esfera unitaria en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$.

De manera similar, se puede considerar${\displaystyle S^{4n+3}}$como acostado en${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$( espacio n cuaterniónico ) y factorizar por cuaternión unitario (=${\displaystyle S^{3}}$) multiplicación para obtener el espacio proyectivo cuaterniónico${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$. En particular, dado que${\displaystyle S^{4}=\mathbb {HP} ^{1}}$, hay un paquete${\displaystyle S^{7}\to S^{4}}$con fibra${\displaystyle S^{3}}$.

Una construcción similar con los octoniones produce un fibrado${\displaystyle S^{15}\to S^{8}}$con fibra${\displaystyle S^{7}}$pero la esfera${\displaystyle S^{31}}$no tiene fibra${\displaystyle S^{16}}$con fibra${\displaystyle S^{15}}$Uno puede considerar${\displaystyle S^{8}}$como la línea proyectiva octoniónica${\displaystyle \mathbb {OP} ^{1}}$Aunque también se puede definir un plano proyectivo octoniónico${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$, la esfera${\displaystyle S^{23}}$no tiene fibra${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$con fibra${\displaystyle S^{7}}$. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

A veces, el término "fibración de Hopf" se restringe a las fibraciones entre esferas obtenidas anteriormente, que son:

• S ¹ → S ¹ con fibra S ⁰
• S ³ → S ² con fibra S ¹
• S ⁷ → S ⁴ con fibra S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ con fibra S ⁷

Como consecuencia del teorema de Adams , los fibrados con esferas como espacio total, espacio base y fibra solo pueden existir en estas dimensiones. John Milnor utilizó fibrados con propiedades similares, pero diferentes de las fibraciones de Hopf, para construir esferas exóticas .

También hay una fibración de${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2n+1}}$encima${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$conocida en algunos círculos como la fibración twistor . ^{[ 7 ]} La fibra es${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$. Aquí el${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2n+1}}$se realiza como un cociente de${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$mediante un subcampo conmutativo maximal de los cuaterniones.

De manera más general, Robert Bryant identificó todas las fibraciones homogéneas sobre espacios simétricos riemannianos , cuyos espacios totales son variedades complejas , a las que llama espacios twistores. ^{[ 8 ]} El caso que se describe aquí es la fibración de${\displaystyle \operatorname {Sp} (n+1)/U(1)\times \operatorname {Sp} (n)}$encima${\displaystyle \operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (n).}$

En general, siempre que hay una torre de subgrupos de Lie (cerrados)${\displaystyle K\subset H\subset G}$, hay una fibración de${\displaystyle G/K}$encima${\displaystyle G/H}$. Para la fibración clásica de Hopf,${\displaystyle G=U(n+1)}$,${\displaystyle K=U(n)}$, y${\displaystyle H=U(1)\times U(n)}$.