dieléctrico de Hopfield

En mecánica cuántica , el dieléctrico de Hopfield es un modelo de dieléctrico que consiste en osciladores armónicos cuánticos que interactúan con los modos del campo electromagnético cuántico . La interacción colectiva de los modos de polarización de carga con las excitaciones del vacío, los fotones, conduce a la perturbación tanto de la relación de dispersión lineal de los fotones como de la dispersión constante de las ondas de carga debido al cruce evitado entre las dos líneas de dispersión de los polaritones . ^{[ 1 ]} De forma similar a los fonones acústicos y ópticos , y lejos de la resonancia, una rama es de tipo fotónico mientras que la otra carga es de tipo ondulatorio. El modelo fue desarrollado por John Hopfield en 1958. ^{[ 1 ]}

El hamiltoniano del dieléctrico de Lorentz cuantizado consta de${\displaystyle N}$Los osciladores armónicos que interactúan con el campo electromagnético cuántico pueden escribirse en la aproximación dipolar como:

${\displaystyle H=\sum \limits _{A=1}^{N}{{p_{A}}^{2} \over 2m}+{{m{\omega }^{2}} \over 2}{x_{A}}^{2}-e{x_{A}}\cdot E(r_{A})+\sum \limits _{\lambda =1}^{2}\int d^{3}ka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck}$

dónde

${\displaystyle E(r_{A})={i \over L^{3}}\sum \limits _{\lambda =1}^{2}\int d^{3}k[{{ck} \over {2\epsilon _{0}}}]^{1 \over 2}[e_{\lambda }(k)a_{\lambda }(k)\exp(ikr_{A})-HC]}$

es el operador de campo eléctrico que actúa en la posición${\displaystyle r_{A}}$.

Expresándolo en términos de los operadores de creación y aniquilación para los osciladores armónicos obtenemos

${\displaystyle H=\sum \limits _{A=1}^{N}(a_{A}^{+}\cdot a_{A})\hbar \omega -{e \over {{\sqrt {2}}\beta }}(a_{A}+{a_{A}}^{+})\cdot E(r_{A})+\sum _{\lambda }\sum _{k}a_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck}$

Suponiendo que los osciladores se encuentran en algún tipo de red sólida regular y aplicando la transformada de Fourier polaritónica

${\displaystyle B_{k}^{+}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum \limits _{A=1}^{N}\exp(ikr_{A})a_{A}^{+},}$

${\displaystyle B_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum \limits _{A=1}^{N}\exp(-ikr_{A})a_{A}}$

y definiendo proyecciones de ondas de carga del oscilador sobre las direcciones de polarización del campo electromagnético.

${\displaystyle B_{\lambda k}^{+}=e_{\lambda }(k)\cdot B_{k}^{+}}$

${\displaystyle B_{\lambda k}=e_{\lambda }(k)\cdot B_{k},}$

Tras eliminar las contribuciones longitudinales que no interactúan con el campo electromagnético, se puede obtener el hamiltoniano de Hopfield.

${\displaystyle H=\sum _{\lambda }\sum _{k}(B_{\lambda k}^{+}B_{\lambda k}+{1 \over 2})\hbar \omega +\hbar cka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}+{ie\hbar \over {\sqrt {\epsilon _{0}m\omega }}}{\sqrt {N \over V}}{\sqrt {ck}}[B_{\lambda k}a_{\lambda -k}+B_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}-B_{\lambda k}^{+}a_{\lambda -k}^{+}-B_{\lambda k}a_{\lambda k}^{+}]}$

Debido a que la interacción no mezcla polarizaciones, esto se puede transformar a la forma normal con las frecuencias propias de dos ramas polaritónicas:

${\displaystyle H=\sum _{\lambda }\sum _{k}\left[\Omega _{+}(k)C_{\lambda +k}^{+}C_{\lambda +k}+\Omega _{-}(k)C_{\lambda -k}^{+}C_{\lambda -k}\right]+const}$

con la ecuación de valores propios

${\displaystyle [C_{\lambda \pm k},H]=\Omega _{\pm }(k)C_{\lambda \pm k}}$

${\displaystyle C_{\lambda \pm k}=c_{1}a_{\lambda k}+c_{2}a_{\lambda -k}+c_{3}a_{\lambda k}^{+}+c_{4}a_{\lambda -k}^{+}+c_{5}B_{\lambda k}+c_{6}B_{\lambda -k}+c_{7}B_{\lambda k}^{+}+c_{8}B_{\lambda -k}^{+}}$

dónde

${\displaystyle \Omega _{-}(k)^{2}={\omega ^{2}+\Omega ^{2}-{\sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4{g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \over 2},}$

${\displaystyle \Omega _{+}(k)^{2}={\omega ^{2}+\Omega ^{2}+{\sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4{g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \over 2}}$,

con

${\displaystyle \Omega (k)=ck,}$

(dispersión de fotones en el vacío) y

${\displaystyle g={{Ne^{2}} \over {Vm\epsilon _{0}\omega ^{2}}}}$

es la constante de acoplamiento adimensional proporcional a la densidad${\displaystyle N/V}$del dieléctrico con la frecuencia de Lorentz${\displaystyle \omega }$( dispersión de ondas de carga de enlace fuerte ).

Matemáticamente, el dieléctrico de Hopfield para un modo de excitación es equivalente al paquete de ondas troyano en la aproximación armónica. El modelo de Hopfield del dieléctrico predice la existencia de fotones congelados atrapados eternamente, similares a la radiación de Hawking, dentro de la materia, con una densidad proporcional a la intensidad del acoplamiento materia-campo.

Se puede observar que, a diferencia del vacío del campo electromagnético sin materia, el valor esperado del número promedio de fotones${\displaystyle \langle a_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\rangle }$es distinto de cero en el estado fundamental del hamiltoniano polaritónico${\displaystyle C_{k\pm }|\mathbf {0} >=0}$similar a la radiación de Hawking en las proximidades del agujero negro debido al efecto Unruh-Davies . Se puede observar fácilmente que la frecuencia propia más baja${\displaystyle \Omega _{-}}$se vuelve imaginario cuando la constante de acoplamiento se vuelve crítica en${\displaystyle g>1}$lo que sugiere que el dieléctrico de Hopfield experimentará la transición de fase superradiante .