Conexión Ehresmann

Una conexión Ehresmann en${\displaystyle E}$es un subpaquete suave${\displaystyle H}$de${\displaystyle TE}$, llamado haz horizontal de la conexión, que es complementario a V , en el sentido de que define una descomposición de suma directa${\displaystyle TE=H\oplus V}$. ^{[ 2 ]} Con más detalle, el haz horizontal tiene las siguientes propiedades.

• Para cada punto${\displaystyle e\in E}$,${\displaystyle H_{e}}$es un subespacio vectorial del espacio tangente${\displaystyle T_{e}E}$ a${\displaystyle E}$en${\displaystyle e}$, llamado el subespacio horizontal de la conexión en${\displaystyle e}$.
• ${\displaystyle H_{e}}$depende sin problemas de${\displaystyle e}$.
• Para cada${\displaystyle e\in E}$,${\displaystyle H_{e}\cap V_{e}=\{0\}}$.
• Cualquier vector tangente en${\displaystyle T_{e}E}$(para cualquier${\displaystyle e\in E}$) es la suma de un componente horizontal y uno vertical, de modo que${\displaystyle T_{e}E=H_{e}+V_{e}}$.

En términos más sofisticados, dicha asignación de espacios horizontales que satisfacen estas propiedades corresponde precisamente a una sección suave del haz de chorros.${\displaystyle J^{1}E\rightarrow E}$.

De forma equivalente, sea Φ la proyección sobre el fibrado vertical V a lo largo de H (de modo que H = ker Φ ). Esto se determina mediante la descomposición en suma directa de TE en partes horizontales y verticales, y a veces se denomina forma de conexión de la conexión de Ehresmann. Por lo tanto, Φ es un homomorfismo de fibrados vectoriales de TE en sí mismo con las siguientes propiedades (de las proyecciones en general):

• Φ ² = Φ ;
• Φ es la identidad en V =Im Φ .

Por el contrario, si Φ es un endomorfismo de fibrado vectorial de TE que satisface estas dos propiedades, entonces H = ker Φ es el subfibrado horizontal de una conexión de Ehresmann.

Finalmente, cabe señalar que Φ , al ser una aplicación lineal de cada espacio tangente en sí mismo, también puede considerarse como una 1-forma con valores TE en E. Esta perspectiva resultará útil en las secciones siguientes.

Una conexión de Ehresmann también prescribe una manera de elevar curvas desde la variedad base M al espacio total del fibrado E de modo que las tangentes a la curva sean horizontales. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Estas elevaciones horizontales son un análogo directo del transporte paralelo para otras versiones del formalismo de conexión.

Específicamente, supongamos que γ ( t ) es una curva suave en M que pasa por el punto x  = γ (0). Sea e ∈ E _x un punto en la fibra sobre x . Una elevación de γ que pasa por e es una curva   ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$en el espacio total E tal que

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=e}$, y${\displaystyle \pi ({\tilde {\gamma }}(t))=\gamma (t).}$

Un ascensor es horizontal si, además, cada tangente de la curva se encuentra en el subhaz horizontal de TE :

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)\in H_{{\tilde {\gamma }}(t)}.}$

Se puede demostrar utilizando el teorema de rango-nulidad aplicado a π y Φ que cada vector X ∈ T _x M tiene una elevación horizontal única a un vector${\displaystyle {\tilde {X}}\in T_{e}E}$En particular, el campo tangente a γ genera un campo vectorial horizontal en el espacio total del fibrado de retroceso γ * E. Por el teorema de Picard-Lindelöf , este campo vectorial es integrable . Por lo tanto, para cualquier curva γ y punto e sobre x  = γ (0), existe una única elevación horizontal de γ a través de e para un tiempo pequeño t . 

Nótese que, para conexiones de Ehresmann generales, la elevación horizontal depende de la trayectoria. Cuando dos curvas suaves en M , que coinciden en γ ₁ (0) = γ ₂ (0) = x ₀ y también se intersecan en otro punto x ₁ ∈ M , se elevan horizontalmente a E a través del mismo e ∈ π ^{− 1} ( x ₀ ), generalmente pasarán por diferentes puntos de π ^{− 1} ( x ₁ ). Esto tiene consecuencias importantes para la geometría diferencial de los haces de fibras: el espacio de secciones de H no es una subálgebra de Lie del espacio de campos vectoriales en E , porque no es (en general) cerrado bajo el corchete de Lie de campos vectoriales . Este fallo de cierre bajo el corchete de Lie se mide por la curvatura .      

Sea Φ una conexión de Ehresmann. Entonces la curvatura de Φ viene dada por ^{[ 4 ].}

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}[\varPhi ,\varPhi ]}$

donde [-,-] denota el corchete de Frölicher-Nijenhuis de Φ ∈ Ω ¹ ( E , TE ) consigo mismo. Por lo tanto, R ∈ Ω ² ( E , TE ) es la forma doble en E con valores en TE definidos por

${\displaystyle R(X,Y)=\varPhi \left([(\mathrm {id} -\varPhi )X,(\mathrm {id} -\varPhi )Y]\right)}$,

o, en otras palabras,

${\displaystyle R\left(X,Y\right)=\left[X_{H},Y_{H}\right]_{V}}$,

donde X = X _H + X _V denota la descomposición de la suma directa en componentes H y V , respectivamente. De esta última expresión para la curvatura, se observa que se anula idénticamente si, y solo si, el subfibrado horizontal es integrable en el sentido de Frobenius . Por lo tanto , la curvatura es la condición de integrabilidad para que el subfibrado horizontal produzca secciones transversales del fibrado E → M.

La curvatura de una conexión de Ehresmann también satisface una versión de la identidad de Bianchi :

${\displaystyle \left[\varPhi ,R\right]=0}$

donde nuevamente [-,-] es el corchete de Frölicher-Nijenhuis de Φ ∈ Ω ¹ ( E , TE ) y R ∈ Ω ² ( E , TE ).

Una conexión de Ehresmann permite que las curvas tengan elevaciones horizontales únicas a nivel local . Para una conexión de Ehresmann completa , una curva puede elevarse horizontalmente en todo su dominio.

La planitud de la conexión corresponde localmente a la integrabilidad de Frobenius de los espacios horizontales. En el otro extremo, la curvatura no nula implica la presencia de holonomía de la conexión. ^{[ 5 ]}

Supongamos que E es un fibrado principal liso G sobre M. Entonces, una conexión de Ehresmann H en E se denomina conexión principal (de Ehresmann) ^{[ 3 ]} si es invariante con respecto a la acción G sobre E en el sentido de que

${\displaystyle H_{eg}=\mathrm {d} (R_{g})_{e}(H_{e})}$para cualquier e ∈ E y g ∈ G ; aquí${\displaystyle \mathrm {d} (R_{g})_{e}}$denota el diferencial de la acción derecha de g sobre E en e .

Los subgrupos uniparamétricos de G actúan verticalmente sobre E. El diferencial de esta acción permite identificar el subespacio.${\displaystyle V_{e}}$con el álgebra de Lie g del grupo G , digamos por mapa${\displaystyle \iota \colon V_{e}\to {\mathfrak {g}}}$. La forma de conexión Φ de la conexión de Ehresmann puede entonces verse como una 1-forma ω en E con valores en g definidos por ω ( X )= ι ( Φ ( X )).

Reinterpretada de esta manera, la forma de conexión ω satisface las dos propiedades siguientes:

• Se transforma equivariantemente bajo la acción G :${\displaystyle R_{h}^{*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{-1})\omega }$ para todo h ∈ G , donde R _h ^* es el retroceso bajo la acción derecha y Ad es la representación adjunta de G en su álgebra de Lie.
• Asigna campos vectoriales verticales a sus elementos asociados del álgebra de Lie: ω ( X )= ι ( X ) para todo X ∈ V .

Por el contrario, se puede demostrar que una 1-forma con valores g en un fibrado principal genera una distribución horizontal que satisface las propiedades antes mencionadas.

Dada una trivialización local, se puede reducir ω a los campos vectoriales horizontales (en esta trivialización). Esto define una 1-forma ω' en M mediante un retroceso . La forma ω' determina completamente ω , pero depende de la elección de la trivialización. (Esta forma también se suele denominar forma de conexión y se denota simplemente por ω ).

Supongamos que E es un fibrado vectorial suave sobre M. Entonces, una conexión de Ehresmann H en E se denomina conexión lineal (de Ehresmann) si H _e depende linealmente de e ∈ E _x para cada x ∈ M. Para precisar esto, sea S _λ la multiplicación escalar por λ en E. Entonces H es lineal si y solo si${\displaystyle H_{\lambda e}=\mathrm {d} (S_{\lambda })_{e}(H_{e})}$para cualquier e ∈ E y escalar λ.

Dado que E es un fibrado vectorial, su fibrado vertical V es isomorfo a π * E. Por lo tanto, si s es una sección de E , entonces Φ (d s ): TM → s * V = s * π * E = E. Es un morfismo de fibrado vectorial y, por lo tanto, está dado por una sección ∇ s del fibrado vectorial Hom( TM , E ). El hecho de que la conexión de Ehresmann sea lineal implica que, además, verifica para cada función${\displaystyle f}$en${\displaystyle M}$la regla de Leibniz, es decir${\displaystyle \nabla (fs)=f\nabla (s)+d(f)\otimes s}$y, por lo tanto, es una derivada covariante de s .

Por el contrario, una derivada covariante ∇ en un fibrado vectorial define una conexión de Ehresmann lineal definiendo H _e , para e ∈ E con x = π ( e ), como la imagen d s _x ( T _x M ) donde s es una sección de E con s ( x ) = e y ∇ _X s = 0 para todo X ∈ T _x M .

Tenga en cuenta que (por razones históricas) el término lineal , cuando se aplica a conexiones, a veces se usa (como la palabra afín  – véase conexión afín ) para referirse a conexiones definidas en el fibrado tangente o fibrado de marco .

Una conexión de Ehresmann en un fibrado (dotado de un grupo de estructura) a veces da lugar a una conexión de Ehresmann en un fibrado asociado . Por ejemplo, una conexión (lineal) en un fibrado vectorial E , considerada como un paralelismo de E como se indicó anteriormente, induce una conexión en el fibrado asociado de marcos P E de E. Recíprocamente, una conexión en P E da lugar a una conexión (lineal) en E siempre que la conexión en P E sea equivariante con respecto a la acción del grupo lineal general sobre los marcos (y, por lo tanto, una conexión principal ). No siempre es posible que una conexión de Ehresmann induzca, de forma natural, una conexión en un fibrado asociado. Por ejemplo, una conexión de Ehresmann no equivariante en un fibrado de marcos de un fibrado vectorial puede no inducir una conexión en el fibrado vectorial.

Supongamos que E es un fibrado asociado de P , de modo que E = P × _G F . Una G -conexión en E es una conexión de Ehresmann tal que el mapa de transporte paralelo τ  : F _x → F _{x ′} viene dado por una G -transformación de las fibras (sobre puntos suficientemente cercanos x y x ′ en M unidos por una curva). ^{[ 6 ]}

Dada una conexión principal en P , se obtiene una conexión G en el haz de fibras asociado E = P × _G F mediante retroceso .

Por el contrario, dada una G -conexión en E, es posible recuperar la conexión principal en el fibrado principal asociado P. Para recuperar esta conexión principal, se introduce la noción de marco en la fibra típica F. Dado que G es un grupo de Lie de dimensión finita ^{[ 7 ]} que actúa efectivamente sobre F , debe existir una configuración finita de puntos ( y1 _, ..., ym ₎ dentro de F tal que la G -órbita R = {( gy1 _, ..., gym ) | g ∈ G } sea un espacio homogéneo principal de G. Se puede pensar en _R como una generalización de la noción de marco para la G -acción sobre F. Nótese que, dado que R es un espacio homogéneo principal para G , el fibrado E ( R ) asociado a E con la fibra típica R es (equivalente a) el fibrado principal asociado a E. Pero también es un subfibrado del fibrado producto m -ésimo de E consigo mismo. La distribución de espacios horizontales en E induce una distribución de espacios en este fibrado producto. Dado que los mapas de transporte paralelos asociados a la conexión son mapas G , preservan el subespacio E ( R ), y por lo tanto la conexión G desciende a una conexión G principal en E ( R ).

En resumen, existe una correspondencia biunívoca (salvo equivalencia) entre los descensos de las conexiones principales a los haces de fibras asociados y las conexiones G en dichos haces. Por esta razón, en la categoría de haces de fibras con un grupo estructural G , la conexión principal contiene toda la información relevante para las conexiones G en los haces asociados. Por lo tanto, a menos que exista una razón de peso para considerar las conexiones en los haces asociados (como ocurre, por ejemplo, en el caso de las conexiones de Cartan ), se suele trabajar directamente con la conexión principal.