Reflexión (matemáticas)

En matemáticas , una reflexión (también llamada reflexión ) ^{[ 1 ]} es una aplicación de un espacio euclidiano a sí mismo que es una isometría con un hiperplano como conjunto de puntos fijos ; este conjunto se denomina eje (en dimensión 2) o plano (en dimensión 3) de reflexión. La imagen de una figura mediante una reflexión es su imagen especular en el eje o plano de reflexión.

Por ejemplo, la imagen especular de la letra minúscula latina p, al reflejarse respecto a un eje vertical ( reflexión vertical ), se vería como q . Su imagen al reflejarse respecto a un eje horizontal ( reflexión horizontal ) se vería como b . Una reflexión es una involución : al aplicarse dos veces consecutivas, cada punto regresa a su posición original y cada objeto geométrico vuelve a su estado original.

El término reflexión se utiliza a veces para referirse a una clase más amplia de aplicaciones de un espacio euclidiano a sí mismo, concretamente las isometrías no identidad, que son involuciones. El conjunto de puntos fijos (el "espejo") de dicha isometría es un subespacio afín , pero posiblemente sea menor que un hiperplano.

Por ejemplo, una reflexión a través de un punto es una isometría involutiva con un solo punto fijo; la imagen de la letra p bajo él se vería como una d . Esta operación también se conoce como inversión central ( Coxeter 1969 , §7.2) y muestra el espacio euclidiano como un espacio simétrico .

En un espacio vectorial euclidiano , la reflexión respecto al punto situado en el origen es equivalente a la negación de un vector. Otros ejemplos incluyen reflexiones respecto a una línea en el espacio tridimensional. Sin embargo, normalmente, el uso indistinto del término «reflexión» se refiere a la reflexión respecto a un hiperplano . Algunos matemáticos utilizan « voltear » como sinónimo de «reflexión». ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

En geometría plana (o tridimensional), para hallar la reflexión de un punto, se traza una perpendicular desde ese punto hasta la línea (plano) utilizada para la reflexión, y se extiende la misma distancia en el otro extremo. Para hallar la reflexión de una figura, se refleja cada punto de la misma.

Para reflejar el punto P a través de la línea AB usando compás y regla , proceda de la siguiente manera (ver figura):

• Paso 1 (rojo): construir un círculo con centro en P y un radio fijo r para crear puntos A′ y B′ en la línea AB , que serán equidistantes de P.
• Paso 2 (verde): construir círculos centrados en A′ y B′ con radio r . P y Q serán los puntos de intersección de estos dos círculos.

El punto Q es entonces el reflejo del punto P con respecto a la línea AB .

La matriz para una reflexión es ortogonal con determinante −1 y autovalores −1, 1, 1, ..., 1. El producto de dos de estas matrices es una matriz ortogonal especial que representa una rotación. Toda rotación es el resultado de reflejar en un número par de reflexiones en hiperplanos que pasan por el origen, y toda rotación impropia es el resultado de reflejar en un número impar. Así, las reflexiones generan el grupo ortogonal , y este resultado se conoce como el teorema de Cartan-Dieudonné .

De forma similar, el grupo euclidiano , que consta de todas las isometrías del espacio euclidiano, se genera mediante reflexiones en hiperplanos afines. En general, un grupo generado por reflexiones en hiperplanos afines se conoce como grupo de reflexión . Los grupos finitos generados de esta manera son ejemplos de grupos de Coxeter .

La reflexión a través de una línea arbitraria que pasa por el origen en dos dimensiones se puede describir mediante la siguiente fórmula.

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}lv,}$

dónde${\displaystyle v}$denota el vector que se refleja,${\displaystyle l}$denota cualquier vector en la línea a través de la cual se realiza la reflexión, y${\displaystyle v\cdot l}$denota el producto escalar de${\displaystyle v}$con${\displaystyle l}$. Tenga en cuenta que la fórmula anterior también se puede escribir como

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}$

decir que un reflejo de${\displaystyle v}$al otro lado de${\displaystyle l}$es igual a 2 veces la proyección de${\displaystyle v}$en${\displaystyle l}$, menos el vector${\displaystyle v}$Las reflexiones en una línea tienen como autovalores 1 y −1.

En términos más generales, si${\displaystyle S}$es un subespacio lineal y${\displaystyle P_{S}}$es la proyección ortogonal sobre${\displaystyle S}$, luego reflexión a través${\displaystyle S}$es dado por

${\displaystyle R_{S}=2P_{S}-I.}$

Esto corrige cada vector en${\displaystyle S}$y niega cada vector en${\displaystyle S^{\perp }}$. Desde

${\displaystyle P_{S}+P_{S^{\perp }}=I,}$

La misma reflexión puede escribirse de forma equivalente como

${\displaystyle R_{S}=I-2P_{S^{\perp }}.}$

Así, una reflexión puede describirse tanto por el subespacio que permanece fijo como por su complemento ortogonal, cuyos vectores se invierten. En la sección bidimensional anterior,${\displaystyle l}$abarca el subespacio que permanece fijo; en la fórmula siguiente,${\displaystyle a}$abarca su complemento ortogonal, cuyos vectores están invertidos.

Dado un vector${\displaystyle v}$en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la fórmula para la reflexión en el hiperplano que pasa por el origen, ortogonal a${\displaystyle a}$, se da por

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,}$

dónde${\displaystyle v\cdot a}$denota el producto escalar de${\displaystyle v}$con${\displaystyle a}$. Nótese que el segundo término de la ecuación anterior es simplemente el doble de la proyección vectorial de${\displaystyle v}$sobre${\displaystyle a}$Uno puede comprobar fácilmente que

• Ref _a ( v ) = − v , si${\displaystyle v}$es paralelo a${\displaystyle a}$, y
• Ref _a ( v ) = v , si${\displaystyle v}$es perpendicular a a .

Utilizando el producto geométrico , la fórmula es

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.}$

Dado que estas reflexiones son isometrías del espacio euclidiano que fijan el origen, pueden representarse mediante matrices ortogonales . La matriz ortogonal correspondiente a la reflexión anterior es la matriz

${\displaystyle R=I-2{\frac {aa^{T}}{a^{T}a}},}$

dónde${\displaystyle I}$denota el${\displaystyle n\times n}$matriz identidad y${\displaystyle a^{T}}$es la transpuesta de a. Sus entradas son

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},}$

donde δ _ij es la delta de Kronecker .

La fórmula para la reflexión en el hiperplano afín${\displaystyle v\cdot a=c}$no a través del origen es

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot ac}{a\cdot a}}a.}$

• Inverso aditivo
• Coordenadas rotaciones y reflexiones
• Transformación de Householder
• Geometría inversa
• Plano de rotación
• Mapeo de reflexión
• Grupo de reflexión
• Simetría de reflexión

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2.ª  ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930 
• Popov, VL (2001) [1994], "Reflexión" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Reflexión" . MathWorld .

• Reflexión en línea en el nudo
• Comprensión de la reflexión en 2D y comprensión de la reflexión en 3D por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .