Método de Horn-Schunck

El método de Horn-Schunck para estimar el flujo óptico es un método global que introduce una restricción global de suavidad para resolver el problema de la apertura (véase Flujo óptico para una descripción más detallada).

El algoritmo de Horn-Schunck presupone una uniformidad en el flujo a lo largo de toda la imagen. Por lo tanto, intenta minimizar las distorsiones en el flujo y prefiere las soluciones que muestran mayor uniformidad.

El flujo se formula como una función de energía global que luego se busca minimizar. Esta función se da para flujos de imágenes bidimensionales como:

${\displaystyle E=\iint \left[(I_{x}u+I_{y}v+I_{t})^{2}+\alpha ^{2}(\lVert \nabla u\rVert ^{2}+\lVert \nabla v\rVert ^{2})\right]{{\rm {d}}x{\rm {d}}y}}$

dónde${\displaystyle I_{x}}$,${\displaystyle I_{y}}$y${\displaystyle I_{t}}$son las derivadas de los valores de intensidad de la imagen a lo largo de las dimensiones x, y y tiempo respectivamente,${\displaystyle {\vec {V}}=[u(x,y),v(x,y)]^{\top }}$es el vector de flujo óptico (que debe resolverse para ), y el parámetro${\displaystyle \alpha }$es una constante de regularización. Valores mayores de${\displaystyle \alpha }$conducen a un flujo más suave. Este funcional se puede minimizar resolviendo las ecuaciones de Euler-Lagrange multidimensionales asociadas . Estas son:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u}}-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial L}{\partial u_{x}}}-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial L}{\partial u_{y}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial L}{\partial v_{x}}}-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial L}{\partial v_{y}}}=0}$

dónde${\displaystyle L}$es el integrando de la expresión de energía, dando

${\displaystyle I_{x}(I_{x}u+I_{y}v+I_{t})-\alpha ^{2}\Delta u=0}$

${\displaystyle I_{y}(I_{x}u+I_{y}v+I_{t})-\alpha ^{2}\Delta v=0}$

donde los subíndices nuevamente denotan diferenciación parcial y${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$denota el operador de Laplace . En la práctica, el laplaciano se aproxima numéricamente mediante diferencias finitas y puede escribirse${\displaystyle \Delta u(x,y)=({\overline {u}}(x,y)-u(x,y))}$dónde${\displaystyle {\overline {u}}(x,y)}$es un promedio ponderado de${\displaystyle u}$calculado en un vecindario alrededor del píxel en la ubicación (x,y). Usando esta notación, el sistema de ecuaciones anterior se puede escribir

${\displaystyle (I_{x}^{2}+\alpha ^{2})u+I_{x}I_{y}v=\alpha ^{2}{\overline {u}}-I_{x}I_{t}}$

${\displaystyle I_{x}I_{y}u+(I_{y}^{2}+\alpha ^{2})v=\alpha ^{2}{\overline {v}}-I_{y}I_{t}}$

que es lineal en${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$y puede resolverse para cada píxel de la imagen. Sin embargo, dado que la solución depende de los valores vecinos del campo de flujo, debe repetirse una vez que se hayan actualizado los vecinos. El siguiente esquema iterativo se deriva utilizando la regla de Cramer :

${\displaystyle u^{k+1}={\overline {u}}^{k}-{\frac {I_{x}(I_{x}{\overline {u}}^{k}+I_{y}{\overline {v}}^{k}+I_{t})}{\alpha ^{2}+I_{x}^{2}+I_{y}^{2}}}}$

${\displaystyle v^{k+1}={\overline {v}}^{k}-{\frac {I_{y}(I_{x}{\overline {u}}^{k}+I_{y}{\overline {v}}^{k}+I_{t})}{\alpha ^{2}+I_{x}^{2}+I_{y}^{2}}}}$

donde el superíndice k+1 denota la siguiente iteración, que se va a calcular, y k es el último resultado calculado. En esencia, se trata de un método de división de matrices , similar al método de Jacobi , aplicado al sistema grande y disperso que surge al resolver para todos los píxeles simultáneamente .

Entre las ventajas del algoritmo de Horn-Schunck se encuentra la alta densidad de vectores de flujo que proporciona; es decir, la información de flujo que falta en las partes internas de los objetos homogéneos se completa a partir de los límites de movimiento. Como desventaja, es más sensible al ruido que los métodos locales.

• Método de Lucas-Kanade

• BKP Horn y BG Schunck, "Determinación del flujo óptico". Inteligencia Artificial , vol. 17, págs. 185-203, 1981. Manuscrito disponible en el servidor del MIT.

• Implementación de OpenCV