Horóscopo

En geometría hiperbólica , un horociclo ( del griego, que significa "círculo límite"), a veces llamado oriciclo o círculo límite , es una curva de curvatura constante donde todas las geodésicas perpendiculares ( normales ) que pasan por un punto del horociclo son paralelas límite y convergen asintóticamente a un único punto ideal llamado centro del horociclo. En algunos modelos de geometría hiperbólica, parece que los dos "extremos" de un horociclo se acercan cada vez más entre sí y a su centro, pero esto no es cierto; los dos "extremos" de un horociclo se alejan cada vez más entre sí y permanecen a una distancia infinita de su centro. Una horosfera es la versión tridimensional de un horociclo.

En el espacio euclidiano , todas las curvas de curvatura constante son líneas rectas (geodésicas) o círculos , pero en un espacio hiperbólico de curvatura seccional $-1,$ Las curvas de curvatura constante se presentan en cuatro tipos: geodésicas con curvatura $\kappa =0,$ hiperciclos con curvatura $0<|\kappa |<1,$ horociclos con curvatura $|\kappa |=1,$ y círculos con curvatura $|\kappa |>1.$

Dos horociclos cualesquiera son congruentes y pueden superponerse mediante una isometría (traslación y rotación) del plano hiperbólico.

Un horociclo también puede describirse como el límite de los círculos que comparten una tangente en un punto dado, cuando sus radios tienden al infinito , o como el límite de los hiperciclos tangentes en ese punto cuando las distancias desde sus ejes tienden al infinito.

Dos horociclos con el mismo centro se denominan concéntricos . En cuanto a los círculos concéntricos, cualquier geodésica perpendicular a un horociclo es también perpendicular a cualquier horociclo concéntrico.

Propiedades

Propiedades similares a las de los círculos euclidianos

Los horociclos en geometría hiperbólica tienen algunas propiedades similares a las de los círculos en geometría euclidiana :

Ningún trío de puntos de un horociclo se encuentra sobre una línea , círculo o hiperciclo.
Tres puntos que no están en una línea, círculo o hiperciclo están en un horociclo.
Un horociclo es una figura altamente simétrica : cada línea que pasa por el centro forma una línea de simetría de reflexión.

Una línea recta , un círculo , un hiperciclo u otro horociclo corta un horociclo en como máximo dos puntos.
La longitud de un arco de un horociclo entre dos puntos es mayor que la del segmento de línea que une esos dos puntos.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro del horociclo; afirmaciones equivalentes que se derivan de la unicidad de la mediatriz son:

Una línea perpendicular trazada desde el centro de un horociclo biseca la cuerda.

El segmento de recta que pasa por el centro y biseca una cuerda es perpendicular a la cuerda.

Una línea trazada perpendicularmente a un radio que pasa por el extremo de dicho radio y que se encuentra sobre el horóscopo es una tangente al horóscopo.
Una línea perpendicular trazada a una tangente que pasa por el punto de contacto con un horociclo pasa por el centro del horociclo.
Desde un punto fuera del horociclo , se pueden trazar dos tangentes al horociclo, y estas tangentes tienen la misma longitud.
El área de un sector de un horociclo (el área comprendida entre dos radios y el horociclo) es finita. ^{[ 1 ]}
Si C es el centro de un horociclo y A y B son puntos en el horociclo, entonces los ángulos CAB y CBA son iguales. ^{[ 2 ]}

Otras propiedades

Por cada par de puntos pasan dos horociclos. Los centros de los horociclos son los puntos ideales de la mediatriz del segmento que los une.
Todos los horociclos son congruentes . (Incluso los horociclos concéntricos son congruentes entre sí).
La longitud de un arco de un horociclo entre dos puntos es:

mayor que la longitud del segmento de línea entre esos dos puntos,

mayor que la longitud del arco de un hiperciclo entre esos dos puntos y

más corto que la longitud de cualquier arco de círculo entre esos dos puntos.

Si bien el área de un sector de un horociclo es finita, el área total de un horociclo es infinita (un horociclo se puede dividir en un número infinito de sectores iguales).
Un apeirogon regular puede ser circunscrito e inscrito por dos horociclos concéntricos.
La distancia desde un horociclo hasta su centro es infinita, y si bien en algunos modelos de geometría hiperbólica parece que los dos "extremos" de un horociclo se acercan cada vez más entre sí y a su centro, esto no es cierto; los dos "extremos" de un horociclo se alejan cada vez más el uno del otro.

Horociclos en un plano hiperbólico con curvatura gaussiana estandarizada

Cuando el plano hiperbólico tiene una curvatura gaussiana estandarizada K de -1:

El área de un sector de un horociclo es igual a la longitud del arco que lo subtiende.
La curvatura del horociclo es 1
La longitud s de un arco de horociclo entre dos puntos es: $s=2\sinh \left({\frac {1}{2}}d\right)={\sqrt {2(\cosh d-1)}}$

donde d es la distancia entre los dos puntos, y sinh y cosh son funciones hiperbólicas . ^{[ 3 ]}

La longitud de un arco de un horociclo tal que la tangente en un extremo es paralela límite al radio que pasa por el otro extremo es 1. ^{[ 4 ]} el área encerrada entre este horociclo y los radios es 1. ^{[ 5 ]}
La razón de las longitudes de arco entre dos radios de dos horociclos concéntricos donde los horociclos están separados por una distancia 1 es e : 1. ^{[ 6 ]}

Representaciones en modelos de geometría hiperbólica

modelo de disco de Poincaré

En el modelo del disco de Poincaré del plano hiperbólico, los horociclos están representados por círculos tangentes al círculo límite; el centro del horociclo es el punto ideal donde el horociclo toca el círculo límite.

La construcción con compás y regla de los dos horociclos que pasan por dos puntos es la misma construcción que la construcción CPP para los casos especiales del problema de Apolonio donde ambos puntos están dentro del círculo.

En el modelo del disco de Poincaré, parece que los puntos cercanos a los extremos opuestos de un horociclo se acercan entre sí y al centro del horociclo (en el círculo límite), pero en la geometría hiperbólica, cada punto de un horociclo se encuentra infinitamente alejado del centro. Además, la distancia entre los puntos de los extremos opuestos del horociclo aumenta a medida que aumenta la longitud del arco entre dichos puntos. (La intuición euclidiana puede resultar engañosa, ya que la escala del modelo tiende al infinito en el círculo límite).

Modelo de semiplano de Poincaré

En el modelo del semiplano de Poincaré , los horociclos están representados por círculos tangentes a la línea límite, en cuyo caso su centro es el punto ideal donde el círculo toca la línea límite.

Cuando el centro del horociclo es el punto ideal en $y=\infty$ Entonces el horociclo es una línea paralela a la línea límite.

La construcción del compás y la regla en el primer caso es la misma construcción que la construcción LPP para los casos especiales del problema de Apolonio .

Modelo hiperboloide

En el modelo hiperboloide, los horociclos se representan mediante intersecciones del hiperboloide con planos que generan parábolas en el cono asintótico (ver secciones cónicas: "el plano de corte es paralelo a exactamente una línea generatriz del cono"). La normal del plano de corte es un vector nulo en el espacio tridimensional de Minkowski .

Métrico

Si la métrica se normaliza para tener una curvatura gaussiana de -1, entonces el horociclo es una curva de curvatura geodésica de 1 en cada punto.

Flujo del horóscopo

Cada horociclo es la órbita de un subgrupo unipotente de PSL(2,R) en el plano hiperbólico. Además, el desplazamiento a velocidad unitaria a lo largo de la tangente del horociclo a un vector tangente unitario dado induce un flujo en el fibrado tangente unitario del plano hiperbólico. Este flujo se denomina flujo del horociclo en el plano hiperbólico.

Al identificar el fibrado tangente unitario con el grupo PSL(2,R) , el flujo del horociclo viene dado por la acción derecha del subgrupo unipotente. $U=\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}$ , dónde: $u_{t}=\pm \left({\begin{array}{cc}1&t\\0&1\end{array}}\right).$ Es decir, el flujo en el tiempo $t$ partiendo de un vector representado por $g\in \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} )$ es igual a $gu_{t}$ .

Si $S$ es una superficie hiperbólica su fibrado tangente unitario también admite un flujo horocíclico. Si $S$ se uniformiza como $S=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ El haz tangente unitario se identifica con $\Gamma \barra invertida \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {R} )$ y el flujo que comienza en $\Gamma g$ es dado por $t\mapsto \Gamma gu_ {t}$ . Cuando $S$ es compacto, o más generalmente cuando $\Gamma$ es una red , este flujo es ergódico (con respecto a la medida de Liouville normalizada ). Además, en este contexto, los teoremas de Ratner describen con gran precisión los posibles cierres para sus órbitas. ^{[ 7 ]}

Véase también

Referencias

↑ Coxeter, HSM (1998). Geometría no euclidiana (6.ª ed.). Washington, DC: Mathematical Assoc. of America. pp. 243-244 . ISBN 978-0-88385-522-5.
↑ Sossinsky, AB (2012). Geometrías . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 141 2. ISBN 9780821875711.
↑ Smogorzhevsky (1976). Geometría lobachevskiana . Moscú: Mir. pág. 65.
↑ Sommerville, DMY (2005). Los elementos de la geometría no euclidiana (Edición inédita y sin modificaciones ). Mineola, NY: Dover Publications. pág. 58. ISBN 0-486-44222-5.
↑ Coxeter, HSM (1998). Geometría no euclidiana (6.ª ed.). Washington , DC: Mathematical Assoc. of America. p. 250. ISBN 978-0-88385-522-5.
↑ Sommerville, DMY (2005). Los elementos de la geometría no euclidiana (Edición inédita y sin modificaciones ). Mineola, NY: Dover Publications. pág. 58. ISBN 0-486-44222-5.
↑ Morris, Dave Witte (2005). Teoremas de Ratner sobre flujos unipotentes . Conferencias de matemáticas de Chicago. Chicago, IL: University of Chicago Press. arXiv : math/0310402 . ISBN 978-0-226-53984-3MR 2158954 .

Lecturas adicionales

HSM Coxeter (1961) Introducción a la geometría , §16.6: "Círculos, horociclos y curvas equidistantes", página 300, 1, John Wiley & Sons .
John Stillwell (2005) Los cuatro pilares de la geometría , Cap. 8 «Geometría no euclidiana», pág. 198 , ISBN 0-387-25530-3

[1] Coxeter, HSM (1998). Geometría no euclidiana (6.ª ed.). Washington, DC: Mathematical Assoc. of America. pp. 243-244 . ISBN 978-0-88385-522-5.

[2] Sossinsky, AB (2012). Geometrías . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 141 2. ISBN 9780821875711.

[3] Smogorzhevsky (1976). Geometría lobachevskiana . Moscú: Mir. pág. 65.

[4] Sommerville, DMY (2005). Los elementos de la geometría no euclidiana (Edición inédita y sin modificaciones ). Mineola, NY: Dover Publications. pág. 58. ISBN 0-486-44222-5.

[5] Coxeter, HSM (1998). Geometría no euclidiana (6.ª ed.). Washington , DC: Mathematical Assoc. of America. p. 250. ISBN 978-0-88385-522-5.

[6] Sommerville, DMY (2005). Los elementos de la geometría no euclidiana (Edición inédita y sin modificaciones ). Mineola, NY: Dover Publications. pág. 58. ISBN 0-486-44222-5.

[7] Morris, Dave Witte (2005). Teoremas de Ratner sobre flujos unipotentes . Conferencias de matemáticas de Chicago. Chicago, IL: University of Chicago Press. arXiv : math/0310402 . ISBN 978-0-226-53984-3MR 2158954 .

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