Lema de la herradura

En álgebra homológica , el lema de la herradura , también llamado teorema de resolución simultánea , es un enunciado que relaciona las resoluciones de dos objetos.${\displaystyle A'}$y${\displaystyle A''}$a resoluciones de prórrogas de${\displaystyle A''}$por${\displaystyle A'}$Dice que si un objeto${\displaystyle A}$es una extensión de${\displaystyle A''}$por${\displaystyle A'}$, luego una resolución de${\displaystyle A}$se puede construir inductivamente con el n -ésimo elemento en la resolución igual al coproducto de los n -ésimos elementos en las resoluciones de${\displaystyle A'}$y${\displaystyle A''}$El nombre del lema proviene de la forma del diagrama que ilustra la hipótesis del lema.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$sea ​​una categoría abeliana con suficientes proyectivos . Si

es un diagrama en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de tal manera que la columna sea exacta y las filas sean resoluciones proyectivas de${\displaystyle A'}$y${\displaystyle A''}$respectivamente, entonces se puede completar a un diagrama conmutativo

donde todas las columnas son exactas, la fila central es una resolución proyectiva de${\displaystyle A}$, y${\displaystyle P_{n}=P'_{n}\oplus P''_{n}}$para todo n . Si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es una categoría abeliana con suficientes inyectivos , la afirmación dual también es válida.

El lema se puede demostrar inductivamente. En cada etapa de la inducción, se utilizan las propiedades de los objetos proyectivos para definir mapas en una resolución proyectiva de${\displaystyle A}$. Luego se invoca el lema de la serpiente para demostrar que la resolución simultánea construida hasta ahora tiene filas exactas.

• Nueve lemas

• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956]. Álgebra homológica . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-04991-5.
• Osborne, M. Scott (2000). Álgebra homológica básica . Springer. ISBN 978-0-387-98934-1.

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