Estimador de Horvitz-Thompson

En estadística , el estimador de Horvitz-Thompson , que recibe su nombre de Daniel G. Horvitz y Donovan J. Thompson, ^{[ 1 ]} es un método para estimar el total ^{[ 2 ]} y la media de una pseudopoblación en una muestra estratificada mediante la aplicación de ponderación de probabilidad inversa para tener en cuenta la diferencia en la distribución muestral entre los datos recopilados y la población objetivo. El estimador de Horvitz-Thompson se aplica con frecuencia en análisis de encuestas y puede utilizarse para tener en cuenta los datos faltantes , así como muchas fuentes de probabilidades de selección desiguales .

Formalmente, dejemos${\displaystyle Y_{i},i=1,2,\ldots ,n}$ser una muestra independiente de${\displaystyle n}$de${\displaystyle N\geq n}$estratos distintos con una media general ${\displaystyle \mu }$Supongamos además que${\displaystyle \pi _{i}}$es la probabilidad de inclusión de que un individuo muestreado aleatoriamente en una superpoblación pertenezca a la${\displaystyle i}$estrato n.º. El estimador de Horvitz-Thompson del total viene dado por: ^{[ 3 ] : 51}

${\displaystyle {\hat {Y}}_{\mathrm {HT} }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}}{\pi _{i}}},}$

y la estimación de la media de Horvitz-Thompson viene dada por:

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{\mathrm {HT} }={\frac {1}{N}}{\hat {Y}}_{HT}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}}{\pi _{i}}}.}$

En un marco probabilístico bayesiano${\displaystyle \pi _{i}}$se considera la proporción de individuos en una población objetivo que pertenecen a la${\displaystyle i}$estrato. Por lo tanto,${\displaystyle Y_{i}/\pi _{i}}$podría considerarse como una estimación de la muestra completa de personas dentro de la${\displaystyle i}$estrato n.º. El estimador de Horvitz-Thompson también puede expresarse como el límite de una estimación de remuestreo bootstrap ponderado de la media. También puede considerarse un caso especial de enfoques de imputación múltiple . ^{[ 4 ]}

Para diseños de estudio post-estratificados , estimación de${\displaystyle \pi }$y${\displaystyle \mu }$se realizan en pasos distintos. En tales casos, el cálculo de la varianza de${\displaystyle {\hat {\mu }}_{HT}}$no es sencillo. Se pueden aplicar técnicas de remuestreo como el bootstrap o el jackknife para obtener estimaciones consistentes de la varianza del estimador de Horvitz-Thompson. ^{[ 5 ]} El paquete "survey" para R realiza análisis para datos post-estratificados utilizando el estimador de Horvitz-Thompson. ^{[ 6 ]}

Para esta demostración será útil representar la muestra como un subconjunto aleatorio.${\displaystyle S\subseteq \{1,\ldots ,N\}}$de tamaño${\displaystyle n}$Entonces podemos definir variables aleatorias indicadoras.${\displaystyle I_{j}=\mathbf {1} [j\in S]}$representando si para cada${\displaystyle j}$en${\displaystyle \{1,\ldots ,N\}}$si está presente en la muestra. Nótese que para cualquier observación en la muestra, la esperanza es la definición de la probabilidad de inclusión: ${\displaystyle \pi _{i}=\operatorname {\mathbb {E} } \left(I_{i}\right)=\Pr(i\in S)}$. ^{[ a ]}

Tomando la esperanza del estimador, podemos demostrar que es insesgado de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \left({\hat {\mu }}_{\mathrm {HT} }\right)&=\operatorname {\mathbb {E} } \left({\frac {1}{N}}\sum _{i\in S}{\frac {Y_{i}}{\pi _{i}}}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {Y_{j}}{\pi _{j}}}I_{j}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {Y_{j}}{\pi _{j}}}\operatorname {\mathbb {E} } \left(I_{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {Y_{j}}{\pi _{j}}}\pi _{j}\\[6pt]&={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}Y_{j}\end{aligned}}}$

Se sabe que la estrategia de Hansen-Hurwitz (1943) es inferior a la de Horvitz-Thompson (1952), asociada a varios procedimientos de muestreo de probabilidades de inclusión proporcionales al tamaño (IPPS). ^{[ 7 ]}

• Sitio web del paquete de encuestas para R