Hosoedro

En geometría esférica , un hosoedro n -gonal es una teselación de lunas sobre una superficie esférica , de tal manera que cada luna comparte los mismos dos vértices polares opuestos .

Un hosoedro n -gonal regular tiene ^{el símbolo} de Schläfli {2, n } , donde cada lúnula esférica tiene un ^ángulo interno de 2π / n radianes ( 360 / n grados ). ^{[ 1 ]} [ 2 ^]

Para un poliedro regular cuyo símbolo de Schläfli es { m , n }, el número de caras poligonales es :  

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}.}$

Los sólidos platónicos conocidos desde la antigüedad son las únicas soluciones enteras para m ≥ 3 y n ≥ 3. La restricción m ≥ 3 impone que las caras poligonales deben tener al menos tres lados.

Cuando se consideran los poliedros como un teselado esférico , esta restricción puede relajarse, ya que los digones (2-gonos) pueden representarse como lunas esféricas , que tienen un área distinta de cero .

Permitir m = 2 hace

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2\times 2+2n-2n}}=n,}$

y admite una nueva clase infinita de poliedros regulares, que son los hosoedros. En una superficie esférica, el poliedro {2, n} se representa como n lúnulas adyacentes, con ángulos interiores de 2π / n . Todas estas lúnulas esféricas comparten dos vértices comunes. 

El${\displaystyle 2n}$caras de lúnula esféricas digonales de una${\displaystyle 2n}$-hosoedro,${\displaystyle \{2,2n\}}$, representan los dominios fundamentales de la simetría diedral en tres dimensiones : la simetría cíclica${\displaystyle C_{nv}}$,${\displaystyle [n]}$,${\displaystyle (*nn)}$, orden${\displaystyle 2n}$Los dominios de reflexión se pueden mostrar mediante lunas de colores alternos como imágenes especulares.

Al dividir cada lúnula en dos triángulos esféricos se crea un${\displaystyle n}$bipirámide -gonal , que representa la simetría diedral${\displaystyle D_{nh}}$, orden${\displaystyle 4n}$.

El hosoedro tetragonal es topológicamente equivalente al sólido de Steinmetz bicilindro , la intersección de dos cilindros en ángulo recto. ^{[ 3 ]}

El dual del hosoedro n-gonal {2, n } es el diedro n- gonal { n , 2}. El poliedro {2,2} es autodual y es a la vez un hosoedro y un diedro.   

Un hosoedro puede modificarse de la misma manera que los otros poliedros para producir una variación truncada . El hosoedro n -gonal truncado es el prisma n-gonal .

En el límite, el hosoedro se convierte en un hosoedro apeirogonal como una teselación bidimensional:

Los análogos multidimensionales en general se denominan hosotopos . Un hosotopo regular con el símbolo de Schläfli {2, p ,..., q } tiene dos vértices, cada uno con una figura de vértice { p ,..., q }.

El hosotopo bidimensional , {2}, es un digon .

El término «hosoedro» parece derivar del griego ὅσος ( hosos ) «tantos», dando a entender que un hosoedro puede tener « tantas caras como se desee». ^{[ 4 ]} Fue introducido por Vito Caravelli en el siglo XVIII. ^{[ 5 ]}

• Poliedro
• Polítopo

• McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002), Abstract Regular Polytopes (1.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0
• Coxeter, HSM , Politopos regulares (tercera edición), Dover Publications Inc., ISBN 0-486-61480-8

• Weisstein, Eric W. "Hosoedro" . MathWorld .