par dual reductivo

En el campo matemático de la teoría de la representación , un par dual reductivo es un par de subgrupos ( G , G ′) del grupo de isometría Sp( W ) de un espacio vectorial simpléctico W , de tal manera que G es el centralizador de G ′ en Sp( W ) y viceversa, y estos grupos actúan reductivamente sobre W. De forma algo más general, se habla de un par dual cuando dos grupos son los centralizadores mutuos en un grupo mayor, que frecuentemente es un grupo lineal general . El concepto fue introducido por Roger Howe en Howe (1979) . Sus fuertes vínculos con la Teoría Clásica de Invariantes se discuten en Howe (1989a) .

• El grupo simpléctico completo G  =  Sp( W ) y el grupo de dos elementos G ′, el centro de Sp( W ), forman un par dual reductivo. La propiedad de doble centralizador es clara a partir de la forma en que se definieron estos grupos: el centralizador del grupo G en G es su centro, y el centralizador del centro de cualquier grupo es el grupo mismo. El grupo G ′, que consta de la transformación identidad y su negativa, puede interpretarse como el grupo ortogonal de un espacio vectorial unidimensional. Del desarrollo posterior de la teoría surge que este par es un primer ejemplo de una familia general de pares duales que consisten en un grupo simpléctico y un grupo ortogonal, conocidos como pares duales reductivos irreducibles de tipo I.
• Sea X un espacio vectorial n -dimensional, Y su dual y W la suma directa de X e Y. Entonces W puede transformarse en un espacio vectorial simpléctico de forma natural, de modo que ( X , Y ) sea su polarización lagrangiana. El grupo G es el grupo lineal general GL( X ), que actúa tautológicamente sobre X y contragredientemente sobre Y. El centralizador de G en el grupo simpléctico es el grupo G ′, que consta de operadores lineales sobre W que actúan sobre X mediante la multiplicación por un escalar no nulo λ y sobre Y mediante la multiplicación escalar por su inverso λ⁻¹ ^. Entonces, el centralizador de G ′ es G. Estos dos grupos actúan de forma completamente reducible sobre W y, por lo tanto, forman un par dual reductivo. El grupo G ′ puede interpretarse como el grupo lineal general de un espacio vectorial unidimensional. Este par es miembro de una familia de pares duales que consisten en grupos lineales generales conocidos como pares duales reductivos irreducibles de tipo II .

La noción de un par dual reductivo tiene sentido sobre cualquier cuerpo F , que suponemos fijo en todo momento. Por lo tanto, W es un espacio vectorial simpléctico sobre F.

Si W ₁ y W ₂ son dos espacios vectoriales simplécticos y ( G ₁ , G ′ ₁ ), ( G ₂ , G ′ ₂ ) son dos pares duales reductivos en los grupos simplécticos correspondientes, entonces podemos formar un nuevo espacio vectorial simpléctico W = W ₁ ⊕ W ₂ y un par de grupos G = G ₁ × G ₂ , G ′ = G ′ ₁ × G ′, ₂ que actúan sobre W mediante isometrías. Resulta que ( G , G ′) es un par dual reductivo. Un par dual reductivo se llama reducible si se puede obtener de esta manera a partir de grupos más pequeños, e irreducible en caso contrario. Un par reducible se puede descomponer en un producto directo de pares irreducibles, y para muchos propósitos, basta con restringir la atención al caso irreducible.

Varias clases de pares duales reductivos habían aparecido anteriormente en la obra de André Weil . Roger Howe demostró un teorema de clasificación que establece que, en el caso irreducible, dichos pares agotan todas las posibilidades. Se dice que un par dual reductivo irreducible ( G , G ′) en Sp( W ) es de tipo II si existe un subespacio lagrangiano X en W que es invariante bajo G y G ′, y de tipo I en caso contrario.

Un par dual reductivo irreducible arquetípico de tipo II consiste en un par de grupos lineales generales y surge de la siguiente manera. Sean U y V dos espacios vectoriales sobre F , X = U ⊗ _F V su producto tensorial, e Y = Hom _F ( X , F ) su dual . Entonces la suma directa W = X ⊕ Y puede dotarse de una forma simpléctica tal que X e Y sean subespacios lagrangianos, y la restricción de la forma simpléctica a X × Y ⊂ W × W coincide con el emparejamiento entre el espacio vectorial X y su dual Y. Si G  =  GL( U ) y G ′  =  GL( V ), entonces ambos grupos actúan linealmente sobre X e Y , las acciones preservan la forma simpléctica en W , y ( G , G ′) es un par dual reductivo irreducible. Nótese que X es un subespacio lagrangiano invariante, por lo tanto, este par dual es de tipo II.

Un par dual reductivo irreducible arquetípico de tipo I consta de un grupo ortogonal y un grupo simpléctico, y se construye de forma análoga. Sea U un espacio vectorial ortogonal y V un espacio vectorial simpléctico sobre F , y W = U ⊗ _F V su producto tensorial. La observación clave es que W es un espacio vectorial simpléctico cuya forma bilineal se obtiene del producto de las formas sobre los factores tensoriales. Además, si G  =  O( U ) y G ′  =  Sp( V ) son los grupos de isometría de U y V , entonces actúan sobre W de forma natural, estas acciones son simplécticas, y ( G , G ′) es un par dual reductivo irreducible de tipo I.

Estas dos construcciones producen todos los pares duales reductivos irreducibles sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F , como el cuerpo C de los números complejos . En general, se pueden reemplazar los espacios vectoriales sobre F por espacios vectoriales sobre un álgebra de división D sobre F , y proceder de manera similar a lo anterior para construir un par dual reductivo irreducible de tipo II. Para el tipo I, se parte de un álgebra de división D con involución τ, una forma hermitiana en U , y una forma antihermitiana en V (ambas no degeneradas), y se forma su producto tensorial sobre D , W = U ⊗ _D V. Entonces W está naturalmente dotado de una estructura de espacio vectorial simpléctico sobre F , los grupos de isometría de U y V actúan simplécticamente sobre W y forman un par dual reductivo irreducible de tipo I. Roger Howe demostró que, salvo un isomorfismo, cualquier par dual irreducible surge de esta manera. Una lista explícita para el caso F  = R aparece en Howe (1989b) . 

• Correspondencia de Howe entre representaciones de elementos de un par dual reductivo.
• Grupo Heisenberg
• Grupo metapléctico

• Howe, Roger E. (1979), "Series θ y teoría de invariantes" (PDF) , en Borel, Armand ; Casselman, W. (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Universidad Estatal de Oregón, Corvallis, Oregón, 1977), Parte 1 , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, XXXIII, Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , pp. 275–285 , ISBN  978-0-8218-1435-2, MR 0546602 , archivado del original (PDF) el 11-10-2006 , recuperado el 28-04-2021 
• Howe, Roger E. (1989a), "Observaciones sobre la teoría clásica de invariantes", Transactions of the American Mathematical Society , 313 (2), American Mathematical Society: 539–570 , doi : 10.2307/2001418 , JSTOR 2001418 .
• Howe, Roger E. (1989b), "Trascendiendo la teoría clásica de invariantes", Journal of the American Mathematical Society , 2 (3), American Mathematical Society: 535– 552, doi : 10.2307/1990942 , JSTOR 1990942 .
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representaciones e invariantes de los grupos clásicos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66348-2.