La identidad de Hua

En álgebra, la identidad de Hua ^{[ 1 ]} que lleva el nombre de Hua Luogeng , establece que para cualesquiera elementos a , b en un anillo de división , $${\displaystyle a-\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)^{-1}=aba}$$ cuando sea${\displaystyle ab\neq 0,1}$. Reemplazando${\displaystyle b}$con${\displaystyle -b^{-1}}$da otra forma equivalente de la identidad: $${\displaystyle \left(a+ab^{-1}a\right)^{-1}+(a+b)^{-1}=a^{-1}.}$$

La identidad se utiliza en una demostración del teorema de Hua , ^{[ 2 ]} que establece que si${\displaystyle \sigma }$es una función entre anillos de división que satisface $${\displaystyle \sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\quad \sigma (1)=1,\quad \sigma (a^{-1})=\sigma (a)^{-1},}$$ entonces${\displaystyle \sigma }$es un homomorfismo o un antihomomorfismo . Este teorema está relacionado con el teorema fundamental de la geometría proyectiva .

Uno tiene $${\displaystyle (a-aba)\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)=1-ab+ab\left(b^{-1}-a\right)\left(b^{-1}-a\right)^{-1}=1.}$$

La prueba es válida en cualquier anillo siempre que${\displaystyle a,b,ab-1}$son unidades . ^{[ 3 ]}