Teorema de Hurwitz (análisis complejo)

En matemáticas , y en particular en el campo del análisis complejo , el teorema de Hurwitz asocia los ceros de una sucesión de funciones holomorfas , compactas y localmente uniformemente convergentes con el de su límite correspondiente. El teorema recibe su nombre de Adolf Hurwitz .

Sea { f _k } una sucesión de funciones holomorfas en un conjunto abierto conexo G que convergen uniformemente en subconjuntos compactos de G a una función holomorfa f que no es constantemente cero en G. Si f tiene un cero de orden m en z _0, entonces para todo ρ  > 0 suficientemente pequeño y para k ∈ N  suficientemente grande (dependiendo de ρ ), f _k tiene precisamente m ceros en el disco definido por | z − z ₀ | < ρ , incluyendo la multiplicidad . Además, estos ceros convergen a z ₀ cuando k → ∞. ^{[ 1 ]}          

El teorema no garantiza que el resultado se cumpla para discos arbitrarios. De hecho, si se elige un disco tal que f tenga ceros en su frontera , el teorema falla. Un ejemplo explícito es considerar el disco unitario D y la secuencia definida por

${\displaystyle f_{n}(z)=z-1+{\frac {1}{n}},\qquad z\in \mathbb {C} }$

que converge uniformemente a f ( z ) = z − 1. La función f ( z ) no contiene ceros en D ; sin embargo, cada f _n tiene exactamente un cero en el disco correspondiente al valor real 1 − (1/ n ).      

El teorema de Hurwitz se utiliza en la demostración del teorema de mapeo de Riemann , ^{[ 2 ]} y también tiene los dos corolarios siguientes como consecuencia inmediata:

• Sea G un conjunto abierto y conexo, y { f _n } una sucesión de funciones holomorfas que convergen uniformemente en subconjuntos compactos de G a una función holomorfa f . Si cada f _n es distinta de cero en todo G , entonces f es idénticamente cero o tampoco es cero en ningún lugar.
• Si { f _n } es una sucesión de funciones univalentes en un conjunto abierto conexo G que convergen uniformemente en subconjuntos compactos de G a una función holomorfa f , entonces f es univalente o constante. ^{[ 2 ]}

Sea f una función analítica en un subconjunto abierto del plano complejo con un cero de orden m en z ₀ , y supongamos que { f _n } es una sucesión de funciones que convergen uniformemente en subconjuntos compactos a f . Fijemos algún ρ  >  0 tal que f ( z )  ≠  0 en 0  <  | z  − z ₀ | ≤ ρ. Elija δ tal que | f ( z )| > δ para z en el círculo | z − z ₀ | = ρ . Dado que f _k ( z ) converge uniformemente en el disco que hemos elegido, podemos encontrar N tal que | f _k ( z )| ≥ δ /2 para todo k ≥ N y todo z en el círculo, asegurando que el cociente f _k ′( z )/ f _k ( z ) esté bien definido para todo z en el círculo | z − z ₀ | = ρ . Por el teorema de Weierstrass tenemos               ${\displaystyle f_{k}'\to f'}$uniformemente en el disco, y por lo tanto tenemos otra convergencia uniforme:

${\displaystyle {\frac {f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}\to {\frac {f'(z)}{f(z)}}.}$

Denotando el número de ceros de f _k ( z ) en el disco por N _k , podemos aplicar el principio del argumento para encontrar

${\displaystyle m={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'_{k}(z)}{f_{k}(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }N_{k}}$

En el paso anterior, pudimos intercambiar la integral y el límite debido a la convergencia uniforme del integrando. Hemos demostrado que N _k  → m cuando k → ∞. Dado que los N _k son enteros, N _k debe ser igual a m para k suficientemente grande . ^{[ 1 ]}    

• Teorema de Rouché

• Ahlfors, Lars V. (1966), Análisis complejo. Una introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja , Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas (2.ª  ed.), McGraw-Hill
• Ahlfors, Lars V. (1978), Análisis complejo. Una introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja , Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas (3.ª  ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
• John B. Conway . Funciones de una variable compleja I. Springer-Verlag, Nueva York, Nueva York, 1978.
• EC Titchmarsh , La teoría de las funciones , segunda edición (Oxford University Press, 1939; reimpresa en 1985), pág.  119.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Teorema de Hurwitz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press