Matriz estable de Hurwitz

En matemáticas , una matriz estable de Hurwitz ^{[ 1 ]} , o más comúnmente simplemente matriz de Hurwitz ^{[ 2 ]} , es una matriz cuadrada cuyos valores propios tienen todos una parte real estrictamente negativa. Algunos autores también utilizan el término matriz de estabilidad ^{[ 2 ]} . Dichas matrices desempeñan un papel importante en la teoría de control .

Una matriz cuadrada${\displaystyle A}$Se denomina matriz de Hurwitz si cada valor propio de${\displaystyle A}$tiene una parte real estrictamente negativa , es decir,

${\displaystyle \operatorname {Re} [\lambda _{i}]<0\,}$

para cada valor propio${\displaystyle \lambda _{i}}$.${\displaystyle A}$También se la denomina matriz estable , porque entonces la ecuación diferencial

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

es asintóticamente estable , es decir,${\displaystyle x(t)\to 0}$como${\displaystyle t\to \infty .}$

Si${\displaystyle G(s)}$es una función de transferencia (con valores matriciales) , entonces${\displaystyle G}$se llama Hurwitz si los polos de todos los elementos de${\displaystyle G}$tienen parte real negativa. Tenga en cuenta que no es necesario que${\displaystyle G(s),}$para un argumento específico${\displaystyle s,}$ser una matriz de Hurwitz; ni siquiera tiene por qué ser cuadrada. La conexión es que si${\displaystyle A}$es una matriz de Hurwitz, entonces el sistema dinámico

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

tiene una función de transferencia de Hurwitz.

Cualquier punto fijo hiperbólico (o punto de equilibrio ) de un sistema dinámico continuo es localmente asintóticamente estable si y solo si el jacobiano del sistema dinámico es estable en el sentido de Hurwitz en el punto fijo.

La matriz de estabilidad de Hurwitz es fundamental en la teoría de control . Un sistema es estable si su matriz de control es una matriz de Hurwitz. Los componentes reales negativos de los autovalores de la matriz representan retroalimentación negativa . De manera similar, un sistema es inherentemente inestable si alguno de los autovalores tiene componentes reales positivos, lo que representa retroalimentación positiva .

• Matriz M
• El teorema de Perron-Frobenius demuestra que cualquier matriz de Hurwitz debe tener al menos una entrada negativa.
• Matriz Z

Este artículo incorpora material de la matriz de Hurwitz en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike .

• "Matriz de Hurwitz" . PlanetMath .