Problema de Hurwitz

En matemáticas, el problema de Hurwitz (que recibe su nombre de Adolf Hurwitz ) consiste en encontrar relaciones multiplicativas entre formas cuadráticas que generalicen las que se sabe que existen entre sumas de cuadrados en un cierto número de variables.

Existen relaciones multiplicativas bien conocidas entre sumas de cuadrados de dos variables.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}\ ,}$

(conocida como la identidad de Brahmagupta-Fibonacci ), y también la identidad de cuatro cuadrados de Euler y la identidad de ocho cuadrados de Degen . Estas pueden interpretarse como multiplicatividad para las normas en los números complejos (${\displaystyle \mathbb {C} }$), cuaterniones (${\displaystyle \mathbb {H} }$), y octoniones (${\displaystyle \mathbb {O} }$), respectivamente. ^{[ 1 ] : 1–3 [ 2 ]}

El problema de Hurwitz para el cuerpo K consiste en encontrar relaciones generales de la forma

${\displaystyle (x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,}$

donde las z son formas bilineales en x e y : es decir, cada z es una combinación K -lineal de términos de la forma x _i y _j . ^{[ 3 ] : 127}

Lo llamamos triple${\displaystyle \;(r,s,n)\;}$admisible para K si existe tal identidad. ^{[ 1 ] : 125} Los casos triviales de triples admisibles incluyen${\displaystyle \;(r,s,rs)\;.}$El problema no resulta interesante para K de característica  2, puesto que sobre tales cuerpos toda suma de cuadrados es un cuadrado, y excluimos este caso. Se cree que, de otro modo, la admisibilidad es independiente del cuerpo de definición. ^{[ 1 ] : 137}

Hurwitz planteó el problema en 1898 en el caso especial${\displaystyle \;r=s=n\;}$y demostró que, cuando se toman los coeficientes en${\displaystyle \mathbb {C} }$, los únicos valores admisibles${\displaystyle \,(n,n,n)\,}$eran${\displaystyle \;n\in \{1,2,4,8\}\;.}$^{[ 3 ] : 130}Su prueba se extiende a un campo de cualquiercaracterísticaexcepto 2. ^{[ 1 ] : 3}

El problema "Hurwitz-Radon" consiste en encontrar tríos admisibles de la forma${\displaystyle \,(r,n,n)\;.}$Obviamente${\displaystyle \;(1,n,n)\;}$es admisible. El teorema de Hurwitz-Radon establece que${\displaystyle \;\left(\rho (n),n,n\right)\;}$es admisible sobre cualquier campo donde${\displaystyle \,\rho (n)\,}$es la función definida para${\displaystyle \;n=2^{u}v\;,}$muy impar,${\displaystyle \;u=4a+b\;,}$con${\displaystyle \;0\leq b\leq 3\;,}$y${\displaystyle \;\rho (n)=8a+2^{b}\;.}$^{[ 1 ] : 137 [ 3 ] : 130}

Otros grupos triples admisibles incluyen:${\displaystyle \,(3,5,7)\,}$^{[ 1 ] : 138}y${\displaystyle \,(10,10,16)\;.}$^{[ 1 ] : 137}

• Álgebra de composición
• Teorema de Hurwitz (álgebras de división normadas)
• Número de Radon-Hurwitz