Esquema de diferencia híbrida

El esquema de diferencias híbrido ^{[ 1 ] [ 2 ]} es un método utilizado en la solución numérica de problemas de convección-difusión . Fue introducido por Spalding (1970). Es una combinación del esquema de diferencias centrales y el esquema de diferencias ascendentes, ya que aprovecha las propiedades favorables de ambos esquemas. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Fuente: ^{[ 5 ]}

El esquema de diferencias híbridas es un método utilizado en la solución numérica de problemas de convección-difusión. Estos problemas desempeñan un papel importante en la dinámica de fluidos computacional . Se puede describir mediante la ecuación parcial general de la siguiente manera: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \phi )+\nabla (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla (\Gamma \cdot \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }}$${\displaystyle \;}$ ( 1 )

Dónde,${\displaystyle \rho }$es la densidad ,${\displaystyle \mathbf {u} }$es el vector de velocidad,${\displaystyle \Gamma }$es el coeficiente de difusión y${\displaystyle S_{\phi }}$es el término fuente. En esta propiedad de la ecuación,${\displaystyle \phi }$puede ser la temperatura , la energía interna o un componente del vector velocidad.${\displaystyle \mathbf {u} }$en las direcciones x, y y z.

Para el análisis unidimensional del problema de convección-difusión en estado estacionario y sin la fuente, la ecuación se reduce a:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u\phi )\,={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right),\quad 0<x<L\;}$${\displaystyle \;}$ ( 2 )

Con condiciones de contorno,${\displaystyle \phi (0)\,=\phi _{0}}$y${\displaystyle \phi (L)\,=\phi _{L}}$, donde L es la longitud,${\displaystyle \phi _{0}}$y${\displaystyle \phi _{L}}$son los valores dados.

Integrando la ecuación 2 sobre el volumen de control que contiene el nodo N, y utilizando el teorema de Gauss , es decir,

${\displaystyle \int _{CV}\nabla (\rho \mathbf {u} \phi )dV\,=\int _{A}\mathbf {n} \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )dA}$${\displaystyle \;}$ ( 3 )

Produce el siguiente resultado:

${\displaystyle \left(\rho uA\phi \right)_{r}-\left(\rho uA\phi \right)_{l}}$=${\displaystyle \left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{r}-\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{l}}$${\displaystyle \;}$( 4 )

Donde A es el área de la sección transversal del volumen de control. La ecuación también debe satisfacer la ecuación de continuidad , es decir,

${\displaystyle \left(\rho uA\right)_{r}-\left(\rho uA\right)_{l}}$= 0${\displaystyle \;}$ ( 5 )

Ahora definamos las variables F y D para representar el flujo de masa por convección y la conductancia por difusión en las caras de las células,

${\displaystyle F\,=\rho uA}$${\displaystyle \;}$y${\displaystyle \;}$${\displaystyle D\,={\frac {\Gamma A}{\delta x}}}$${\displaystyle \;}$ ( 6 )

Por lo tanto, las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ) se transforman en las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle F_{r}\phi _{r}-F_{l}\phi _{l}\,=D_{r}(\phi _{R}-\phi _{N})-D_{l}(\phi _{N}-\phi _{L})}$${\displaystyle \;}$ ( 7 )

${\displaystyle F_{r}-F_{l}\,=0}$${\displaystyle \;}$ ( 8 )

Donde las letras minúsculas denotan los valores en las caras y las letras mayúsculas denotan los valores en los nodos. También definimos un parámetro adimensional, el número de Péclet (Pe), como una medida de las fuerzas relativas de convección y difusión.

${\displaystyle Pe\,={\frac {F}{D}}\,={\frac {\rho u}{\Gamma /\delta x}}}$${\displaystyle \;}$ ( 9 )

Para un número de Peclet bajo (|Pe|<2), el flujo se caracteriza por estar dominado por la difusión. Para un número de Peclet alto, el flujo está dominado por la convección.

Fuentes: ^{[ 3 ] [ 7 ]}

En las ecuaciones ( 7 ) y ( 8 ) anteriores, observamos que los valores requeridos se encuentran en las caras, en lugar de en los nodos. Por lo tanto, se requieren aproximaciones para cumplir con esto.

En el esquema de diferencias centrales reemplazamos el valor en la cara con el promedio de los valores en los nodos adyacentes,

${\displaystyle \phi _{r}\,={\frac {\phi _{R}+\phi _{N}}{2}}}$${\displaystyle \;}$y${\displaystyle \;}$${\displaystyle \phi _{l}\,={\frac {\phi _{N}+\phi _{L}}{2}}}$${\displaystyle \;}$ ( 10 )

Al sustituir estos valores en la ecuación ( 7 ) y reordenarla, obtenemos el siguiente resultado:

${\displaystyle a_{N}\phi _{N}\,=a_{R}\phi _{R}+a_{L}\phi _{L}}$${\displaystyle \;}$ ( 11 )

dónde,

En el esquema Upwind, reemplazamos el valor en la cara con el valor en el nodo aguas arriba adyacente. Por ejemplo, para el flujo hacia la derecha (Pe>0) como se muestra en el diagrama, reemplazamos los valores de la siguiente manera:

${\displaystyle \phi _{l}\,=\phi _{L}}$${\displaystyle \;}$y${\displaystyle \;}$${\displaystyle \phi _{r}\,=\phi _{N}}$${\displaystyle \;}$ ( 12 )

Y para Pe  <  0, colocamos los valores como se muestra en la figura 3,

${\displaystyle \phi _{r}\,=\phi _{R}}$${\displaystyle \;}$y${\displaystyle \;}$${\displaystyle \phi _{l}\,=\phi _{N}}$${\displaystyle \;}$( 13 )

Al sustituir estos valores en la ecuación ( 7 ) y reordenarla, obtenemos la misma ecuación que la ecuación ( 11 ), con los siguientes valores de los coeficientes:

Fuentes: ^{[ 3 ] [ 7 ]}

El esquema de diferencias híbrido de Spalding (1970) combina el esquema de diferencias centrales y el esquema de diferencias ascendentes. Utiliza el esquema de diferencias centrales, que tiene una precisión de segundo orden, para números de Peclet pequeños (|Pe|  <  2). Para números de Peclet grandes (|Pe|  >  2), utiliza el esquema de diferencias ascendentes, que tiene una precisión de primer orden pero considera la convección del fluido.

Como se puede observar en la figura 4, para Pe  =  0, se trata de una distribución lineal y para valores altos de Pe toma el valor aguas arriba dependiendo de la dirección del flujo. Por ejemplo, el valor en la cara izquierda, en diferentes circunstancias, es:

${\displaystyle \phi _{l}\,=\left[\left(1+{\frac {2}{Pe_{l}}}\right){\frac {\phi _{L}}{2}}+\left(1-{\frac {2}{Pe_{l}}}\right){\frac {\phi _{N}}{2}}\right]\,}$${\displaystyle \;}$para${\displaystyle \;}$${\displaystyle -2<Pe_{l}<2}$${\displaystyle \;}$ ( 14 )

${\displaystyle \phi _{l}\,=\phi _{L}}$${\displaystyle \;}$para${\displaystyle \;}$${\displaystyle Pe_{l}{\text{≥}}2}$${\displaystyle \;}$ ( 15 )

${\displaystyle \phi _{l}\,=\phi _{N}}$${\displaystyle \;}$para${\displaystyle \;}$${\displaystyle Pe_{l}{\text{≤}}-2}$${\displaystyle \;}$ ( 16 )

Sustituyendo estos valores en la ecuación ( 7 ) obtenemos la misma ecuación ( 11 ) con los valores de los coeficientes como sigue:

Aprovecha las propiedades favorables de los esquemas de diferencias centrales y de diferencias finitas centradas. Cambia al esquema de diferencias finitas centradas cuando el esquema de diferencias centrales produce resultados inexactos para números de Peclet elevados. Genera una solución físicamente realista y ha demostrado ser útil en la predicción de flujos prácticos. La única desventaja del esquema de diferencias híbrido es que la precisión en términos del error de truncamiento de la serie de Taylor es de primer orden.

• Esquema de diferencias ascendentes para convección

• http://proceedings.fyper.com/eccomascfd2006/documents/595.pdf
• http://www.internonlinearscience.org/upload/papers/20110228093510102.pdf
• http://www.internonlinearscience.org/upload/papers/20110227034844410.pdf