Métrica de Poincaré

En matemáticas , la métrica de Poincaré , que recibe su nombre de Henri Poincaré , es el tensor métrico que describe una superficie bidimensional de curvatura negativa constante . Es la métrica natural que se utiliza habitualmente en diversos cálculos de geometría hiperbólica o superficies de Riemann .

En geometría hiperbólica bidimensional se utilizan comúnmente tres representaciones equivalentes . Una de ellas es el modelo del semiplano de Poincaré , que define un modelo del espacio hiperbólico en el semiplano superior . El modelo del disco de Poincaré define un modelo del espacio hiperbólico en el disco unitario . El disco y el semiplano superior están relacionados por una transformación conforme , y las isometrías se definen mediante transformaciones de Möbius . Una tercera representación se sitúa en el disco perforado , donde a veces se expresan relaciones para q -análogos . Estas diversas formas se analizan a continuación.

Una métrica en el plano complejo puede expresarse generalmente de la forma

${\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dz\,d{\overline {z}}}$

donde λ es una función real y positiva de${\displaystyle z}$y${\displaystyle {\overline {z}}}$La longitud de una curva γ en el plano complejo viene dada, por lo tanto, por:

${\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|}$

El área de un subconjunto del plano complejo viene dada por

${\displaystyle {\text{Área}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}\,dz\wedge d{\overline {z}}}$

dónde${\displaystyle \wedge }$es el producto exterior utilizado para construir la forma volumétrica . El determinante de la métrica es igual a${\displaystyle \lambda ^{4}}$, por lo tanto, la raíz cuadrada del determinante es${\displaystyle \lambda ^{2}}$. La forma de volumen euclidiana en el plano es${\displaystyle dx\wedge dy}$y así uno tiene

${\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-i\,dy)=-2i\,dx\wedge dy.}$

Una función${\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})}$Se dice que es el potencial de la métrica si

${\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}$

El operador de Laplace-Beltrami viene dado por

${\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}$

La curvatura gaussiana de la métrica viene dada por

${\displaystyle K=-\Delta \log \lambda .\,}$

Esta curvatura es la mitad de la curvatura escalar de Ricci .

Las isometrías preservan los ángulos y las longitudes de arco. En las superficies de Riemann, las isometrías son idénticas a los cambios de coordenadas: es decir, tanto el operador de Laplace-Beltrami como la curvatura son invariantes bajo isometrías. Así, por ejemplo, sea S una superficie de Riemann con métrica${\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dz\,d{\overline {z}}}$y T sea una superficie de Riemann con métrica${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}}$Luego un mapa

${\displaystyle f:S\to T\,}$

con${\displaystyle f=w(z)}$es una isometría si y solo si es conforme y si

${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})}$.

Aquí, el requisito de que el mapa sea conforme no es más que la afirmación

${\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}$

eso es,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}$

El tensor métrico de Poincaré en el modelo del semiplano de Poincaré se define en el semiplano superior H como

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{y^{2}}}}$

donde escribimos${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$y${\displaystyle d{\overline {z}}=dx-i\,dy}$Este tensor métrico es invariante bajo la acción de SL(2, R ) . Es decir, si escribimos

${\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}}}$

para${\displaystyle ad-bc=1}$Entonces podremos calcular que

${\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}}}$

y

${\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}}.}$

La transformación infinitesimal se produce como

${\displaystyle dz'={\frac {\partial }{\partial z}}{\Big (}{\frac {az+b}{cz+d}}{\Big )}\,dz={\frac {a(cz+d)-c(az+b)}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {acz+ad-caz-cb}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {ad-cb}{(cz+d)^{2}}}\,dz\,\,{\overset {ad-cb=1}{=}}\,\,{\frac {1}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}}}$

y entonces

${\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}}$

dejando así claro que el tensor métrico es invariante bajo SL(2, R ). En efecto,

${\displaystyle {\frac {dz'\,d{\overline {z}}'}{y'^{2}}}={\frac {\frac {dzd{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}{\frac {y^{2}}{|cz+d|^{4}}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{y^{2}}}.}$

El elemento de volumen invariante viene dado por

${\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}$

La métrica viene dada por

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}}}$

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}}$

para${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} .}$

Otra forma interesante de la métrica se puede dar en términos de la razón cruzada . Dados cuatro puntos cualesquiera${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$y${\displaystyle z_{4}}$en el plano complejo compactificado${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},}$La razón cruzada se define por

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}.}$

Entonces la métrica viene dada por

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log \left(z_{1},z_{2};z_{1}^{\times },z_{2}^{\times }\right).}$

Aquí,${\displaystyle z_{1}^{\times }}$y${\displaystyle z_{2}^{\times }}$son los puntos extremos, en la recta numérica real , de la unión geodésica${\displaystyle z_{1}}$y${\displaystyle z_{2}}$. Estos están numerados de manera que ${\displaystyle z_{1}}$se encuentra en medio${\displaystyle z_{1}^{\times }}$y${\displaystyle z_{2}}$.

Las geodésicas para este tensor métrico son arcos circulares perpendiculares al eje real (semicírculos cuyo origen está en el eje real) y líneas verticales rectas que terminan en el eje real.

El semiplano superior se puede mapear conformemente al disco unitario con la transformación de Möbius.

${\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}}}$

donde w es el punto en el disco unitario que corresponde al punto z en el semiplano superior. En esta transformación, la constante z ₀ puede ser cualquier punto en el semiplano superior; se transformará en el centro del disco. El eje real${\displaystyle \Im z=0}$mapas hasta el borde del disco de la unidad${\displaystyle |w|=1.}$El número real constante${\displaystyle \phi }$Se puede utilizar para girar el disco una cantidad fija arbitraria.

El mapeo canónico es

${\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}$

lo que lleva a i al centro del disco y a 0 a la parte inferior del disco.

El tensor métrico de Poincaré en el modelo de disco de Poincaré se define en el disco unitario abierto.

${\displaystyle U=\left\{z=x+iy:|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<1\right\}}$

por

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4(dx^{2}+dy^{2})}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {4dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

El elemento de volumen viene dado por

${\displaystyle d\mu ={\frac {4dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {4dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

La métrica de Poincaré viene dada por

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|}$

para${\displaystyle z_{1},z_{2}\in U.}$

Las geodésicas de este tensor métrico son arcos circulares cuyos extremos son ortogonales al borde del disco. Los flujos geodésicos en el disco de Poincaré son flujos de Anosov ; dicho artículo desarrolla la notación para estos flujos.

Una segunda correspondencia común del semiplano superior a un disco es la correspondencia q.

${\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )}$

donde q es el nomo y τ es la relación de semiperíodos :

${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$.

En la notación de las secciones anteriores, τ es la coordenada en el semiplano superior.${\displaystyle \Im \tau >0}$. El mapeo es al disco perforado, porque el valor q =0 no está en la imagen del mapa.

La métrica de Poincaré en el semiplano superior induce una métrica en el disco q.

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dq\,d{\overline {q}}}$

El potencial de la métrica es

${\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}}$

La métrica de Poincaré es decreciente con la distancia en funciones armónicas . Esta es una extensión del lema de Schwarz , llamado teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick .

• grupo fucsia
• Modelo fuchsiano
• grupo kleiniano
• modelo kleiniano
• modelo de disco de Poincaré
• Modelo de semiplano de Poincaré
• Geodésica principal

• Hershel M. Farkas e Irwin Kra , Superficies de Riemann (1980), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost, Superficies compactas de Riemann (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X(Véase la Sección 2.3) .
• Svetlana Katok , Grupos fucsianos (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5(Ofrece una introducción sencilla y de fácil lectura.)