Espacio métrico hiperbólico

Dejar${\displaystyle (X,d)}$Sea un espacio métrico . El producto de Gromov de dos puntos${\displaystyle y,z\in X}$con respecto a un tercero${\displaystyle x\in X}$se define mediante la fórmula:

$${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}\left(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)\right).}$$

La definición de Gromov de un espacio métrico hiperbólico es entonces la siguiente:${\displaystyle X}$es${\displaystyle \delta }$-hiperbólico si y solo si todos${\displaystyle x,y,z,w\in X}$cumplir la condición de cuatro puntos

$${\displaystyle (x,z)_{w}\geq \min \left((x,y)_{w},(y,z)_{w}\right)-\delta }$$

Tenga en cuenta que si esta condición se cumple para todos${\displaystyle x,y,z\in X}$y un punto de base fijo${\displaystyle w_{0}}$, entonces queda satisfecho para todos${\displaystyle w}$con una constante${\displaystyle 2\delta }$. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, la condición de hiperbolicidad solo necesita verificarse para un punto base fijo; por esta razón, el subíndice para el punto base a menudo se omite del producto de Gromov.

Hasta cambiar${\displaystyle \delta }$por un múltiplo constante, existe una definición geométrica equivalente que involucra triángulos cuando el espacio métrico${\displaystyle X}$es geodésica , es decir, cualquier par de puntos${\displaystyle x,y\in X}$son los puntos finales de un segmento geodésico${\displaystyle [x,y]}$(una imagen isométrica de un subintervalo compacto)${\displaystyle [a,b]}$de los reales). ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Nótese que la definición mediante productos de Gromov no requiere que el espacio sea geodésico.

Dejar${\displaystyle x,y,z\in X}$. Un triángulo geodésico con vértices${\displaystyle x,y,z}$es la unión de tres segmentos geodésicos${\displaystyle [x,y],[y,z],[z,x]}$(dónde${\displaystyle [p,q]}$denota un segmento con puntos finales${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$).

incógnita

y

z

B _δ ([ x , y ])

B _δ ([ z , x ])

B _δ ([ y , z ])

La condición del triángulo δ-delgado

Si por algún motivo${\displaystyle m\in [x,y]}$hay un punto en${\displaystyle [y,z]\cup [z,x]}$a una distancia menor que${\displaystyle \delta }$de${\displaystyle m}$y de manera similar para los puntos en los otros bordes, y${\displaystyle \delta \geq 0}$entonces se dice que el triángulo es${\displaystyle \delta }$-delgado .

Una definición de un${\displaystyle \delta }$-el espacio hiperbólico es entonces un espacio métrico geodésico cuyos triángulos geodésicos son todos${\displaystyle \delta }$-delgado. Esta definición se atribuye generalmente a Eliyahu Rips .

Otra definición puede darse utilizando la noción de una${\displaystyle C}$-centro aproximado de un triángulo geodésico: este es un punto que está a una distancia máxima${\displaystyle C}$de cualquier lado del triángulo (una versión "aproximada" del incentro ). Un espacio es${\displaystyle \delta }$-hiperbólico si cada triángulo geodésico tiene un${\displaystyle \delta }$-centro.

Estas dos definiciones de un${\displaystyle \delta }$-El espacio hiperbólico utilizando triángulos geodésicos no es exactamente equivalente, pero existe${\displaystyle k>1}$de tal manera que un${\displaystyle \delta }$-espacio hiperbólico en el primer sentido es${\displaystyle k\cdot \delta }$-hiperbólico en el segundo caso, y viceversa. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, la noción de espacio hiperbólico es independiente de la definición elegida.

El plano hiperbólico es hiperbólico: de hecho, el círculo inscrito de un triángulo geodésico es el círculo de mayor diámetro contenido en el triángulo, y todo triángulo geodésico se encuentra en el interior de un triángulo ideal, todos los cuales son isométricos con círculos inscritos de diámetro 2 log 3. ^{[ 6 ]} Nótese que en este caso el producto de Gromov también tiene una interpretación simple en términos del círculo inscrito de un triángulo geodésico. De hecho, la cantidad ( A , B ) _C es simplemente la distancia hiperbólica p desde C a cualquiera de los puntos de contacto del círculo inscrito con los lados adyacentes: pues del diagrama c = ( a – p ) + ( b – p ) , de modo que p = ( a + b – c )/2 = ( A , B ) _C . ^{[ 7 ]}

El plano euclidiano no es hiperbólico, por ejemplo, debido a la existencia de homotecias .

Dos ejemplos "degenerados" de espacios hiperbólicos son los espacios con diámetro acotado (por ejemplo, espacios finitos o compactos ) y la recta real .

Los árboles métricos y, en general, los árboles reales son los ejemplos más sencillos e interesantes de espacios hiperbólicos, ya que son 0-hiperbólicos (es decir, todos los triángulos son trípodes).

El 1-esqueleto de la triangulación por triángulos equiláteros euclidianos no es hiperbólico (de hecho es cuasi-isométrico al plano euclidiano). Una triangulación del plano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$Tiene un esqueleto hiperbólico de grado 1 si cada vértice tiene grado 7 o más.

La cuadrícula bidimensional no es hiperbólica (es casi isométrica al plano euclidiano). Es el grafo de Cayley del grupo fundamental del toro ; el grafo de Cayley de los grupos fundamentales de una superficie de género superior es hiperbólico (de hecho, es casi isométrico al plano hiperbólico).

El plano hiperbólico (y más generalmente cualquier variedad de Hadamard de curvatura seccional)${\displaystyle \leq -1}$) es${\displaystyle 2}$-hiperbólico. Si escalamos la métrica riemanniana por un factor${\displaystyle \lambda >0}$entonces las distancias se multiplican por${\displaystyle \lambda }$y así obtenemos un espacio que es${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$-hiperbólico. Dado que la curvatura se multiplica por${\displaystyle \lambda ^{-1}}$Vemos que en este ejemplo, cuanto más curvado (negativamente) está el espacio, menor es la constante de hiperbolicidad.

Ejemplos similares son los espacios CAT de curvatura negativa. Si bien la curvatura es una propiedad esencialmente local, la hiperbolicidad es una propiedad a gran escala que no presenta fenómenos métricos locales (es decir, que ocurren en una región acotada). Por ejemplo, la unión de un espacio hiperbólico con un espacio compacto, con cualquier métrica que extienda las originales, sigue siendo hiperbólica.

Una forma de precisar el significado de "gran escala" es exigir invariancia bajo cuasi-isometría . Esto se cumple en el caso de la hiperbolicidad.

Si un espacio métrico geodésico${\displaystyle Y}$es cuasi isométrico a un${\displaystyle \delta }$-espacio hiperbólico${\displaystyle X}$entonces existe${\displaystyle \delta '}$de tal manera que${\displaystyle Y}$es${\displaystyle \delta '}$-hiperbólico.

La constante${\displaystyle \delta '}$depende de${\displaystyle \delta }$y sobre las constantes multiplicativas y aditivas para la cuasi-isometría. ^{[ 8 ]}

La definición de un espacio hiperbólico en términos del producto de Gromov puede interpretarse como que las relaciones métricas entre cuatro puntos cualesquiera son las mismas que en un árbol, salvo por una constante aditiva.${\displaystyle \delta }$. De manera más general, la siguiente propiedad muestra que cualquier subconjunto finito de un espacio hiperbólico se parece a un árbol finito.

Para cualquier${\displaystyle n,\delta }$hay una constante${\displaystyle C}$de tal manera que se cumple lo siguiente: si${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$son puntos en un${\displaystyle \delta }$-espacio hiperbólico${\displaystyle X}$Hay un árbol finito${\displaystyle T}$y una incrustación${\displaystyle f:T\to X}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}\in f(T)}$a pesar de${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$y

$${\displaystyle \forall i,j:d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))\leq d(x_{i},x_{j})\leq d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))+C}$$

La constante${\displaystyle C}$puede tomarse como${\displaystyle \delta \cdot h(n)}$con${\displaystyle h(n)=O(\log n)}$y esto es óptimo. ^{[ 9 ]}

En un espacio hiperbólico${\displaystyle X}$Tenemos la siguiente propiedad: ^{[ 10 ]}

Hay${\displaystyle \mu ,K>0}$de tal manera que para todos${\displaystyle p,x,y\in X}$con${\displaystyle d(p,x)=d(p,y)=:r}$, cada camino${\displaystyle \alpha }$unión${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$y manteniéndose a distancia al menos${\displaystyle r}$de${\displaystyle p}$tiene longitud al menos${\displaystyle e^{\mu \cdot d(x,y)}-K}$.

De manera informal, esto significa que la circunferencia de un "círculo" de radio${\displaystyle r}$crece exponencialmente con${\displaystyle r}$Esto recuerda al problema isoperimétrico en el plano euclidiano . He aquí una afirmación más específica al respecto. ^{[ 11 ]}

Supongamos que${\displaystyle X}$es un complejo celular de dimensión 2 tal que su 1-esqueleto es hiperbólico y existe${\displaystyle C}$de tal manera que el límite de cualquier 2-celda contiene como máximo${\displaystyle C}$1-células. Entonces hay una constante${\displaystyle \lambda >0}$de tal manera que para cualquier subcomplejo finito${\displaystyle Y\subset X}$tenemos

${\displaystyle \operatorname {area} (Y)\leq \lambda \cdot \operatorname {length(\partial Y)} }$

Aquí, el área de un 2-complejo es el número de 2-celdas y la longitud de un 1-complejo es el número de 1-celdas. La afirmación anterior es una desigualdad isoperimétrica lineal ; resulta que tener dicha desigualdad isoperimétrica caracteriza a los espacios hiperbólicos de Gromov. ^{[ 12 ]} Las desigualdades isoperimétricas lineales se inspiraron en las condiciones de cancelación pequeñas de la teoría de grupos combinatorios .

Un subespacio${\displaystyle Y}$de un espacio métrico geodésico${\displaystyle X}$Se dice que es cuasiconvexa si existe una constante.${\displaystyle C}$de tal manera que cualquier geodésica en${\displaystyle X}$entre dos puntos de${\displaystyle Y}$se mantiene a distancia${\displaystyle C}$de${\displaystyle Y}$.

Un subespacio cuasiconvexo de un espacio hiperbólico es hiperbólico.

Todos los conos asintóticos de un espacio hiperbólico son árboles reales . Esta propiedad caracteriza a los espacios hiperbólicos. ^{[ 13 ]}

Una secuencia${\displaystyle (x_{n})\in X^{\mathbb {N} }}$Se dice que converge al infinito si para algún (o cualquier) punto${\displaystyle p}$tenemos eso${\displaystyle (x_{n},x_{m})_{p}\rightarrow \infty }$como ambos${\displaystyle n}$y${\displaystyle m}$ir hasta el infinito. Dos secuencias${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}$que convergen al infinito se consideran equivalentes cuando${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(x_{n},y_{n})_{p}=+\infty }$(para algunos o cualquiera)${\displaystyle p}$). El límite de${\displaystyle X}$es el conjunto de clases de equivalencia de secuencias que convergen al infinito, ^{[ 14 ]} que se denota${\displaystyle \partial X}$.

Si${\displaystyle \xi ,\eta }$Si dos puntos se encuentran en la frontera, su producto de Gromov se define como:

$${\displaystyle (\xi ,\eta )_{p}=\sup _ {(x_{n})=\xi ,(y_{n})=\eta }\left(\liminf _ {n,m\to +\infty }(x_{n},y_{m})_{p}\right)}$$

que es finito si y solo si${\displaystyle \xi \neq \eta }$. Entonces se puede definir una topología en${\displaystyle \partial X}$utilizando las funciones${\displaystyle (\cdot ,\xi )}$. ^{[ 15 ]} Esta topología en${\displaystyle \partial X}$es metrizable y existe una familia distinguida de métricas definidas utilizando el producto de Gromov. ^{[ 16 ]}

Dejar${\displaystyle \alpha,\beta}$sean dos incrustaciones cuasi isométricas de${\displaystyle [0,+\infty [}$en${\displaystyle X}$("rayos cuasi geodésicos"). Se consideran equivalentes si y solo si la función${\displaystyle t\mapsto d(\alpha (t),\beta (t))}$está delimitado por${\displaystyle [0,+\infty [}$. Si el espacio${\displaystyle X}$es propio entonces el conjunto de todas esas incrustaciones módulo equivalencia con su topología natural es homeomorfo a${\displaystyle \partial X}$como se definió anteriormente. ^{[ 17 ]}

Una realización similar consiste en fijar un punto base y considerar solo los rayos cuasi geodésicos que se originan en este punto. En caso${\displaystyle X}$es geodésico y apropiado también se puede restringir a rayos geodésicos genuinos.

Cuando${\displaystyle X=T}$es un árbol regular simplicial el límite es simplemente el espacio de los extremos, que es un conjunto de Cantor . Fijando un punto${\displaystyle x\in T}$produce una distancia natural en${\displaystyle \partial T}$: dos puntos representados por rayos${\displaystyle \alpha ,\beta }$originándose en${\displaystyle x}$están a distancia${\displaystyle \exp(-\operatorname {Length} (\alpha \cap \beta ))}$.

Cuando${\displaystyle X}$es el disco unitario , es decir, el modelo de disco de Poincaré para el plano hiperbólico, la métrica hiperbólica en el disco es

$${\displaystyle ds^{2}={4|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}}$$

y el límite de Gromov puede identificarse con el círculo unitario .

El límite de${\displaystyle n}$El espacio hiperbólico de dimensión - es homeomorfo al${\displaystyle n-1}$esfera de -dimensiones y las métricas son similares a la anterior.

Si${\displaystyle X}$es propio entonces su frontera es homeomorfa al espacio de funciones de Busemann en${\displaystyle X}$módulo traslaciones. ^{[ 18 ]}

Una cuasi-isometría entre dos espacios hiperbólicos${\displaystyle X,Y}$induce un homeomorfismo entre los límites.

En particular, el grupo de isometrías de${\displaystyle X}$actúa mediante homeomorfismos en${\displaystyle \partial X}$Esta acción puede utilizarse ^{[ 19 ]} para clasificar isometrías según su comportamiento dinámico en el límite, generalizando la de los árboles y los espacios hiperbólicos clásicos. Sea${\displaystyle g}$ser una isometría de${\displaystyle X}$, entonces ocurre uno de los siguientes casos:

• Primer caso:${\displaystyle g}$tiene una órbita limitada en${\displaystyle X}$(En caso${\displaystyle X}$es apropiado esto implica que${\displaystyle g}$tiene un punto fijo en${\displaystyle X}$). Entonces se denomina isometría elíptica .
• Segundo caso:${\displaystyle g}$tiene exactamente dos puntos fijos${\displaystyle \xi _{+},\xi _{-}}$en${\displaystyle \partial X}$y cada órbita positiva${\displaystyle \{g^{n}\xi :n\geq 0\},\xi \not =\xi _{-}}$se acumula solo en${\displaystyle \xi _{+}}$. Entonces${\displaystyle g}$Se denomina isometría hiperbólica .
• Tercer caso:${\displaystyle g}$Tiene exactamente un punto fijo en el límite y todas las órbitas convergen en este punto. Entonces se denomina isometría parabólica .