Cara (geometría)

En geometría sólida , una cara es una superficie plana (una región planar ) que forma parte del contorno de un objeto sólido. Por ejemplo, un cubo tiene seis caras en este sentido.

En tratamientos más modernos de la geometría de poliedros y politopos de dimensiones superiores , una "cara" se define de tal manera que puede tener cualquier dimensión. Los vértices , las aristas y las caras (bidimensionales) de un poliedro son todas caras en este sentido más general. ^{[ 1 ]}

En geometría elemental, los poliedros se definen de diversas maneras como formas definidas por sistemas de vértices (puntos), aristas (segmentos de línea) y caras (polígonos), que en muchas, pero no en todas, de estas definiciones se requieren para formar una superficie que encierre un volumen sólido; las caras son los polígonos bidimensionales de estas definiciones. ^{[ a ] ​​[ 1 ] [ 2 ]} Otros nombres para una cara poligonal incluyen lado de poliedro y tesela de plano euclidiano .

Por ejemplo, cualquiera de los seis cuadrados que delimitan un cubo es una cara del cubo. A veces, el término «cara» también se usa para referirse a las características bidimensionales de un politopo de cuatro dimensiones . En este sentido, el teseracto de cuatro dimensiones tiene 24 caras cuadradas, cada una de las cuales comparte dos de las ocho celdas cúbicas .

La superficie de cualquier poliedro convexo tiene características de Euler.

${\displaystyle V-E+F=2,}$

donde V es el número de vértices , E es el número de aristas y F es el número de caras. Esta ecuación se conoce como la fórmula del poliedro de Euler . Por lo tanto, el número de caras es 2 más que el exceso del número de aristas sobre el número de vértices. Por ejemplo, un cubo tiene 12 aristas y 8 vértices, y por lo tanto 6 caras.

En geometría de dimensiones superiores, las caras de un politopo son características de todas las dimensiones. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Una cara de dimensión k a veces se denomina k -cara. Por ejemplo, las caras poligonales de un poliedro ordinario son 2-caras. La palabra "cara" se define de manera diferente en distintas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, muchos autores, pero no todos, permiten que el propio politopo y el conjunto vacío sean caras de un politopo, donde el conjunto vacío, por coherencia, tiene una "dimensión" de −1. Para cualquier politopo n -dimensional, las caras tienen dimensión con . ${\displaystyle k}$${\displaystyle -1\leq k\leq n}$

Por ejemplo, con este significado, las caras de un cubo comprenden el cubo mismo (una cara de 3), sus facetas (cuadradas) (caras de 2), sus aristas (segmentos de línea) (caras de 1), sus vértices (puntos) (caras de 0) y el conjunto vacío.

En algunas áreas de las matemáticas, como la combinatoria poliédrica , un politopo es por definición convexo . En este contexto, existe una definición precisa: una cara de un politopo P en el espacio euclidiano es la intersección de P con cualquier semiplano cerrado cuyo límite es disjunto del interior relativo de P. ^{[ 5} ] Según esta definición, el conjunto de caras de un politopo incluye el propio politopo y el conjunto vacío. ^{[ 3 ] [ 4 ] Para politopos convexos, esta definición es equivalente a la} definición general de una cara de un conjunto convexo, que se presenta a continuación . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

En otras áreas de las matemáticas, como las teorías de politopos abstractos y politopos estrellados , el requisito de convexidad se relaja. Un concepto combinatorio preciso que generaliza algunos tipos anteriores de poliedros es la noción de complejo simplicial . De forma más general, existe la noción de complejo politópico .

Un simplex n -dimensional (segmento de línea ( n = 1 ), triángulo ( n = 2 ), tetraedro ( n = 3 ), etc.), definido por n + 1 vértices, tiene una cara para cada subconjunto de los vértices, desde el conjunto vacío hasta el conjunto de todos los vértices. En particular, hay 2 ^{n + 1} caras en total. El número de k -caras, para k ∈ {−1, 0, ..., n } , es el coeficiente binomial . ${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$

Las k -caras reciben nombres específicos dependiendo del valor de k y, en algunos casos, de la proximidad de k a la dimensión n del politopo.

Vértice es el nombre común para una cara de grado 0.

Edge es el nombre común para una cara única.

El uso de face en un contexto donde se pretende que un k específico sea un k -face pero no se especifica explícitamente es comúnmente un 2-face.

Una celda es un elemento poliédrico ( de 3 caras ) de un politopo de 4 dimensiones o una teselación de 3 dimensiones o superior. Las celdas son facetas de politopos de 4 dimensiones y estructuras de panal de abeja de 3 dimensiones.

Ejemplos:

En geometría de dimensiones superiores, las facetas de un n -politopo son las ( n -1 )-caras (caras de dimensión una unidad menor que el propio politopo). ^{[ 6 ]} Un politopo está delimitado por sus facetas.

Por ejemplo:

• Las facetas de un segmento de línea son sus caras 0 o vértices .
• Las facetas de un polígono son sus caras o aristas de dimensión 1 .
• Las facetas de un poliedro o teselado plano son sus caras de 2 lados . Sin embargo, en algunos contextos, una faceta de un poliedro se refiere a cualquier polígono formado a partir de un subconjunto de tres o más vértices de una cara de 2 lados.
• Las facetas de un politopo 4D o un panal de abejas 3D son sus 3 caras o celdas.
• Las facetas de un politopo 5D o panal de abejas de 4 dimensiones son sus 4 caras .

En terminología relacionada, las ( n − 2 ) caras de un n -politopo se denominan crestas (también subfacetas ). ^{[ 7 ]} Una cresta se considera el límite entre exactamente dos facetas de un politopo o panal.

Por ejemplo:

• Las aristas de un polígono 2D o un teselado 1D son sus caras 0 o vértices .
• Las aristas de un poliedro 3D o teselado plano son sus caras o aristas de dimensión 1 .
• Las crestas de un politopo 4D o un panal de abejas 3D son sus 2 caras.
• Las crestas de un politopo 5D o panal de abejas 4 son sus 3 caras o celdas .

Las ( n − 3 ) caras de un n -politopo se denominan picos . Un pico contiene un eje de rotación de facetas y crestas en un politopo regular o panal.

Por ejemplo:

• Los picos de un poliedro 3D o un teselado plano son sus caras 0 o vértices .
• Los vértices de un politopo 4D o un panal de abejas 3D son sus caras o aristas 1D .
• Los vértices de un politopo 5D o un panal de abejas de 4 dimensiones son sus 2 caras.

La noción de cara se puede generalizar de politopos convexos a todos los conjuntos convexos , como sigue. Sea un conjunto convexo en un espacio vectorial real . Una cara de es un subconjunto convexo tal que siempre que un punto se encuentre estrictamente entre dos puntos y en , tanto como deben estar en . Equivalentemente, para cualquier y cualquier número real tal que esté en , y debe estar en . ^{[ 8 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle V}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F\subsetequ C}$${\displaystyle p\in F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle 0<\theta <1}$${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$

Según esta definición, tanto el conjunto vacío como el conjunto en sí son caras de ; a estas se las denomina a veces caras triviales de . ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Un punto extremo de es un punto tal que es una cara de . ^{[ 8 ]} Es decir, si se encuentra entre dos puntos , entonces . ${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in C}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x=y=p}$

Por ejemplo:

• Un triángulo en el plano (incluida la región interior) es un conjunto convexo. Sus caras no triviales son los tres vértices y las tres aristas. (Por lo tanto, los únicos puntos extremos son los tres vértices).
• Las únicas caras no triviales del disco unitario cerrado son sus puntos extremos, es decir, los puntos en el círculo unitario .${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$

Sea un conjunto convexo en que es compacto (o equivalentemente, cerrado y acotado ). Entonces es la envoltura convexa de sus puntos extremos. ^{[ 9 ]} De manera más general, cada conjunto convexo compacto en un espacio vectorial topológico localmente convexo es la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos (el teorema de Krein-Milman ). ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C}$

Una cara expuesta de es el subconjunto de puntos de donde un funcional lineal alcanza su mínimo en . Por lo tanto, si es un funcional lineal en y , entonces es una cara expuesta de . ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha =\inf\{f(c)\ \colon c\in C\}>-\infty }$${\displaystyle \{c\in C\ \colon f(c)=\alpha \}}$${\displaystyle C}$

Un punto expuesto de es un punto tal que es una cara expuesta de . Es decir, para todo . Véase la figura para ejemplos de puntos extremos que no están expuestos. ${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in C}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f(p)>f(c)}$${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$

Algunos autores no incluyen y/o como caras de . Algunos autores requieren que una cara sea un subconjunto cerrado; esto es automático para un conjunto convexo compacto en un espacio vectorial de dimensión finita, pero no en dimensiones infinitas. ^{[ 10 ]} En dimensiones infinitas, se suele asumir que el funcional es continuo en una topología vectorial dada . ${\displaystyle C}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$

Una cara visible de un conjunto convexo es una cara. En particular, es un subconjunto convexo.

Si es una cara de un conjunto convexo , entonces un subconjunto es una cara de si y solo si es una cara de . ${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E\subseteq F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C}$

• Rejilla de caras
• Combinatoria poliédrica
• Geometría discreta

• Grünbaum, Branko (2003), Politopos convexos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 221 (2.ª ed.), Springer, ISBN 0-387-00424-6, MR  1976856
• Matoušek, Jiří (2002), Conferencias de geometría discreta , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 212, Springer, ISBN 9780387953748, MR  1899299
• Rockafellar, RT (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 1-4008-7317-7. MR  0274683 .
• Ziegler, Günter M. (1995), Lecciones sobre politopos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 152, Springer, ISBN 9780387943657, MR  1311028

• Weisstein, Eric W. "Cara" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Faceta" . MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Lado" . MathWorld .