Distribución hiperexponencial

En teoría de la probabilidad , una distribución hiperexponencial es una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X viene dada por

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(x)\;p_{i},}$

donde cada Y _i es una variable aleatoria con distribución exponencial con parámetro de tasa λ _i , y p _i es la probabilidad de que X tome la forma de la distribución exponencial con tasa λ _i . ^{[ 1 ]} Se denomina distribución hiperexponencial ya que su coeficiente de variación es mayor que el de la distribución exponencial, cuyo coeficiente de variación es 1, y la distribución hipoexponencial , que tiene un coeficiente de variación menor que uno. Mientras que la distribución exponencial es el análogo continuo de la distribución geométrica , la distribución hiperexponencial no es análoga a la distribución hipergeométrica . La distribución hiperexponencial es un ejemplo de una densidad de mezcla .

Un ejemplo de variable aleatoria hiperexponencial se puede ver en el contexto de la telefonía , donde, si alguien tiene un módem y un teléfono, su uso de la línea telefónica podría modelarse como una distribución hiperexponencial donde hay una probabilidad p de que hable por teléfono con una tasa λ ₁ y una probabilidad q de que utilice su conexión a Internet con una tasa λ ₂ . 

Dado que el valor esperado de una suma es la suma de los valores esperados, el valor esperado de una variable aleatoria hiperexponencial se puede mostrar como

${\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}$

y

${\displaystyle E\!\left[X^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i},}$

de la cual podemos derivar la varianza: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=E\!\left[X^{2}\right]-E\!\left[X\right]^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}-\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}=\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}\left({\frac {1}{\lambda _{i}}}-{\frac {1}{\lambda _{j}}}\right)^{2}.}$

La desviación estándar supera la media en general (excepto en el caso degenerado de que todos los λ sean iguales), por lo que el coeficiente de variación es mayor que  1.

La función generadora de momentos viene dada por

${\displaystyle E\!\left[e^{tx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.}$

Una distribución de probabilidad dada , incluyendo una distribución de cola pesada , puede aproximarse mediante una distribución hiperexponencial ajustándola recursivamente a diferentes escalas de tiempo utilizando el método de Prony . ^{[ 3 ]}

• Distribución de tipo fase
• Distribución Hyper-Erlang
• Distribución de Lomax (mezcla continua de exponenciales)