Número hiperarmónico

En matemáticas , el n -ésimo número hiperarmónico de orden r , denotado por${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$, se define recursivamente mediante las relaciones:

${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}},}$

y

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}\quad (r>0).}$

En particular,${\displaystyle H_{n}=H_{n}^{(1)}}$es el n -ésimo número armónico .

Los números hiperarmónicos fueron analizados por JH Conway y RK Guy en su libro de 1995, El libro de los números . ^{[ 1 ] : 258}

Por definición, los números hiperharmónicos satisfacen la relación de recurrencia.

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_{n}^{(r-1)}.}$

En lugar de las recurrencias, existe una fórmula más eficaz para calcular estos números:

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\binom {n+r-1}{r-1}}(H_{n+r-1}-H_{r-1}).}$

Los números hiperharmónicos tienen una fuerte relación con la combinatoria de permutaciones. La generalización de la identidad

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$

se lee como

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\frac {1}{n!}}\left[{n+r \atop r+1}\right]_{r},}$

dónde${\displaystyle \left[{n \atop r}\right]_{r}}$es un número r -Stirling de primera especie. ^{[ 2 ]}

La expresión anterior con coeficientes binomiales da fácilmente que para todo orden fijo r>=2 tenemos. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle H_{n}^{(r)}\sim {\frac {1}{(r-1)!}}\left(n^{r-1}\ln(n)\right),}$

Es decir, el cociente del lado izquierdo y el lado derecho tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

Una consecuencia inmediata es que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}<+\infty }$

cuando m>r .

La función generadora de los números hiperarmónicos es

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}z^{n}=-{\frac {\ln(1-z)}{(1-z)^{r}}}.}$

La función generadora exponencial es mucho más difícil de deducir. Se tiene que para todo r=1,2,...

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}{\frac {t^{n}}{n!}}=e^{t}\left(\sum _{n=1}^{r-1}H_{n}^{(rn)}{\frac {t^{n}}{n!}}+{\frac {(r-1)!}{(r!)^{2}}}t^{r}\,_{2}F_{2}\left(1,1;r+1,r+1;-t\right)\right),}$

donde ₂ F ₂ es una función hipergeométrica . El caso r=1 para los números armónicos es un resultado clásico; el general fue demostrado en 2009 por I. Mező y A. Dil. ^{[ 4 ]}

La siguiente relación conecta los números hiperarmónicos con la función zeta de Hurwitz : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}^{(r-1)}\zeta (m,n)\quad (r\geq 1,m\geq r+1).}$

Se sabe que los números armónicos nunca son enteros excepto en el caso n=1 . La misma pregunta puede plantearse con respecto a los números hiperarmónicos: ¿existen números hiperarmónicos enteros? István Mező demostró ^{[ 5 ]} que si r=2 o r=3 , estos números nunca son enteros excepto en el caso trivial cuando n=1 . Conjeturó que esto siempre es así, es decir, los números hiperarmónicos de orden r nunca son enteros excepto cuando n=1 . Esta conjetura fue justificada para una clase de parámetros por R. Amrane y H. Belbachir. ^{[ 6 ]} En particular, estos autores demostraron que${\displaystyle H_{n}^{(4)}}$no es entero para todo r<26 y n=2,3,... La extensión a órdenes superiores fue realizada por Göral y Sertbaş. ^{[ 7 ]} Estos autores también han demostrado que${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$nunca es un número entero cuando n es par o una potencia de un número primo , o cuando r es impar.

Otro resultado es el siguiente. ^{[ 8 ]} Sea${\displaystyle S(x)}$sea ​​el número de números hiperarmónicos no enteros tales que${\displaystyle (n,x)\in [0,x]\times [0,x]}$. Entonces, asumiendo la conjetura de Cramér ,

${\displaystyle S(x)=x^{2}+O(x\log ^{3}x).}$

Tenga en cuenta que el número de puntos de la red enteros en${\displaystyle [0,x]\times [0,x]}$es${\displaystyle x^{2}+O(x^{2})}$, lo que demuestra que la mayoría de los números hiperarmónicos no pueden ser enteros.

El problema fue finalmente resuelto por DC Sertbaş, quien descubrió que existen infinitos enteros hiperarmónicos, aunque son bastante grandes. El número hiperarmónico más pequeño que es un entero encontrado hasta ahora es ^{[ 9 ].}

${\displaystyle H_{33}^{(64(2^{2659}-1)+32)}.}$

• Wolfram MathWorld