Hiperhomología

En álgebra homológica , la hiperhomología o hipercohomología ( $\mathbb {H} _{*}(-),\mathbb {H} ^{*}(-)$ ) es una generalización de los functores de (co)homología que toma como entrada objetos no pertenecientes a una categoría abeliana. ${\mathcal {A}}$ pero en su lugar cadenas de complejos de objetos, por lo que los objetos en ${\text{Ch}}({\mathcal {A}})$ Es una especie de cruce entre la cohomología de functores derivados de un objeto y la homología de un complejo de cadenas, ya que la hipercohomología corresponde al functor de secciones globales derivado. $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ .

La hiperhomología ya no se usa mucho: desde aproximadamente 1970 ha sido reemplazada en gran medida por el concepto más o menos equivalente de un functor derivado entre categorías derivadas .

Motivación

Una de las motivaciones para la hipercohomología proviene del hecho de que no existe una generalización obvia de las secuencias exactas largas cohomológicas asociadas a secuencias exactas cortas.

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

es decir, existe una secuencia exacta larga asociada

$0\to H^{0}(M')\to H^{0}(M)\to H^{0}(M'')\to H^{1}(M')\to \cdots$

Resulta que la hipercohomología proporciona técnicas para construir una secuencia exacta larga asociada cohomológicamente similar a partir de una secuencia exacta larga arbitraria, ya que sus entradas vienen dadas por complejos de cadenas en lugar de solo objetos de una categoría abeliana.

$0\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots \to M_{k}\to 0$

Podemos convertir este complejo de cadenas en un triángulo distinguido (utilizando el lenguaje de categorías trianguladas en una categoría derivada).

$M_{1}\to [M_{2}\to \cdots \to M_{k-1}]\to M_{k}[-k+3]\xrightarrow {+1}$

que denotamos por

${\mathcal {M}}'_{\bullet }\to {\mathcal {M}}_{\bullet }\to {\mathcal {M}}''_{\bullet }\xrightarrow {+1}$

Luego, tomando secciones globales derivadas $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ da una secuencia exacta larga, que es una secuencia exacta larga de grupos de hipercohomología.

Definición

Damos la definición de hipercohomología porque es la más común. Como es habitual, la hipercohomología y la hiperhomología son esencialmente lo mismo: una se convierte en la otra mediante dualización, es decir, cambiando la dirección de todas las flechas, reemplazando los objetos inyectivos por proyectivos , etc.

Supongamos que A es una categoría abeliana con suficientes inyectivos y F un functor exacto izquierdo a otra categoría abeliana B. Si C es un complejo de objetos de A acotado por la izquierda, la hipercohomología

Hi ( C )

de C (para un entero i ) se calcula de la siguiente manera:

Tomemos un cuasi-isomorfismo Φ : C → I , donde I es un complejo de elementos inyectivos de A .
La hipercohomología H ⁱ ( C ) de C es entonces la cohomología H ⁱ ( F ( I )) del complejo F ( I ).

La hipercohomología de C es independiente de la elección del cuasi-isomorfismo, salvo isomorfismos únicos.

La hipercohomología también puede definirse utilizando categorías derivadas : la hipercohomología de C es simplemente la cohomología de RF ( C ) considerada como un elemento de la categoría derivada de B .

Para complejos que se anulan para índices negativos, la hipercohomología se puede definir como los functores derivados de H ⁰ = FH ⁰ = H ⁰F .

Las secuencias espectrales de hipercohomología

Existen dos secuencias espectrales de hipercohomología ; una con término E _2.

R^{i}F(H^{j}(C))

y el otro con término E ₁

R^{j}F(C^{i})

y término E ₂

H^{i}(R^{j}F(C))

ambos convergen a la hipercohomología

H^{i+j}(RF(C))

,

donde R ^j F es un functor derivado derecho de F . ^{[ 1 ]}

Aplicaciones

Una aplicación de las secuencias espectrales de hipercohomología se encuentra en el estudio de las gerbes . Recordemos que los haces vectoriales de rango n en un espacio $X$ puede clasificarse como el grupo de cohomología de Čech $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ . La idea principal detrás de las gerbes es extender esta idea cohomológicamente, por lo que en lugar de tomar $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{0}F)$ para algún functor $F$ En su lugar, consideramos el grupo de cohomología. $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{1}F)$ , así que clasifica los objetos que están unidos por objetos en el grupo de clasificación original. Un tema estrechamente relacionado que estudia las gerbes y la hipercohomología es la cohomología de Deligne .

Ejemplos

Para una variedad X sobre un cuerpo k , la segunda secuencia espectral anterior proporciona la secuencia espectral de Hodge-de Rham para la cohomología algebraica de De Rham :
$E_{1}^{p,q}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\Rightarrow \mathbf {H} ^{p+q}(X,\Omega _{X}^{\bullet })=:H_{DR}^{p+q}(X/k)$ .
Otro ejemplo proviene del complejo logarítmico holomorfo en una variedad compleja . ^{[ 2 ]} Sea X una variedad algebraica compleja y $j:X\hookrightarrow Y$ una buena compactificación. Esto significa que Y es una variedad algebraica compacta y $D=Y-X$ es un divisor en $Y$ con cruces normales simples . La inclusión natural de complejos de haces
$\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X}^{\bullet }$
resulta ser un cuasi-isomorfismo e induce un isomorfismo.
$H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ .

Véase también

Referencias

↑ "Etiqueta 015J" . Proyecto Stacks . Universidad de Columbia . Consultado el 17 de marzo de 2026 .
↑ Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM (2008). Estructuras de Hodge mixtas . Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6.

Cartan, H.; Eilenberg, S. (19 de diciembre de 1999). Álgebra homológica . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-04991-2.
VI Danilov (2001) [1994], "Functor de hiperhomología" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
Grothendieck, A. (1957). "Sur quelques point d'algèbre homologique" . Matemáticas Tohoku . Segunda Serie (en francés). 9 : 119– 221. SEÑOR 0102537 .

[1] "Etiqueta 015J" . Proyecto Stacks . Universidad de Columbia . Consultado el 17 de marzo de 2026 .

[peters-steenbrink-2] Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM (2008). Estructuras de Hodge mixtas . Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6.

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