IM 67118

IM 67118 , también conocida como Db _2-146 , es una tablilla de arcilla paleobabilónica perteneciente a la colección del Museo de Irak que contiene la solución a un problema de geometría plana relativo a un rectángulo con área y diagonal dadas. En la última parte del texto, se demuestra la corrección de la solución mediante el teorema de Pitágoras . Se cree que los pasos de la solución representan operaciones geométricas de copiar y pegar que involucran un diagrama a partir del cual, según se ha sugerido, los antiguos mesopotámicos podrían haber derivado el teorema de Pitágoras en una época anterior.

La tablilla fue excavada en 1962 en Tell edh-Dhiba'i , un asentamiento paleobabilónico cerca de la actual Bagdad que alguna vez formó parte del reino de Eshnunna , y fue publicada por Taha Baqir ese mismo año. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Data de aproximadamente 1770 a. C. (según la cronología media ), durante el reinado de Ibal-pi-el II , quien gobernó Eshnunna al mismo tiempo que Hammurabi gobernaba Babilonia . ^{[ 3 ]} La tablilla mide 11,5 cm × 6,8 cm × 3,3 cm ( 4 + 1/2 pulg × 2 + 3/4 pulg × 1 + 1/4 pulg ) . ^{[ 4 ]} Su idioma es acadio , escrito en escritura cuneiforme . Hay 19 líneas de texto en el anverso de la tablilla y seis en su reverso. El reverso también contiene un diagrama que consiste en el rectángulo del problema y una de sus diagonales. A lo largo de esa diagonal se escribe su longitud en notación sexagesimal ; el área del rectángulo se escribe en la región triangular debajo de la diagonal. ^{[ 5 ]}          

En lenguaje matemático moderno, el problema planteado en la tableta es el siguiente: un rectángulo tiene un área A  =  0,75 y una diagonal c  =  1,25. ¿Cuáles son las longitudes a y b de los lados del rectángulo?

La solución puede entenderse como un proceso que se desarrolla en dos etapas: en la etapa 1, la cantidad${\displaystyle {\sqrt {c^{2}-2A}}}$se calcula que es  0,25. En la etapa 2, se utiliza el método antiguo babilónico bien documentado de completar el cuadrado para resolver lo que es efectivamente el sistema de ecuaciones b  − a = 0,25, ab = 0,75. ^{[ 6 ]} Geométricamente, este es el problema de calcular las longitudes de los lados de un rectángulo cuya área A y diferencia de longitud de lado b − a son conocidas, lo cual era un problema recurrente en las matemáticas antiguas babilónicas . ^{[ 7 ]} En este caso, se encuentra que b = 1 y a = 0,75. El método de solución sugiere que quien ideó la solución estaba utilizando la propiedad c ² − 2 A = c ² − 2 ab = ( b − a ) ² . Sin embargo, debe enfatizarse que la notación moderna para ecuaciones y la práctica de representar parámetros e incógnitas con letras eran desconocidas en la antigüedad. Actualmente se acepta ampliamente, como resultado del extenso análisis de Jens Høyrup sobre el vocabulario de las matemáticas paleobabilónicas, que los procedimientos subyacentes en textos como IM 67118 eran un conjunto de operaciones geométricas estándar de copiar y pegar, y no un álgebra simbólica. ^{[ 8 ] [ 9 ]}                   

^{A partir del vocabulario de la solución ,} Høyrup concluye que c² , el cuadrado de la diagonal, debe entenderse como un cuadrado geométrico, del cual se debe "recortar" un área igual a 2A , es decir, eliminar, dejando un cuadrado con lado b − a . Høyrup sugiere que el cuadrado de la diagonal posiblemente se formó haciendo cuatro copias del rectángulo, cada una rotada 90°, y que el área 2A era el área de los cuatro triángulos rectángulos contenidos en el cuadrado de la diagonal. El resto es el pequeño cuadrado en el centro de la figura. ^{[ 10 ]}  

El procedimiento geométrico para calcular las longitudes de los lados de un rectángulo de área A y diferencia de longitud de lado b  − a consistía en transformar el rectángulo en un gnomon de área A cortando un trozo rectangular de dimensiones a × ½( b − a ) y pegándolo en el lado del rectángulo. Luego, el gnomon se completaba a un cuadrado añadiéndole un cuadrado más pequeño de lado ½( b − a ). ^{[ 11 ] [ 7 ]} En este problema, el lado del cuadrado completo se calcula como     ${\displaystyle {\sqrt {A+{\tfrac {1}{4}}(ba)^{2}}}={\sqrt {0.75+0.015625}}=0.875}$La cantidad ½( b  − a )=0,125 se suma al lado horizontal del cuadrado y se resta del lado vertical. Los segmentos de línea resultantes son los lados del rectángulo deseado. ^{[ 11 ]} 

Una dificultad para reconstruir los diagramas geométricos paleobabilónicos radica en que las tablillas conocidas nunca incluyen diagramas en las soluciones —ni siquiera en soluciones geométricas donde se describen construcciones explícitas en el texto—, aunque a menudo se incluyen diagramas en las formulaciones de los problemas. Høyrup argumenta que la geometría de cortar y pegar se habría realizado en algún soporte distinto a la arcilla, quizás en arena o en un «ábaco de polvo», al menos en las primeras etapas de la formación de un escriba, antes de que se desarrollara la habilidad mental para el cálculo geométrico. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Friberg describe algunas tablillas que contienen dibujos de "figuras dentro de figuras", incluyendo la MS 2192, en la que la banda que separa dos triángulos equiláteros concéntricos se divide en tres trapecios. Escribe: " La idea de calcular el área de una banda triangular como el área de una cadena de trapecios es una variación de la idea de calcular el área de una banda cuadrada como el área de una cadena de cuatro rectángulos. Esta es una idea simple, y es probable que fuera conocida por los matemáticos paleobabilónicos, aunque aún no se ha encontrado ningún texto matemático cuneiforme donde esta idea aparezca de forma explícita". Argumenta que esta idea está implícita en el texto de IM 67118. ^{[ 14 ]} También invita a una comparación con el diagrama de YBC 7329, en el que se muestran dos cuadrados concéntricos. La banda que separa los cuadrados no está subdividida en cuatro rectángulos en esta tablilla, pero el valor numérico del área de uno de los rectángulos aparece junto a la figura. ^{[ 15 ]}

La solución b  =  1, a  =  0,75 se demuestra correcta calculando las áreas de cuadrados con las longitudes de lado correspondientes, sumando estas áreas y calculando la longitud del lado del cuadrado con el área resultante, es decir, tomando la raíz cuadrada. Esta es una aplicación del teorema de Pitágoras.${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$y el resultado coincide con el valor dado, c  =  1,25. ^{[ 11 ] [ 16 ]} Que el área también es correcta se verifica calculando el producto, ab . ^{[ 11 ]} 

La siguiente traducción la proporcionan Britton, Proust y Shnider , y se basa en la traducción de Høyrup, ^{[ 17 ]} que a su vez se basa en la copia manuscrita y transliteración de Baqir, ^{[ 18 ]} con algunas pequeñas correcciones. Los números sexagesimales babilónicos se traducen a notación decimal con dígitos de base 60 separados por comas. Por lo tanto, 1,15 significa 1  +  15/60  =  5/4  =  1,25. Nótese que no existía un "punto sexagesimal" en el sistema babilónico, por lo que la potencia total de 60 que multiplicaba un número debía inferirse del contexto. La traducción es "conforme", lo que, como describe Eleanor Robson , "implica traducir de forma consistente los términos técnicos babilónicos con palabras o neologismos ingleses existentes que coincidan lo más fielmente posible con los significados originales"; también conserva el orden de las palabras acadio . ^{[ 9 ]} Las matemáticas babilónicas antiguas utilizaban diferentes palabras para la multiplicación dependiendo del contexto geométrico subyacente y de manera similar para las demás operaciones aritméticas. ^{[ 19 ]}

Anverso

1. Si, acerca de un (rectángulo con) diagonal, (alguien) te pregunta
2. así, 1,15 la diagonal, 45 la superficie;
3. ¿Largo y anchura correspondientes a qué? Usted, por su procedimiento,
4. 1,15, tu diagonal, su contraparte tumbada:
5. haz que se mantengan: aparece 1,33,45,
6. 1,33,45 puede (?) tu (?) mano (?)
7. 45 tu superficie a dos trae: 1,30 aparece.
8. De 1,33,45 cortado: 3,45 ^{[ 20 ]} el resto.
9. El lado igual de 3,45 toma: 15 aparece. Su mitad,
10. Sube 7,30, a 7,30 sube: sube 56,15
11. 56,15 tu mano. 45 tu superficie sobre tu mano,
12. Aparece 45, 56, 15. El lado igual de 45, 56, 15 toma:
13. 52,30 aparece, 52,30 su contraparte se acuesta,
14. 7,30 que has hecho retener a uno
15. agregar: de uno
16. cortar. 1 tu largo, 45 el ancho. Si 1 el largo,
17. 45 ¿A qué corresponden el ancho, la superficie y la diagonal?
18. (Tú por tu) hacer, la longitud hace sostener:
19. (Aparece 1...) Que tu cabeza aguante.

Contrarrestar

20. [...]: 45, el ancho, hacer sujetar:
21. Aparecen 33,45. Añada a su longitud:
22. Aparece 1,33,45. El lado igual de 1,33,45 es:
23. Aparece 1,15. 1,15 es tu diagonal. Tu longitud.
24. al ancho de elevación, 45 su superficie.
25. Así es el procedimiento. ^{[ 21 ]}

El enunciado del problema se presenta en las líneas 1-3, la etapa 1 de la solución en las líneas 3-9, la etapa 2 de la solución en las líneas 9-16 y la verificación de la solución en las líneas 16-24. Nótese que "1,15 your diagonal, its against lay down: make them hold" significa formar un cuadrado colocando copias perpendiculares de la diagonal, "equalside" es el lado de un cuadrado o la raíz cuadrada de su área, "may your head hold" significa recordar, y "your hand" puede referirse a "una libreta o un dispositivo para calcular". ^{[ 11 ]}

El problema 2 de la tablilla MS 3971 de la colección Schøyen , publicada por Friberg, es idéntico al problema de IM 67118. La solución es muy similar, pero procede sumando 2A a c² , en lugar de ^restarla . El lado del cuadrado resultante es igual a b  + a = 1,75 en este caso. El sistema de ecuaciones b + a = 1,75, ab = 0,75 se resuelve de nuevo completando el cuadrado. MS 3971 no contiene diagramas ni realiza el paso de verificación. Su lenguaje es "conciso" y utiliza muchos logogramas sumerios en comparación con el "verboso" IM 67118, que está en acadio silábico. ^{[ 22 ]} Friberg cree que este texto proviene de Uruk , en el sur de Irak , y lo fecha antes del 1795 a. C. ^{[ 23 ]}       

Friberg señala un problema similar en un papiro demótico egipcio del siglo III a. C., P. Cairo , problemas 34 y 35, publicado por Parker en 1972. ^{[ 24 ]} Friberg también ve una posible conexión con la explicación de AA Vaiman de una entrada en la tabla de constantes del antiguo Babilonia TMS 3, que dice: "57 36, constante del šàr". Vaiman observa que el signo cuneiforme para šàr se asemeja a una cadena de cuatro triángulos rectángulos dispuestos en un cuadrado, como en la figura propuesta. El área de dicha cadena es 24/25 (igual a 57 36 en sexagesimal) si se asumen triángulos rectángulos 3-4-5 con hipotenusa normalizada a longitud 1. ^{[ 24 ]} Høyrup escribe que el problema de IM 67118 "aparece, resuelto exactamente de la misma manera, en un manual hebreo del año 1116 d. C." ^{[ 25 ]}

Aunque el problema de IM 67118 se refiere a un rectángulo específico, cuyos lados y diagonal forman una versión a escala del triángulo rectángulo 3-4-5, el lenguaje de la solución es general y suele especificar la función de cada número a medida que se utiliza. En la parte posterior del texto, se observa en algunos pasajes una formulación abstracta que no hace referencia a valores particulares («la longitud se mantiene», «La longitud aumenta hasta el ancho»). Høyrup ve en esto «un rastro inconfundible del “regla de Pitágoras” en la formulación abstracta». ^{[ 26 ]}

Se desconoce la forma en que se descubrió la regla de Pitágoras, pero algunos estudiosos ven una posible vía en el método de solución utilizado en IM 67118. La observación de que restar 2 A de c ² produce ( b  − a ) ² solo necesita ser aumentada por una reordenación geométrica de las áreas correspondientes a a ² , b ² y −2 A = −2 ab para obtener una prueba de reordenación de la regla, una que es bien conocida en los tiempos modernos y que también se sugiere en el siglo III d. C. en el comentario de Zhao Shuang sobre el antiguo Zhoubi Suanjing chino ( Gnomon de Zhou ). ^{[ 27 ] [ 24 ] [ 28 ] [ 29 ]} La formulación de la solución en MS 3971, problema 2, que no tiene áreas restadas, proporciona una derivación posiblemente aún más directa. ^{[ 27 ] [ 30 ]}   

Høyrup propone la hipótesis, basada en parte en las similitudes entre problemas verbales que se repiten a lo largo de un amplio rango de épocas y lugares, así como en el lenguaje y el contenido numérico de dichos problemas, de que gran parte del material matemático de los escribas paleobabilónicos fue importado de la tradición práctica de los agrimensores, donde la resolución de acertijos se utilizaba como distintivo de habilidad profesional. Høyrup cree que esta cultura de agrimensores sobrevivió a la desaparición de la cultura de los escribas paleobabilónicos, resultado de la conquista hitita de Mesopotamia a principios del siglo XVI a. C., y que influyó en las matemáticas de la antigua Grecia, de Babilonia durante el período seléucida, del imperio islámico y de la Europa medieval. ^{[ 31 ]} Entre los problemas que Høyrup atribuye a esta tradición práctica de agrimensores se encuentran varios problemas de rectángulos que requieren completar el cuadrado, incluido el problema de IM 67118. ^{[ 32 ]} Sobre la base de que no se conocen referencias del tercer milenio a. C. a la regla pitagórica, y que la formulación de IM 67118 ya está adaptada a la cultura de los escribas, Høyrup escribe: " A juzgar solo por esta evidencia, es probable que la regla pitagórica se descubriera dentro del entorno de los agrimensores laicos, posiblemente como un derivado del problema tratado en Db ₂ -146, en algún momento entre 2300 y 1825 a. C." ^{[ 33 ]} Así, se demuestra que la regla que lleva el nombre de Pitágoras , quien nació alrededor del 570 a. C. y murió alrededor del 495 a. C., ^{[ 34 ]} fue descubierta unos 12 siglos antes de su nacimiento.

• Plimpton 322
• YBC 7289

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• El catálogo de la Iniciativa de Biblioteca Digital Cuneiforme (CDLI) incluye entradas para las tabletas que se mencionan en este artículo:
  • La entrada correspondiente a IM 67118 incluye la copia manuscrita de la tablilla realizada por Taha Baqir y fotografías de la misma.
  • MS 3179
  • MS 2192
• MS 2192 en la Colección Schøyen.
• YBC 7359 en la Colección Babilónica de Yale .
• León de Tell Harmal (IM 52560), comienzo del II milenio , que contiene una fotografía del reverso de la tablilla y fotografías de artefactos de yacimientos cercanos.