Icoságono

En geometría , un icoságono o polígono de 20 lados es un polígono de veinte lados . La suma de los ángulos interiores de cualquier icoságono es de 3240 grados.

El icoságono regular tiene el símbolo de Schläfli {20} , y también puede construirse como un decágono truncado , t{10} , o un pentágono doblemente truncado , tt{5} .

Un ángulo interior en un icoságono regular mide 162°, lo que significa que un ángulo exterior mediría 18°.

El área de un icoságono regular con longitud de arista t es

${\displaystyle A={5}t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})\simeq 31.5687t^{2}.}$

En términos del radio R de su circunferencia circunscrita , el área es

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{2}}({\sqrt {5}}-1);}$

ya que el área del círculo es${\displaystyle \pi R^{2},}$El icoságono regular ocupa aproximadamente el 98,36% de su circunferencia circunscrita.

La gran rueda del popular concurso televisivo estadounidense The Price Is Right tiene una sección transversal icosagonal.

Se descubrió que el Globe, el teatro al aire libre utilizado por la compañía de actores de William Shakespeare, fue construido sobre una base icosagonal cuando se realizó una excavación parcial en 1989. ^{[ 1 ]}

Como camino golygonal , la esvástica se considera un icoságono irregular. ^{[ 2 ]}

Un cuadrado regular, un pentágono y un icoságono pueden llenar completamente un vértice de un plano .

• En la construcción con una longitud de lado dada, el arco circular alrededor de C con radio CD comparte el segmento E ₂₀ F en proporción a la proporción áurea.

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{20}E_{1}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{20}F}}{\overline {E_{20}E_{1}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.618}$

El icoságono regular tiene simetría Dih ₂₀ , orden 40. Hay 5 simetrías diedrales de subgrupo: (Dih ₁₀ , Dih ₅ ) , y (Dih ₄ , Dih ₂ , y Dih ₁ ) , y 6 simetrías de grupo cíclico : (Z ₂₀ , Z ₁₀ , Z ₅ ) , y ( Z ₄ , Z ₂ , Z ₁ ) .

Estas 10 simetrías se pueden ver en 16 simetrías distintas en el icoságono, un número mayor porque las líneas de reflexión pueden pasar por vértices o aristas. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. ^{[ 3 ]} La simetría completa de la forma regular es r40 y ninguna simetría se etiqueta como a1 . Las simetrías diedrales se dividen según si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan por aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g20 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Los icoságonos irregulares de mayor simetría son d20 , un icoságono isogonal formado por diez espejos que alternan aristas largas y cortas, y p20 , un icoságono isotoxal , construido con aristas de igual longitud, pero con vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y poseen la mitad del orden de simetría del icoságono regular.

Coxeter afirma que todo zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. ^{[ 4 ]} En particular, esto es cierto para polígonos regulares con igual número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el icoságono, m =10 , y puede dividirse en 45: 5 cuadrados y 4 conjuntos de 10 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección de polígono de Petrie de un 10-cubo , con 45 de 11520 caras. La lista OEIS : A006245  enumera el número de soluciones como 18,410,581,880, incluyendo rotaciones de hasta 20 veces y formas quirales en reflexión.

Un icosagrama es un polígono estrellado de 20 lados , representado por el símbolo {20/n} . Hay tres formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli : {20/3} , {20/7} y {20/9} . También hay cinco figuras estrelladas regulares (compuestas) que utilizan la misma disposición de vértices : 2{10} , 4{5} , 5{4} , 2{10/3} , 4{5/2} y 10{2} .

Truncamientos más profundos del decágono y decagrama regulares pueden producir formas de icosagramas intermedios isogonales ( transitivos en los vértices ) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista. ^{[ 5 ]}

Un icosagrama regular, {20/9} , puede verse como un decágono cuasitruncado, t{10/9}={20/9} . De manera similar, un decagrama , {10/3}, tiene una cuasitruncación t{10/7}={20/7} , y finalmente una truncación simple de un decagrama da t{10/3}={20/3} .

El icoságono regular es el polígono de Petrie para una serie de politopos de dimensiones superiores, mostrados en proyecciones ortogonales en planos de Coxeter :

También es el polígono de Petrie para el icosaedro de 120 celdas , el pequeño estrellado de 120 celdas , el gran icosaedro de 120 celdas y el gran gran 120 celdas .

• Nomenclatura de polígonos y poliedros. Archivado el 25 de mayo de 2013 en Wayback Machine.
• icosagón