Hispanopedia WikiEn matemáticas , los icosianos son un conjunto específico de cuaterniones hamiltonianos con la misma simetría que el 600-cell . El término puede utilizarse para referirse a dos conceptos relacionados, pero distintos:
- Grupo icosiano : grupo multiplicativo de 120 cuaterniones, ubicado en los vértices de una celda de 600 con radio unitario. Este grupo es isomorfo al grupo icosaédrico binario de orden 120.
- El anillo icosiano : todas las sumas finitas de las 120 unidades icosianas.
Unidades icosianas
El grupo icosiano, que consta de las 120 unidades icosianas, comprende las distintas permutaciones pares de
- ½(±2, 0, 0, 0) (resultando en 8 icosianos),
- ½(±1, ±1, ±1, ±1) (resultando en 16 icosianos),
- ½(0, ±1, ±1 /φ , ± φ ) (resultando en 96 icosianos).
En este caso, el vector ( a , b , c , d ) se refiere al cuaternión a + b i + c j + d k , y φ representa la proporción áurea ( √ 5 + 1)/2. Estos 120 vectores forman los vértices de un 600-cell, cuyo grupo de simetría es el grupo de Coxeter H4 de orden 14400. Además, los 600 icosianos de norma 2 forman los vértices de un 120-cell . Otros subgrupos de icosianos corresponden al teseracto , 16-cell y 24-cell .
Anillo icosiano
Los icosianos son un subconjunto de cuaterniones de la forma ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , donde las ocho variables son números racionales [nota 1] . Este cuaternión es un icosiano solamente si el vector ( a , b , c , d , e , f , g , h ) es un punto en una red L , que es isomorfa a una red E8 .
Más precisamente, la norma del cuaternión del elemento anterior es ( a + b √ 5 ) 2 + ( c + d √ 5 ) 2 + ( e + f √ 5 ) 2 + ( g + h √ 5 ) 2 . Su norma euclidiana se define como u + v si la norma del cuaternión es u + v √ 5 . Esta norma euclidiana define una forma cuadrática en L , bajo la cual la red es isomorfa a la red E8 .
Esta construcción muestra que el grupo de Coxeter se integra como un subgrupo de . De hecho, un isomorfismo lineal que preserva la norma del cuaternión también preserva la norma euclidiana.
Notas
- ^ Los números complejos de la forma a + b √ 5 , donde a y b son ambos racionales, a veces se denominan campo áureo debido a su conexión con la proporción áurea.
Referencias
- John H. Conway , Neil Sloane : Empaquetamientos de esferas, redes y grupos (segunda edición)
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss : Las simetrías de las cosas (2008)
- Frans Marcelis Icosianos y ADE Archivado el 7 de junio de 2011 en Wayback Machine.
- Adam P. Goucher Buenas fibraciones