Sobre Karoubi

En matemáticas, la envoltura de Karoubi (o completación de Cauchy o completación idempotente ) de una categoría C es una clasificación de los idempotentes de C mediante una categoría auxiliar. Al tomar la envoltura de Karoubi de una categoría preaditiva , se obtiene una categoría pseudoabeliana ; por lo tanto, para categorías aditivas, esta construcción se denomina a veces completación pseudoabeliana. Recibe su nombre del matemático francés Max Karoubi .

Dada una categoría C , un idempotente de C es un endomorfismo.

${\displaystyle e:A\rightarrow A}$

con

${\displaystyle e\circ e=e}$.

Se dice que un idempotente e : A → A se divide si existe un objeto B y morfismos f : A → B , g : B → A tales que e = g f y 1 _B = f g .

La envoltura de Karoubi de C , a veces escrita Split(C) , es la categoría cuyos objetos son pares de la forma ( A , e ) donde A es un objeto de C y${\displaystyle e:A\rightarrow A}$es un idempotente de C y cuyos morfismos son las ternas

${\displaystyle (e,f,e^{\prime }):(A,e)\rightarrow (A^{\prime },e^{\prime })}$

dónde${\displaystyle f:A\rightarrow A^{\prime }}$es un morfismo de C que satisface${\displaystyle e^{\prime }\circ f=f=f\circ e}$(o equivalentemente${\displaystyle f=e'\circ f\circ e}$).

La composición en Split(C) es como en C , pero el morfismo identidad en${\displaystyle (A,e)}$en Split(C) es${\displaystyle (e,e,e)}$, en lugar de la identidad en${\displaystyle A}$.

La categoría C se incrusta de forma completa y fiel en Split(C) . En Split(C), todo idempotente se divide, y Split(C) es la categoría universal con esta propiedad. Por lo tanto, la envoltura de Karoubi de una categoría C puede considerarse como la "completación" de C que divide a los idempotentes.

El sobre de Karoubi de una categoría C puede definirse equivalentemente como la subcategoría completa de${\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }}}$(los prehaces sobre C ) de retracciones de functores representables . La categoría de prehaces en C es equivalente a la categoría de prehaces en Split(C) .

Un automorfismo en Split(C) tiene la forma${\displaystyle (e,f,e):(A,e)\rightarrow (A,e)}$, con inversa${\displaystyle (e,g,e):(A,e)\rightarrow (A,e)}$satisfactorio:

${\displaystyle g\circ f=e=f\circ g}$

${\displaystyle g\circ f\circ g=g}$

${\displaystyle f\circ g\circ f=f}$

Si la primera ecuación se relaja para simplemente tener${\displaystyle g\circ f=f\circ g}$, entonces f es un automorfismo parcial (con g inverso ). Una involución (parcial) en Split(C) es un automorfismo (parcial) autoinverso.

• Si C tiene productos, entonces dado un isomorfismo${\displaystyle f:A\rightarrow B}$el mapeo${\displaystyle f\times f^{-1}:A\times B\rightarrow B\times A}$, compuesto con el mapa canónico${\displaystyle \gamma :B\times A\rightarrow A\times B}$de simetría, es una involución parcial .
• Si C es una categoría triangulada , la envoltura de Karoubi Split ( C ) puede dotarse de la estructura de una categoría triangulada de tal manera que el functor canónico C → Split ( C ) se convierte en un functor triangulado . ^{[ 1 ]}
• La envoltura Karoubi se utiliza en la construcción de varias categorías de motivos .
• La construcción de la envoltura de Karoubi transforma semiadjunciones en adjunciones . ^{[ 2 ]} Por esta razón, la envoltura de Karoubi se utiliza en el estudio de modelos del cálculo lambda no tipificado . La envoltura de Karoubi de un modelo lambda extensional (un monoide , considerado como una categoría) es cartesiana cerrada. ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• La categoría de módulos proyectivos sobre cualquier anillo es la envoltura de Karoubi de su subcategoría completa de módulos libres.
• La categoría de haces vectoriales sobre cualquier espacio paracompacto es la envoltura de Karoubi de su subcategoría completa de haces triviales. De hecho, este es un caso especial del ejemplo anterior del teorema de Serre-Swan y, a la inversa, este teorema puede demostrarse probando primero ambos hechos: la observación de que el functor de secciones globales es una equivalencia entre haces vectoriales triviales sobre${\displaystyle X}$y módulos gratuitos sobre${\displaystyle C(X)}$y luego utilizando la propiedad universal de la envoltura de Karoubi.

• Balmer, Paul; Schlichting, Marco (2001), "Completación idempotente de categorías trianguladas" (PDF) , Journal of Algebra , 236 (2): 819–834 , doi : 10.1006/jabr.2000.8529 , ISSN 0021-8693