Medida idempotente

En matemáticas , una medida idempotente en un grupo métrico es una medida de probabilidad que es igual a su convolución consigo misma; en otras palabras, una medida idempotente es un elemento idempotente en el semigrupo topológico de medidas de probabilidad en el grupo métrico dado.

Explícitamente, dado un grupo métrico X y dos medidas de probabilidad μ y ν en X , la convolución μ ∗ ν de μ y ν es la medida dada por  

${\displaystyle (\mu *\nu )(A)=\int _{X}\mu (Ax^{-1})\,\mathrm {d} \nu (x)=\int _{X}\nu (x^{-1}A)\,\mathrm {d} \mu (x)}$

para cualquier subconjunto de Borel A de X. (La igualdad de las dos integrales se deduce del teorema de Fubini ). Con respecto a la topología de convergencia débil de medidas , la operación de convolución convierte el espacio de medidas de probabilidad en X en un semigrupo topológico. Por lo tanto, se dice que μ es una medida idempotente si μ ∗ μ = μ .    

Se puede demostrar que las únicas medidas de probabilidad idempotentes en un grupo métrico completo y separable son las medidas de Haar normalizadas de subgrupos compactos .