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Si y solo si

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En lógica y campos afines como las matemáticas y la filosofía , « si y solo si » (a menudo abreviado como «si y solo si ») establece que los valores de verdad de dos enunciados son iguales. Se parafrasea mediante la bicondicional , un conector lógico [ 1 ] entre enunciados. La bicondicional es verdadera en dos casos: o bien ambos enunciados son verdaderos o bien ambos son falsos. El conector es bicondicional (un enunciado de equivalencia material ) [ 2 ] y puede compararse con el condicional material estándar («solo si», equivalente a «si... entonces») combinado con su recíproco («si»); de ahí su nombre. El resultado es que la verdad de cualquiera de los enunciados conectados requiere la verdad del otro (es decir, o bien ambos enunciados son verdaderos o bien ambos son falsos), aunque es controvertido si el conector así definido se traduce correctamente como «si y solo si» en inglés, con su significado preexistente. Por ejemplo, P si y solo si Q significa que P es verdadero siempre que Q sea verdadero, y el único caso en el que P es verdadero es si Q también es verdadero, mientras que en el caso de P si Q , podría haber otros escenarios en los que P sea verdadero y Q sea falso.

En la escritura, las frases comúnmente utilizadas como alternativas a P "si y solo si" Q incluyen: Q es necesario y suficiente para P , para P es necesario y suficiente que Q , P es equivalente (o materialmente equivalente) a Q (compárese con implicación material ), P precisamente si Q , P precisamente (o exactamente) cuando Q , P exactamente en caso Q , y P solo en caso Q. [ 3 ] Algunos autores consideran que "si y solo si" es inadecuado en la escritura formal; [ 4 ] otros lo consideran un "caso límite" y toleran su uso. [ 5 ] En fórmulas lógicas , los símbolos lógicos, como↔{\displaystyle \leftrightarrow }y⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }, [ 6 ] se utilizan en lugar de estas frases; véase §  Notación a continuación.

Definición

¬PAG∧¬Q{\displaystyle \neg P\land \neg Q}
PAG∧Q{\displaystyle P\land Q}
PAG→Q{\displaystyle P\rightarrow Q}
PAG←Q{\displaystyle P\leftarrow Q}
PAG↔Q{\displaystyle P\leftrightarrow Q}

La tabla de verdad de P↔{\displaystyle \leftrightarrow }Q es la siguiente: [ 7 ] [ 8 ]

Es equivalente a lo producido por la puerta XNOR y opuesto a lo producido por la puerta XOR . [ 9 ]

Uso

Notación

Los símbolos lógicos correspondientes son "↔{\displaystyle \leftrightarrow }", "⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }", [ 6 ] y≡{\displaystyle \equiv }, [ 10 ] y a veces "si y solo si". Estos se tratan generalmente como equivalentes. Sin embargo, algunos textos de lógica matemática (en particular los de lógica de primer orden , en lugar de lógica proposicional ) hacen una distinción entre estos, en la que el primero,↔{\displaystyle \leftrightarrow }, se utiliza como símbolo en fórmulas lógicas, mientras que⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }o≡{\displaystyle \equiv }se utiliza en el razonamiento sobre esas fórmulas lógicas (por ejemplo, en metalógica ). En la notación polaca de Łukasiewicz , es el símbolo de prefijomi{\displaystyle E}. [ 11 ]

Otro término para el conector lógico , es decir, el símbolo en las fórmulas lógicas, es ni exclusivo .

En TeX , "si y solo si" se muestra como una flecha doble larga:⟺{\displaystyle \iff }mediante comando \iffo \Longleftrightarrow. [ 12 ]

Pruebas

En la mayoría de los sistemas lógicos , se demuestra una proposición de la forma "P si y solo si Q" probando "si P, entonces Q" y "si Q, entonces P", o "si P, entonces Q" y "si no P, entonces no Q". Demostrar estos pares de proposiciones a veces conduce a una demostración más natural, ya que no existen condiciones obvias bajo las cuales se pueda inferir directamente una bicondicional. Una alternativa es demostrar la disyunción "(P y Q) o (no P y no Q)", que a su vez puede inferirse directamente de cualquiera de sus disyuntos; es decir, dado que "si y solo si" es veritativo-funcional , "P si y solo si Q" se deduce si se ha demostrado que P y Q son ambos verdaderos o ambos falsos.

Origen de iff y pronunciación

El uso de la abreviatura "iff" apareció por primera vez impresa en el libro de John L. Kelley de 1955, General Topology . [ 13 ] Su invención se atribuye a menudo a Paul Halmos , quien escribió: "Yo inventé 'iff', por 'si y solo si', pero nunca pude creer que realmente fuera su primer inventor". [ 14 ]

No está del todo claro cómo se pretendía pronunciar "iff". En la práctica actual, la única "palabra" "iff" casi siempre se lee como las cuatro palabras "if and only if". Sin embargo, en el prefacio de Topología general , Kelley sugiere que debería leerse de manera diferente: "En algunos casos donde el contenido matemático requiere 'if and only if' y la eufonía exige algo menos, uso el 'iff ' de Halmos " . Los autores de un libro de texto de matemáticas discretas sugieren: [ 15 ] "Si necesita pronunciar iff, mantenga bien el 'ff' para que la gente oiga la diferencia de 'if ' " , lo que implica que "iff" podría pronunciarse como [ɪfː] .

Uso en definiciones

Convencionalmente, las definiciones son enunciados del tipo "si y solo si"; algunos textos, como la Topología General de Kelley , siguen esta convención y utilizan "si y solo si" o iff en las definiciones de nuevos términos. [ 16 ] Sin embargo, este uso de "si y solo si" es relativamente poco común y pasa por alto el hecho lingüístico de que el "si" de una definición se interpreta como "si y solo si". La mayoría de los libros de texto, artículos de investigación y artículos (incluidos los artículos de la Wikipedia en inglés) siguen la convención lingüística de interpretar "si" como "si y solo si" siempre que se trate de una definición matemática (como en "un espacio topológico es compacto si toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita"). [ 17 ] Además, en el caso de una definición recursiva , la parte "solo si" de la definición se interpreta como una oración en el metalenguaje que afirma que las oraciones en la definición de un predicado son las únicas oraciones que determinan la extensión del predicado.

En términos de diagramas de Euler

Los diagramas de Euler muestran relaciones lógicas entre eventos, propiedades, etc. "P solo si Q", "si P entonces Q" y "P→Q" significan que P es un subconjunto , propio o impropio, de Q. "P si Q", "si Q entonces P" y Q→P significan que Q es un subconjunto propio o impropio de P. "P si y solo si Q" y "Q si y solo si P" significan que los conjuntos P y Q son idénticos entre sí.

Uso más general

Iff también se usa fuera del ámbito de la lógica. Dondequiera que se aplique la lógica, especialmente en discusiones matemáticas , tiene el mismo significado que el anterior: es una abreviatura de if and only if (si y solo si) , lo que indica que una proposición es necesaria y suficiente para la otra. Este es un ejemplo de jerga matemática (aunque, como se mencionó anteriormente, if se usa con más frecuencia que iff en enunciados de definición).

Los elementos de X son todos y solo los elementos de Y significa: "Para cualquier z en el dominio del discurso , z está en X si y solo si z está en Y ".

Cuando "si" significa "si y solo si"

En su obra Inteligencia Artificial: Un Enfoque Moderno , Russell y Norvig señalan que a menudo es más natural expresar " si y solo si" como si junto con una "semántica de base de datos (o programación lógica)". Dan el ejemplo de la oración en inglés "Richard has two brothers, Geoffrey and John". [ 18 ] : 282

En una base de datos o programa lógico , esto podría representarse simplemente con dos frases:

Hermano (Richard, Geoffrey).
Hermano (Richard, John).

La semántica de la base de datos interpreta que esta (o programa) contiene todo y únicamente el conocimiento relevante para la resolución de problemas en un dominio determinado. Interpreta que, en el metalenguaje, las oraciones de la base de datos representan el único conocimiento que debe considerarse al extraer conclusiones de ella.

En lógica de primer orden con la semántica estándar, la misma oración en inglés tendría que representarse, usando if and only if , con only if interpretado en el lenguaje objeto, de alguna forma como esta:

∀{\displaystyle \forall }X(Hermano(Richard, X) si y solo si X = Geoffrey o X = John).
Geoffrey ≠ John.

En comparación con la semántica estándar para la lógica de primer orden, la semántica de base de datos tiene una implementación más eficiente. En lugar de razonar con oraciones de la forma:

conclusión si y solo si se cumplen las condiciones

Utiliza oraciones de la forma:

conclusión si las condiciones

razonar hacia adelante desde las condiciones hasta las conclusiones o hacia atrás desde las conclusiones hasta las condiciones .

La semántica de bases de datos es análoga al principio jurídico expressio unius est exclusio alterius (la mención expresa de una cosa excluye a todas las demás). Además, sustenta la aplicación de la programación lógica a la representación de textos jurídicos y al razonamiento jurídico. [ 19 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Conectores lógicos" . sites.millersville.edu . Consultado el 10 de septiembre de 2023 .
  2. ↑ Copi, IM; Cohen, C.; Flage, DE (2006). Fundamentos de lógica (Segunda ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. pág. 197. ISBN   978-0-13-238034-8.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Iff." De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html Archivado el 13 de noviembre de 2018 en Wayback Machine.
  4. ↑ Por ejemplo , Daepp, Ulrich; Gorkin, Pamela (2011), Reading, Writing, and Proving: A Closer Look at Mathematics , Undergraduate Texts in Mathematics , Springer, p. 52, ISBN  9781441994790Aunque puede ahorrar mucho tiempo, no lo recomendamos en la redacción formal.
  5. ↑ Rothwell, Edward J.; Cloud, Michael J. (2014), Engineering Writing by Design: Creating Formal Documents of Lasting Value , CRC Press, pág. 98, ISBN  9781482234312Es común en la escritura matemática.
  6. 1 2 Peil, Timothy. "Condicionales y bicondicionales" . web.mnstate.edu . Archivado del original el 24 de octubre de 2020. Recuperado el 4 de septiembre de 2020 .
  7. ↑ p <=> q ​​Archivado el 18 de octubre de 2016 en Wayback Machine . WolframAlpha
  8. ↑ Si y solo si , Departamento de Matemáticas de la UHM, archivado del original el 5 de mayo de 2000 , recuperado el 16 de octubre de 2016 , Los teoremas que tienen la forma "P si y solo Q" son muy apreciados en matemáticas. Dan lo que se denominan condiciones "necesarias y suficientes", y dan formas nuevas, completamente equivalentes y, con suerte, interesantes de decir exactamente lo mismo.
  9. ↑ "Puerta XOR/XNOR/Paridad Impar/Paridad Par" . www.cburch.com . Archivado del original el 7 de abril de 2022. Consultado el 22 de octubre de 2019 .
  10. ↑ Weisstein, Eric W. "Equivalente" . mathworld.wolfram.com . Archivado del original el 3 de octubre de 2020. Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
  11. ↑ "Jan Łukasiewicz > Notación sin paréntesis o polaca de Łukasiewicz (Enciclopedia de Filosofía de Stanford)" . plato.stanford.edu . Archivado del original el 9 de agosto de 2019. Consultado el 22 de octubre de 2019 .
  12. ↑ "LaTeX:Símbolo" . El arte de resolver problemas . Archivado del original el 22 de octubre de 2019. Consultado el 22 de octubre de 2019 .
  13. ↑ Topología general, reedición ISBN 978-0-387-90125-1
  14. ↑ Nicholas J. Higham (1998). Manual de escritura para las ciencias matemáticas (2.ª ed.). SIAM. pág. 24. ISBN   978-0-89871-420-3.
  15. ↑ Maurer, Stephen B.; Ralston, Anthony (2005). Matemáticas algorítmicas discretas (3.ª ed.). Boca Raton, Fla.: CRC Press. p. 60. ISBN   1568811667.
  16. ↑ Por ejemplo, de Topología general , pág. 25: "Un conjunto es numerable si y solo si es finito o infinitamente numerable." [negrita en el original]
  17. ↑ Krantz, Steven G. (1996), A Primer of Mathematical Writing , American Mathematical Society, p. 71 , ISBN  978-0-8218-0635-7
  18. ↑ Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2020) [1995]. Inteligencia artificial: un enfoque moderno (4.ª ed.). Prentice Hall . pág. 1136. ISBN   978-0-13-461099-3OCLC 359890490 .​ 
  19. ↑ Kowalski, R., Dávila, J., Sartor, G. y Calejo, M., 2023. Inglés lógico para el derecho y la educación. http://www.doc.ic.ac.uk/~rak/papers/Logical%20English%20for%20Law%20and%20Education%20.pdf En Prolog: Los próximos 50 años (pp. 287-299). Cham: Springer Nature Suiza.
  • "Tablas de verdad para 'si y solo si'" . Archivado del original el 5 de mayo de 2000.
  • Registro de idioma: "Por si acaso"
  • Filosofía del sur de California para estudiantes de posgrado en filosofía: "Por si acaso"