Expresión bien definida

En matemáticas , una expresión bien definida o no ambigua es aquella cuya definición le asigna una interpretación o valor único. De lo contrario, se dice que la expresión no está bien definida , está mal definida o es ambigua . ^{[ 1 ]} Una función está bien definida si da el mismo resultado cuando se cambia la representación de la entrada sin cambiar el valor de la entrada. Por ejemplo, si${\displaystyle f}$toma números reales como entrada, y si${\displaystyle f(0.5)}$no es igual${\displaystyle f(1/2)}$entonces${\displaystyle f}$no está bien definido (y por lo tanto no es una función). ^{[ 2 ]} El término bien definido también puede usarse para indicar que una expresión lógica es inequívoca o no contradictoria.

Una función que no está bien definida no es lo mismo que una función que no está definida . Por ejemplo, si${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$, entonces aunque${\displaystyle f(0)}$es indefinido, esto no significa que la función no esté bien definida; más bien, 0 no está en el dominio de${\displaystyle f}$.

Dejar${\displaystyle A_{0},A_{1}}$sean conjuntos, sea${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$y "definir"${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$como${\displaystyle f(a)=0}$si${\displaystyle a\in A_{0}}$y${\displaystyle f(a)=1}$si${\displaystyle a\in A_{1}}$.

Entonces${\displaystyle f}$está bien definido si${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$. Por ejemplo, si${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$y${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$, entonces${\displaystyle f(a)}$estaría bien definido y sería igual a${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$.

Sin embargo, si${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$, entonces${\displaystyle f}$no estaría bien definido porque${\displaystyle f(a)}$es "ambiguo" para${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$. Por ejemplo, si${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$y${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$, entonces${\displaystyle f(2)}$tendría que ser tanto 0 como 1, lo que lo hace ambiguo. Como resultado, el último${\displaystyle f}$no está bien definida y, por lo tanto, no es una función.

Para evitar las comillas alrededor de "definir" en el ejemplo simple anterior, la "definición" de${\displaystyle f}$podría dividirse en dos pasos lógicos:

Si bien la definición del paso 1 se formula con la libertad de cualquier definición y ciertamente es efectiva (sin necesidad de clasificarla como "bien definida"), la afirmación del paso 2 debe ser probada. Es decir,${\displaystyle f}$es una función si y solo si${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$, en cuyo caso${\displaystyle f}$– como función – está bien definida.

Por otro lado, si${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$, entonces para un${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$, tendríamos eso${\displaystyle (a,0)\in f}$y${\displaystyle (a,1)\in f}$, lo que hace que la relación binaria${\displaystyle f}$no funcional (como se define en Relación binaria §  Tipos de relaciones binarias ) y por lo tanto no está bien definida como una función. Coloquialmente, la "función"${\displaystyle f}$También se le llama ambiguo en un punto${\displaystyle a}$(aunque por definición nunca hay una "función ambigua"), y la "definición" original no tiene sentido.

A pesar de estos sutiles problemas lógicos, es bastante común usar el término definición (sin apóstrofes) para "definiciones" de este tipo, por tres razones:

1. Proporciona una forma práctica y concisa de aplicar el método de dos pasos.
2. El razonamiento matemático pertinente (es decir, el paso 2) es el mismo en ambos casos.
3. En los textos matemáticos, la afirmación es "hasta un 100%" verdadera.

Las dudas sobre la correcta definición de una función suelen surgir cuando la ecuación que la define se refiere no solo a los argumentos en sí, sino también a elementos de estos, que actúan como representantes . Esto a veces es inevitable cuando los argumentos son clases laterales y la ecuación se refiere a sus representantes. En ese caso, el resultado de la aplicación de la función no debe depender de la elección del representante.

Para números reales, el producto${\displaystyle a\times b\times c}$es inequívoco porque${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$; por lo tanto, se dice que la notación está bien definida . ^{[ 1 ]} Esta propiedad, también conocida como asociatividad de la multiplicación, garantiza que el resultado no depende de la secuencia de multiplicaciones; por lo tanto, se puede omitir la especificación de la secuencia. La operación de resta no es asociativa; a pesar de ello, existe una convención que${\displaystyle abc}$es una abreviatura de${\displaystyle (ab)-c}$, por lo tanto se considera "bien definido". Por otro lado, la división no es asociativa, y en el caso de${\displaystyle a/b/c}$Las convenciones de uso de paréntesis no están bien establecidas; por lo tanto, esta expresión a menudo se considera mal definida.

A diferencia de las funciones, las ambigüedades de notación se pueden superar mediante definiciones adicionales (por ejemplo, reglas de precedencia , asociatividad del operador). Por ejemplo, en el lenguaje de programación C , el operador -de resta es asociativo de izquierda a derecha , lo que significa que a-b-cse define como (a-b)-c, y el operador =de asignación es asociativo de derecha a izquierda , lo que significa que a=b=cse define como a=(b=c). ^{[ 3 ]} En el lenguaje de programación APL solo hay una regla: de derecha a izquierda , pero primero los paréntesis.

Se dice que una solución a una ecuación diferencial parcial está bien definida si está determinada continuamente por las condiciones de contorno a medida que estas cambian. ^{[ 1 ]}

• Relación de equivalencia §  Buena definición bajo una relación de equivalencia
• Definicionismo
• Existencia
• Patológico (matemáticas)
• Unicidad
• Cuantificación de la singularidad
• Indefinido
• Fórmula bien formada