Problema bien planteado

En matemáticas , la solución de un problema bien planteado satisface las siguientes propiedades:

1. Existe ;​
2. Es único ;
3. Su comportamiento cambia continuamente con las condiciones auxiliares, como los valores iniciales o de contorno .

Estos criterios fueron introducidos por primera vez por Jacques Hadamard en 1902. ^{[ 1 ] : 131}

Ejemplos de problemas bien planteados arquetípicos incluyen el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace y la ecuación del calor con condiciones iniciales específicas. Estos podrían considerarse problemas «naturales», ya que existen procesos físicos modelados por ellos.

Los problemas que no están bien planteados en el sentido anterior se denominan problemas mal planteados . Un ejemplo sencillo es un problema de optimización global , ya que la ubicación de los óptimos generalmente no es una función continua de los parámetros que especifican el objetivo, incluso cuando el objetivo en sí es una función suave de dichos parámetros. Los problemas inversos suelen estar mal planteados; por ejemplo, la ecuación inversa del calor, que deduce una distribución previa de temperatura a partir de datos finales, no está bien planteada, puesto que la solución es muy sensible a los cambios en los datos finales.

Los modelos continuos a menudo deben discretizarse para obtener una solución numérica. Si bien las soluciones pueden ser continuas con respecto a las condiciones iniciales, pueden presentar inestabilidad numérica cuando se resuelven con precisión finita o con errores en los datos.

Aunque un problema esté bien planteado, puede estar mal condicionado , lo que significa que un pequeño error en los datos iniciales puede generar errores mucho mayores en las respuestas. Los problemas en sistemas complejos no lineales (los llamados sistemas caóticos ) son ejemplos bien conocidos de inestabilidad. Un problema mal condicionado se caracteriza por un número de condición elevado .

Si el problema está bien planteado, entonces tiene buenas probabilidades de resolverse en una computadora usando un algoritmo estable . Si no está bien planteado, necesita ser reformulado para su tratamiento numérico. Por lo general, esto implica incluir supuestos adicionales, como la suavidad de la solución. Este proceso se conoce como regularización . ^{[ 2 ]} La regularización de Tikhonov es una de las más utilizadas para regularizar problemas lineales mal planteados.

La existencia de soluciones locales suele ser una parte importante del problema de la buena formulación, y es la base de muchos métodos de estimación, por ejemplo, el método de la energía que se describe a continuación.

Existen numerosos resultados sobre este tema. Por ejemplo, el teorema de Cauchy-Kowalevski para problemas de valor inicial de Cauchy establece que si los términos de una ecuación diferencial parcial están formados por funciones analíticas y se cumple una condición de transversalidad (el hiperplano o, más generalmente, la hipersuperficie donde se plantean los datos iniciales debe ser no característico con respecto al operador diferencial parcial), entonces, en ciertas regiones, existen necesariamente soluciones que también son funciones analíticas. Este es un resultado fundamental en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales analíticas. Sorprendentemente, el teorema no se cumple en el caso de funciones suaves; un ejemplo descubierto por Hans Lewy en 1957 consiste en una ecuación diferencial parcial lineal cuyos coeficientes son suaves (es decir, tienen derivadas de todos los órdenes) pero no analíticos, para la cual no existe solución. Por lo tanto, el teorema de Cauchy-Kowalevski se limita necesariamente a funciones analíticas.

El método energético es útil para establecer tanto la unicidad como la continuidad con respecto a las condiciones iniciales (es decir, no establece la existencia). El método se basa en derivar una cota superior de un funcional de tipo energético para un problema dado.

Ejemplo : Consideremos la ecuación de difusión en el intervalo unitario con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas y datos iniciales adecuados.${\displaystyle f(x)}$(por ejemplo para cuál${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$).

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Multiplica la ecuación${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$por${\displaystyle u}$e integrar en el espacio sobre el intervalo unitario para obtener

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

Esto nos dice que${\displaystyle \|u\|_{2}}$( p-norma ) no puede crecer en el tiempo. Al multiplicar por dos e integrar en el tiempo, desde${\displaystyle 0}$arriba a${\displaystyle t}$, uno encuentra

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

Este resultado es la estimación de energía para este problema.

Para demostrar la unicidad de las soluciones, supongamos que hay dos soluciones distintas al problema, llamémoslas${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$, cada uno satisfaciendo los mismos datos iniciales. Al definir${\displaystyle w=uv}$Entonces, mediante la linealidad de las ecuaciones, se encuentra que${\displaystyle w}$Satisface

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Aplicar la estimación de energía nos dice${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$lo cual implica${\displaystyle u=v}$( en casi todas partes ).

De manera similar, para demostrar la continuidad con respecto a las condiciones iniciales, supongamos que${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$son soluciones que corresponden a diferentes datos iniciales${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$y${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$. Considerando${\displaystyle w=uv}$Una vez más, uno descubre que${\displaystyle w}$satisface las mismas ecuaciones que las anteriores pero con${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$Esto lleva a la estimación de energía.${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$que establece continuidad (es decir, como${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$acercarse, según lo medido por el${\displaystyle L^{2}}$norma de su diferencia, entonces${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$).

El principio del máximo es un método alternativo para establecer la unicidad y la continuidad de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales en este ejemplo. La existencia de soluciones a este problema puede comprobarse mediante series de Fourier .

Si es posible denotar la solución a un problema de Cauchy${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Au,u(0)=u_{0}{\text{ (1)}}}$, donde A es un operador lineal que mapea un subespacio lineal denso D(A) de X en X (véase el mapeo lineal discontinuo ), con${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$, dónde${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$es una familia de operadores lineales en X que satisface

• ${\displaystyle S(0)=I}$
• ${\displaystyle S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a)}$para cualquier${\displaystyle a,b\geq 0}$
• ${\displaystyle t\mapsto S(t)w}$es continuo para cada${\displaystyle w}$en${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)w=AS(t)w}$por cada${\displaystyle w}$en${\displaystyle X}$

entonces (1) está bien planteado.

El teorema de Hille-Yosida establece los criterios sobre A para tal${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$existir.

• Espectroscopia de absorción total : un ejemplo de problema inverso o problema mal condicionado en una situación real que se resuelve mediante el algoritmo de expectativa-maximización.

• Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique . Boletín de la Universidad de Princeton. págs. 49 a 52. 
• Parker, Sybil B., ed. (1989) [1974]. Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos (4.ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9.
• Tikhonov, AN; Arsenin, VY (1977). Soluciones de problemas mal planteados . Nueva York: Winston. ISBN 0-470-99124-0.
• Strauss, Walter A. (2008). Ecuaciones diferenciales parciales; Una introducción (2.ª  ed.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-0470-05456-7.
• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales (PDF) . Providence (RI): Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-0772-2.