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Imagen (matemáticas)

Para la función que asigna una Persona a su Comida Favorita, la imagen de Gabriela es Manzana. La preimagen de Manzana es el conjunto {Gabriela, Maryam}. La preimagen de Pescado...

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Para la función que asigna una Persona a su Comida Favorita, la imagen de Gabriela es Manzana. La preimagen de Manzana es el conjunto {Gabriela, Maryam}. La preimagen de Pescado es el conjunto vacío. La imagen del subconjunto {Richard, Maryam} es {Arroz, Manzana}. La preimagen de {Arroz, Manzana} es {Gabriela, Richard, Maryam}.

En matemáticas , la imagen de una funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es el conjunto de todosF(incógnita){\displaystyle f(x)}de tal manera queincógnita{\displaystyle x}pertenece al dominio de​F{\displaystyle f}⁠ . La imagen por ⁠F{\displaystyle f}de un elementoincógnita{\displaystyle x}del dominio deF{\displaystyle f}es​​F(incógnita){\displaystyle f(x)}⁠ , es decir, la salida correspondiente a la entrada ⁠incógnita{\displaystyle x}⁠ . La imagen por ⁠F{\displaystyle f}de un subconjuntoS{\displaystyle S}del dominio deF{\displaystyle f}es el conjunto de todosF(incógnita){\displaystyle f(x)}de tal manera queincógnita{\displaystyle x}está en​S{\displaystyle S}⁠ , es decir, el conjunto de imágenes de los elementos de ⁠S{\displaystyle S}⁠ . De forma equivalente, es la imagen de la restricción de ⁠F{\displaystyle f}a​​S{\displaystyle S}⁠ .

Las preimágenes o imágenes inversas se definen de manera similar, intercambiando los roles del dominio y el codominio :

La preimagen de un elementoy{\displaystyle y}del codominio deF{\displaystyle f}es el conjunto de todos los elementosincógnita{\displaystyle x}del dominio deF{\displaystyle f}de tal manera queF(incógnita)=y{\displaystyle f(x)=y}; está vacío si​y{\displaystyle y}no pertenece a la imagen deF{\displaystyle f}⁠ . La preimagen de un subconjunto ⁠T{\displaystyle T}del codominio deF{\displaystyle f}es el conjunto de todos los elementosincógnita{\displaystyle x}del dominio deF{\displaystyle f}de tal manera queF(incógnita)∈T{\displaystyle f(x)\in T}⁠ . La preimagen del codominio de ⁠F{\displaystyle f}⁠ es, por definición de una función, el dominio de ⁠F{\displaystyle f}⁠ .

Las imágenes y las imágenes inversas también pueden definirse de manera similar para relaciones binarias generales . En esta generalización, las imágenes y las preimágenes desempeñan roles simétricos: las imágenes y las preimágenes de una relación son respectivamente las preimágenes y las imágenes de la relación opuesta .

Definición

F{\displaystyle f}es una función del dominioincógnita{\displaystyle X}para codominioY{\displaystyle Y}. La imagen del elementoincógnita{\displaystyle x}es elementoy{\displaystyle y}. La preimagen del elementoy{\displaystyle y}es el conjunto {incógnita,incógnita′{\displaystyle x,x'}}. La preimagen del elementoy′{\displaystyle y'}es∅{\displaystyle \varnothing }.
F{\displaystyle f}es una función del dominioincógnita{\displaystyle X}para codominioY{\displaystyle Y}. La imagen de todos los elementos en el subconjuntoA{\displaystyle A}es un subconjuntoB{\displaystyle B}. La preimagen deB{\displaystyle B}es un subconjuntodo{\displaystyle C}
F{\displaystyle f}es una función del dominioincógnita{\displaystyle X}para codominioY{\displaystyle Y}El óvalo amarillo en el interiorY{\displaystyle Y}es la imagen deF{\displaystyle f}. La preimagen deY{\displaystyle Y}es todo el dominioincógnita{\displaystyle X}

La palabra "imagen" se utiliza de tres maneras relacionadas. En estas definiciones,F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es una función del conjuntoincógnita{\displaystyle X}al conjuntoY{\displaystyle Y}.

Imagen de un elemento

Siincógnita{\displaystyle x}es miembro deincógnita{\displaystyle X}, entonces la imagen deincógnita{\displaystyle x}bajoF{\displaystyle f}, denotadoF(incógnita){\displaystyle f(x)}, es el valor deF{\displaystyle f}cuando se aplica aincógnita{\displaystyle x}.F(incógnita){\displaystyle f(x)}también se conoce como el resultado deF{\displaystyle f}Por argumentaciónincógnita{\displaystyle x}.

Dadoy{\displaystyle y}, la funciónF{\displaystyle f}Se dice que toma el valory{\displaystyle y}o tomary{\displaystyle y}como valor si existe algunoincógnita{\displaystyle x}en el dominio de la función tal queF(incógnita)=y{\displaystyle f(x)=y}. De manera similar, dado un conjuntoS,{\displaystyle S,}F{\displaystyle f}Se dice que toma un valor enS{\displaystyle S}si existe algunaincógnita{\displaystyle x}en el dominio de la función tal queF(incógnita)∈S{\displaystyle f(x)\in S}. Sin embargo,F{\displaystyle f}toma [todos] los valores enS{\displaystyle S}yF{\displaystyle f}es valorado enS{\displaystyle S}significa queF(incógnita)∈S{\displaystyle f(x)\in S}por cada puntoincógnita{\displaystyle x}en el dominio deF{\displaystyle f}.

Imagen de un subconjunto

A lo largo de todo, deje queF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}ser una función. Elimagen debajoF{\displaystyle f}de un subconjuntoA{\displaystyle A}deincógnita{\displaystyle X}es el conjunto de todosF(a){\displaystyle f(a)}paraa∈A{\displaystyle a\in A}Se denota porF[A]{\displaystyle f[A]}o porF(A){\displaystyle f(A)}cuando no hay riesgo de confusión. Usando la notación de constructor de conjuntos , esta definición se puede escribir como [ 1 ] [ 2 ]F[A]={F(a):a∈A}{\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}}

Esto induce una funciónF[⋅]:PAG(incógnita)→PAG(Y){\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}, dóndePAG(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}denota el conjunto potencia de un conjuntoS{\displaystyle S}; es decir, el conjunto de todos los subconjuntos deS{\displaystyle S}Consulte la sección §  Notación a continuación para obtener más información.

Imagen de una función

La imagen de una función es la imagen de todo su dominio , también conocido como el rango de la función. [ 3 ] Este último uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para referirse al codominio deF{\displaystyle f}.

Generalización a relaciones binarias

SiR{\displaystyle R}es una relación binaria arbitraria enincógnita×Y{\displaystyle X\times Y}, entonces el conjunto{y∈Y:incógnitaRy para algunos incógnita∈incógnita}{\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ para algún }}x\in X\}}se llama la imagen, o el rango, deR{\displaystyle R}. Dualmente, el conjunto{incógnita∈incógnita:incógnitaRy para algunos y∈Y}{\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ para algún }}y\in Y\}}se llama el dominio deR{\displaystyle R}.

Imagen inversa

DejarF{\displaystyle f}ser una función deincógnita{\displaystyle X}aY.{\displaystyle Y.}La preimagen o imagen inversa de un conjuntoB⊆Y{\displaystyle B\subsetequ Y}bajoF,{\displaystyle f,}denotado porF−1[B],{\displaystyle f^{-1}[B],}es el subconjunto deincógnita{\displaystyle X}definido por F−1[B]={incógnita∈incógnita:F(incógnita)∈B}.{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}

Otras notaciones incluyenF−1(B){\displaystyle f^{-1}(B)}yF−(B).{\displaystyle f^{-}(B).}[ 4 ] La imagen inversa de unconjunto unitario, denotada porF−1[{y}]{\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}o porF−1(y),{\displaystyle f^{-1}(y),}También se le llama fibra (o fibra) sobrey{\displaystyle y}, o el conjunto de niveles dey.{\displaystyle y.}El conjunto de todas las fibras sobre los elementos deY{\displaystyle Y}es una familia de conjuntos indexados porY.{\displaystyle Y.}

Por ejemplo, para la funciónF(incógnita)=incógnita2,{\displaystyle f(x)=x^{2},}la imagen inversa de{4}{\displaystyle \{4\}}sería{−2,2}.{\displaystyle \{-2,2\}.}Nuevamente, si no hay riesgo de confusión,F−1[B]{\displaystyle f^{-1}[B]}puede denotarse porF−1(B),{\displaystyle f^{-1}(B),}yF−1{\displaystyle f^{-1}}También puede pensarse como una función del conjunto potencia deY{\displaystyle Y}al conjunto de potencias deincógnita.{\displaystyle X.}La notaciónF−1{\displaystyle f^{-1}}no debe confundirse con la de la función inversa , aunque coincide con la habitual para las biyecciones en el sentido de que la imagen inversa deB{\displaystyle B}bajoF{\displaystyle f}es la imagen deB{\displaystyle B}bajoF−1.{\displaystyle f^{-1}.}

Notación para imagen e imagen inversa

Las notaciones tradicionales utilizadas en la sección anterior no distinguen la función original.F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}de la función imagen-de-conjuntosF:PAG(incógnita)→PAG(Y){\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}Asimismo, no distinguen la función inversa (suponiendo que exista) de la función imagen inversa (que, a su vez, relaciona los conjuntos potencia). En el contexto adecuado, esto simplifica la notación y, por lo general, no causa confusión. Pero si es necesario, una alternativa [ 5 ] consiste en dar nombres explícitos a la imagen y la preimagen como funciones entre conjuntos potencia:

notación de flechas

  • F→:PAG(incógnita)→PAG(Y){\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}conF→(A)={F(a)|a∈A}{\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}
  • F←:PAG(Y)→PAG(incógnita){\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}conF←(B)={a∈incógnita|F(a)∈B}{\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}

Notación de estrella

  • F⋆:PAG(incógnita)→PAG(Y){\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}en lugar deF→{\displaystyle f^{\rightarrow }}
  • F⋆:PAG(Y)→PAG(incógnita){\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}en lugar deF←{\displaystyle f^{\leftarrow }}

Otra terminología

  • Una notación alternativa paraF[A]{\displaystyle f[A]}Se utiliza en lógica matemática y teoría de conjuntos .F″A.{\displaystyle f\,''A.}[ 6 ] [ 7 ]
  • Algunos textos hacen referencia a la imagen deF{\displaystyle f}como el rango deF,{\displaystyle f,}[ 8 ] pero este uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para referirse alcodominiodeF.{\displaystyle f.}

Ejemplos

  1. F:{1,2,3}→{a,b,do,d}{\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}definido por{1↦a,2↦a,3↦do.{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}
    La imagen del conjunto{2,3}{\displaystyle \{2,3\}}bajoF{\displaystyle f}esF({2,3})={a,do}.{\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}La imagen de la funciónF{\displaystyle f}es{a,do}.{\displaystyle \{a,c\}.}La preimagen dea{\displaystyle a}esF−1({a})={1,2}.{\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}La preimagen de{a,b}{\displaystyle \{a,b\}}también lo esF−1({a,b})={1,2}.{\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}La preimagen de{b,d}{\displaystyle \{b,d\}}bajoF{\displaystyle f}es el conjunto vacío{ }=∅.{\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}
  2. F:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }definido porF(incógnita)=incógnita2.{\displaystyle f(x)=x^{2}.}
    La imagen de{−2,3}{\displaystyle \{-2,3\}}bajoF{\displaystyle f}esF({−2,3})={4,9},{\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}y la imagen deF{\displaystyle f}esR+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}(el conjunto de todos los números reales positivos y el cero). La preimagen de{4,9}{\displaystyle \{4,9\}}bajoF{\displaystyle f}esF−1({4,9})={−3,−2,2,3}.{\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}La preimagen del conjuntonorte={norte∈R:norte<0}{\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}bajoF{\displaystyle f}es el conjunto vacío, porque los números negativos no tienen raíces cuadradas en el conjunto de los números reales.
  3. F:R2→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }definido porF(incógnita,y)=incógnita2+y2.{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}
    Las fibrasF−1({a}){\displaystyle f^{-1}(\{a\})}son círculos concéntricos alrededor del origen , el origen mismo y el conjunto vacío (respectivamente), dependiendo de sia>0, a=0, o  a<0{\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ o }}\ a<0}(respectivamente). (Sia≥0,{\displaystyle a\geq 0,}luego la fibraF−1({a}){\displaystyle f^{-1}(\{a\})}es el conjunto de todos(incógnita,y)∈R2{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}satisfaciendo la ecuaciónincógnita2+y2=a,{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}es decir, el círculo centrado en el origen con radioa.{\displaystyle {\sqrt {a}}.})
  4. SiMETRO{\displaystyle M}es un colector yπ:TMETRO→METRO{\displaystyle \pi :TM\to M}es la proyección canónica del fibrado tangenteTMETRO{\displaystyle TM}aMETRO,{\displaystyle M,}luego las fibras deπ{\displaystyle \pi }son los espacios tangentesTincógnita(METRO) para incógnita∈METRO.{\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}Este es también un ejemplo de un haz de fibras .
  5. Un grupo cociente es una imagen homomórfica .

Propiedades

General

Para cada funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}y todos los subconjuntosA⊆incógnita{\displaystyle A\subseteq X}yB⊆Y,{\displaystyle B\subseteq Y,}Se cumplen las siguientes propiedades:

También:

  • F(A)∩B=∅ si y solo si A∩F−1(B)=∅{\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }

Múltiples funciones

Para funcionesF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}ygramo:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}con subconjuntosA⊆incógnita{\displaystyle A\subseteq X}ydo⊆Z,{\displaystyle C\subseteq Z,}Se cumplen las siguientes propiedades:

  • (gramo∘F)(A)=gramo(F(A)){\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}
  • (gramo∘F)−1(do)=F−1(gramo−1(do)){\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}

Múltiples subconjuntos de dominio o codominio

Para funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}y subconjuntosA,B⊆incógnita{\displaystyle A,B\subseteq X}yS,T⊆Y,{\displaystyle S,T\subseteq Y,}Se cumplen las siguientes propiedades:

Los resultados que relacionan las imágenes y las preimágenes con el álgebra ( booleana ) de intersección y unión funcionan para cualquier colección de subconjuntos, no solo para pares de subconjuntos:

  • F(⋃s∈SAs)=⋃s∈SF(As){\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}
  • F(⋂s∈SAs)⊆⋂s∈SF(As){\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}
  • F−1(⋃s∈SBs)=⋃s∈SF−1(Bs){\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}
  • F−1(⋂s∈SBs)=⋂s∈SF−1(Bs){\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}

(Aquí,S{\displaystyle S}puede ser infinito, incluso infinito no numerable .)

Con respecto al álgebra de subconjuntos descrita anteriormente, la función imagen inversa es un homomorfismo reticular , mientras que la función imagen es solo un homomorfismo semireticular (es decir, no siempre conserva las intersecciones).

Véase también

Notas

  1. ↑ "5.4: Sobre funciones e imágenes/preimágenes de conjuntos" . Mathematics LibreTexts . 5 de noviembre de 2019. Consultado el 28 de agosto de 2020 .
  2. ↑ Paul R. Halmos (1968). Teoría ingenua de conjuntos . Princeton: Nostrand.Aquí: Sección 8
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Imagen" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
  4. ↑ Dolecki y Mynard 2016 , págs. 4–5.
  5. ↑ Blyth 2005 , pág. 5.
  6. ↑ Jean E. Rubin (1967). Teoría de conjuntos para el matemático . Holden-Day. pág. xix. ASIN B0006BQH7S .  
  7. ↑ M. Randall Holmes: Inhomogeneidad de los urelementos en los modelos usuales de NFU , 29 de diciembre de 2005, en: Semantic Scholar, pág. 2
  8. ↑ Hoffman, Kenneth (1971). Álgebra lineal (2.ª ed.). Prentice-Hall. pág. 388.  
  9. 1 2 3 Véase Halmos 1960 , pág. 31 
  10. 1 2 Véase Munkres 2000 , pág. 19 
  11. 1 2 3 4 5 6 7 8 Véase la pág. 388 de Lee, John M. (2010). Introducción a las variedades topológicas, 2.ª ed.
  12. 1 2 Kelley 1985 , pág. 85 
  13. 1 2 Véase Munkres 2000 , pág. 21 

Referencias

  • Artín, Michael (1991). Álgebra . Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
  • Blyth, TS (2005). Retículos y estructuras algebraicas ordenadas . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
  • Dolecki, Szymon ; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de la convergencia en topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4OCLC 945169917​​ 
  • Halmos, Paul R. (1960). Teoría ingenua de conjuntos . Serie universitaria de matemáticas para estudiantes de pregrado. Van Nostrand Company. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403 . {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • Kelley, John L. (1985). Topología general . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  27 (2.ª  ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
  • Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª  ed.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260 .​ ( Accesible para usuarios con discapacidades visuales )

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