Momento de la imagen

Las propiedades simples de la imagen derivadas a través de momentos brutos incluyen:

• Área (para imágenes binarias) o suma de niveles de gris (para imágenes en escala de grises):${\displaystyle M_{00}}$
• Centroide:${\displaystyle \{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}}$

La información sobre la orientación de la imagen se puede obtener utilizando primero los momentos centrales de segundo orden para construir una matriz de covarianza .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{20}&=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}\\\mu '_{02}&=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}\\\mu '_{11}&=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}\end{aligned}}}$$

La matriz de covarianza de la imagen${\displaystyle I(x,y)}$ahora es

${\displaystyle \operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}.}$

Los autovectores de esta matriz corresponden a los ejes mayor y menor de la intensidad de la imagen, por lo que la orientación se puede extraer del ángulo del autovector asociado al autovalor más grande hacia el eje más cercano a dicho autovector. Se puede demostrar que este ángulo Θ viene dado por la siguiente fórmula:

${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)}$

La fórmula anterior es válida siempre que:

${\displaystyle \mu '_{20}-\mu '_{02}\neq 0}$

Se puede demostrar fácilmente que los valores propios de la matriz de covarianza son:

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}},}$

y son proporcionales al cuadrado de la longitud de los ejes del vector propio. La diferencia relativa en magnitud de los valores propios es, por lo tanto, una indicación de la excentricidad de la imagen, o cuán alargada está. La excentricidad es

${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}}}.}$

Los momentos centrales μ _{i j} de cualquier orden son, por construcción, invariantes con respecto a las traslaciones .

Los invariantes η _{i j} con respecto a la traslación y la escala se pueden construir a partir de los momentos centrales dividiendo por un momento central de orden cero debidamente escalado:

${\displaystyle \eta _{ij}={\frac {\mu _{ij}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {i+j}{2}}\right)}}}\,\!}$

donde i + j ≥ 2. Nótese que la invariancia traslacional se deduce directamente utilizando únicamente momentos centrales.

Como se muestra en el trabajo de Hu, ^{[ 3 ] [ 4 ]} se pueden construir invariantes con respecto a la traslación , la escala y la rotación :

${\displaystyle I_{1}=\eta _{20}+\eta _{02}}$

${\displaystyle I_{2}=(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+4\eta _{11}^{2}}$

${\displaystyle I_{3}=(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{4}=(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{5}=(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]}$

${\displaystyle I_{6}=(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})}$

${\displaystyle I_{7}=(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]-(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}].}$

Estos son bien conocidos como invariantes de momento de Hu .

La primera, I ₁ , es análoga al momento de inercia alrededor del centroide de la imagen, donde las intensidades de los píxeles son análogas a la densidad física. Las seis primeras, I ₁ ... I ₆ , son simétricas respecto a la reflexión, es decir, no cambian si la imagen se convierte en una imagen especular. La última, I ₇ , es antisimétrica respecto a la reflexión (cambia de signo al reflejarse), lo que le permite distinguir imágenes especulares de imágenes que, de otro modo, serían idénticas.

J. Flusser propuso una teoría general sobre la derivación de conjuntos completos e independientes de invariantes de momento de rotación. ^{[ 5 ]} Demostró que el conjunto tradicional de invariantes de momento de Hu no es ni independiente ni completo. I ₃ no es muy útil ya que depende de los demás (${\displaystyle I_{3}=(I_{5}^{2}+I_{7}^{2})/I_{4}^{3}}$). En el conjunto original de Hu falta un invariante de momento independiente de tercer orden:

${\displaystyle I_{8}=\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+\eta _{21})^{2}]-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})}$

Al igual que I ₇ , I ₈ también es antisimétrico de reflexión.

Más tarde, J. Flusser y T. Suk ^{[ 6 ]} especializaron la teoría para el caso de formas N-rotacionalmente simétricas.