Elemento imaginario

En la teoría de modelos , una rama de las matemáticas , un elemento imaginario de una estructura es, aproximadamente, una clase de equivalencia definible . Estas fueron introducidas por Shelah (1990) , y la eliminación de elementos imaginarios fue introducida por Poizat (1983) .

• M es un modelo de alguna teoría .
• x e y representan n - tuplas de variables, para algún número natural n .
• Una fórmula de equivalencia es una fórmula φ( x , y ) que es una relación simétrica y transitiva . Su dominio es el conjunto de elementos a de M ⁿ tales que φ( a , a ); es una relación de equivalencia en su dominio.
• Un elemento imaginario a /φ de M es una fórmula de equivalencia φ junto con una clase de equivalencia a .
• M tiene eliminación de imaginarios si para cada elemento imaginario a /φ hay una fórmula θ( x , y ) tal que hay una tupla única b tal que la clase de equivalencia de a consiste en las tuplas x tales que θ( x , b ).
• Un modelo tiene eliminación uniforme de imaginarios si la fórmula θ se puede elegir independientemente de a .
• Una teoría tiene eliminación de imaginarios si todos los modelos de esa teoría la tienen (y de forma similar para la eliminación uniforme).

• La teoría de conjuntos ZFC tiene eliminación de imaginarios.
• La aritmética de Peano tiene eliminación uniforme de imaginarios.
• Un espacio vectorial de dimensión al menos 2 sobre un cuerpo finito con al menos 3 elementos no tiene eliminación de imaginarios.

• Hodges, Wilfrid (1993), Teoría de modelos , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-30442-9
• Poizat, Bruno (1983), "Une théorie de Galois imaginaire. [Una teoría imaginaria de Galois]", Journal of Symbolic Logic , 48 (4): 1151–1170 , doi : 10.2307/2273680 , JSTOR 2273680 , MR 0727805  
• Shelah, Saharon (1990) [1978], Teoría de la clasificación y el número de modelos no isomorfos , Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (2.ª  ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9