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Número imaginario

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Un número imaginario es el producto de un número real y la unidad imaginaria i , [ nota 1 ] que se define por su propiedad i² = −1 . [ 1 ] [ 2 ] El cuadrado de un número imaginario bi es −b² . Por ejemplo, 5i es un número imaginario, y su cuadrado es −25 . El número cero se considera tanto real como imaginario . [ 3 ]

Originalmente acuñado en el siglo XVII por René Descartes [ 4 ] como un término despectivo y considerado ficticio o inútil, el concepto ganó amplia aceptación tras el trabajo de Leonhard Euler en el siglo XVIII, y de Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss a principios del siglo XIX.

Un número imaginario bi se puede sumar a un número real a para formar un número complejo de la forma a + bi , donde los números reales a y b se denominan, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo. [ 5 ] Los números imaginarios a menudo se denominan puramente imaginarios para distinguirlos de los números complejos en general; el conjunto de todos los números imaginarios a veces se denota comoiR{\displaystyle i\mathbb {R} }, donde​R{\displaystyle \mathbb {R} }⁠ denota el conjunto de los números reales.

Historia

Ilustración del plano complejo. Los números imaginarios se representan en el eje de coordenadas vertical.

Aunque el matemático e ingeniero griego Herón de Alejandría es reconocido como el primero en presentar un cálculo que involucra la raíz cuadrada de un número negativo, [ 6 ] [ 7 ] fue Rafael Bombelli quien estableció por primera vez las reglas para la multiplicación de números complejos en 1572. El concepto había aparecido impreso anteriormente, como en Ars Magna (1545) de Gerolamo Cardano . [ 8 ] En ese momento, los números imaginarios y los números negativos eran poco comprendidos y algunos los consideraban ficticios o inútiles, al igual que el cero en su momento. Muchos otros matemáticos tardaron en adoptar el uso de números imaginarios, incluido René Descartes , quien escribió sobre ellos en su La Géométrie , donde acuñó el término imaginario con una connotación despectiva. [ 9 ] [ 10 ] El uso de números imaginarios no fue ampliamente aceptado hasta la obra de Leonhard Euler (1707-1783) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855). El significado geométrico de los números complejos como puntos en un plano fue descrito por primera vez por Caspar Wessel (1745–1818). [ 11 ]

En 1843, William Rowan Hamilton extendió la idea de un eje de números imaginarios en el plano a un espacio tetradimensional de cuaterniones imaginarios en el que tres de las dimensiones son análogas a los números imaginarios en el campo complejo.

Interpretación geométrica

Rotaciones de 90 grados en el plano complejo

Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano de los números complejos , lo que permite representarlos perpendicularmente al eje real. Una forma de visualizar los números imaginarios es la siguiente: Primero, considerar una recta numérica estándar , es decir, un eje x horizontal en el que los números reales positivos aumentan de magnitud hacia la derecha y los números reales negativos aumentan de magnitud hacia la izquierda. Segundo, en el 0 del eje x , considerar un eje y vertical con dirección "positiva" hacia arriba; entonces, los números imaginarios "positivos" aumentan de magnitud hacia arriba y los números imaginarios "negativos" aumentan de magnitud hacia abajo. Este eje vertical se denomina a menudo "eje imaginario". [ 12 ]

En esta representación, la multiplicación por i corresponde a una rotación de 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen, lo que equivale a un cuarto de vuelta. La multiplicación por −i corresponde a una rotación de 90 grados en sentido horario alrededor del origen. De manera similar, la multiplicación por un número puramente imaginario bi , donde b es un número real positivo, provoca una rotación de 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen y escala el resultado por un factor de b . Cuando b < 0 , esto puede describirse como una rotación de 90 grados en sentido horario y un escalado por | b | . [ 13 ]  

raíces cuadradas de números negativos

ℕ ⊊ ℤ ⊊ ℚ ⊊ ℝ ⊊ ℂ
Inclusiones de conjuntos entre los números naturales (norte{\displaystyle \mathbb {N} }), los enteros (Z{\displaystyle \mathbb {Z} }), los números racionales (Q{\displaystyle \mathbb {Q} }), los números reales (R{\displaystyle \mathbb {R} }), y los números complejos (do{\displaystyle \mathbb {C} })

Se debe tener cuidado al trabajar con números imaginarios que se expresan como los valores principales de las raíces cuadradas de números negativos . [ 14 ] Por ejemplo, la segunda igualdad en

6=(−2)⋅(−3)= (inválido) −2⋅−3=i2⋅i3=−6{\displaystyle \textstyle {\sqrt {6}}={\sqrt {(-2)\cdot (-3)}}\mathrel {\stackrel {\text{ (inválido) }}{=}} {\sqrt {-2}}\cdot {\sqrt {-3}}=i{\sqrt {2}}\cdot i{\sqrt {3}}=-{\sqrt {6}}\,}

no es válido: la identidadincógnitay=incógnitay{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}Esto no siempre se cumple para la rama principal de la función de raíz cuadrada compleja, en el caso de números reales no negativos.

Véase también

Notas

  1. ↑ j se usa generalmente en contextos de ingeniería donde i tiene otros significados (como corriente eléctrica).

Referencias

  1. ↑ Uno Ingard, K. (1988). «Capítulo 2» . Fundamentos de ondas y oscilaciones . Cambridge University Press. pág. 38. ISBN  0-521-33957-X.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. "Número imaginario" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
  3. ↑ Sinha, KC (2008). Un libro de texto de matemáticas para el undécimo grado (segunda edición). Publicaciones Rastogi. pág. 11.2. ISBN   978-81-7133-912-9.
  4. ↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Análisis matemático: aproximación y procesos discretos (ed. ilustrada ). Springer Science & Business Media. pág. 121. ISBN   978-0-8176-4337-9.Extracto de la página 121
  5. ↑ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). Álgebra universitaria: Edición mejorada (6.ª ed.). Cengage Learning. pág. 66. ISBN   978-1-4390-4379-0.
  6. ^ Hargittai, István (1992). Simetría quíntuple (2 ed.). Científico mundial. pag. 153.ISBN​   981-02-0600-3.
  7. ↑ Roy, Stephen Campbell (2007). Números complejos: simulación reticular y aplicaciones de la función zeta . Horwood. pág. 1. ISBN  978-1-904275-25-1.
  8. ↑ Corry, Leo (24 de abril de 2026). "Cardano y la resolución de ecuaciones cúbicas y cuárticas" . www.britannica.com . Consultado el 22 de mayo de 2026 .{{cite web}}: CS1 mantenimiento: estado de la URL ( enlace )
  9. ↑ Descartes, René , Discours de la méthode (Leiden, (Países Bajos): Jan Maire, 1637), libro anexo: La Géométrie , libro tres, p. 380. De la página 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponden a celdas que imaginan, como encore qu'on en puisse imaginer trois en celdas cy, x 3 – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, en ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Además, las raíces verdaderas, así como las falsas, no siempre son reales; sino a veces solo imaginarias; es decir, uno siempre puede imaginar tantas como dije en cada ecuación; pero a veces no hay ninguna cantidad que corresponda a lo que uno imagina, del mismo modo que aunque uno puede imaginar tres de ellas en esta ecuación, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, solo una de ellas es real, que es 2, y con respecto a las otras dos, incluso si uno las aumentara, disminuyera o multiplicara de la manera que acabo de explicar, no podría hacer que fueran otra cosa que imaginarias).
  10. ↑ Martínez, Albert A. (2006), Matemáticas negativas: Cómo las reglas matemáticas pueden ser positivamente modificadas , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8Analiza las ambigüedades de significado en las expresiones imaginarias en un contexto histórico.
  11. ↑ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). «Capítulo 10» . Historia de la geometría no euclidiana: Evolución del concepto de espacio geométrico . Springer. pág. 382. ISBN  0-387-96458-4.
  12. ↑ von Meier, Alexandra (2006). Sistemas de energía eléctrica: una introducción conceptual . John Wiley & Sons . págs. 61–62 . ISBN  0-471-17859-4. Consultado el 13 de enero de 2022 .
  13. ↑ Kuipers, JB (1999). Cuaterniones y secuencias de rotación: una introducción con aplicaciones a órbitas, aeroespacial y realidad virtual . Princeton University Press . págs. 10–11 . ISBN  0-691-10298-8. Consultado el 13 de enero de 2022 .
  14. ↑ Nahin, Paul J. (2010). Un cuento imaginario: La historia de "i" [ la raíz cuadrada de menos uno ] . Princeton University Press. pág. 12. ISBN  978-1-4008-3029-9.Extracto de la página 12

Bibliografía

  • Nahin, Paul (1998). Un cuento imaginario: la historia de la raíz cuadrada de −1 . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-02795-1., explica muchas aplicaciones de las expresiones imaginarias.
  • ¿Cómo se puede demostrar que los números imaginarios existen realmente? – un artículo que analiza la existencia de los números imaginarios.
  • Programa 5Numbers, episodio 4 – Programa de BBC Radio 4
  • ¿Por qué usar números imaginarios? Archivado el 25/08/2019 en Wayback Machine : explicación básica y usos de los números imaginarios.