Teorema de la función implícita

En cálculo multivariable , el teorema de la función implícita ^{[ a ]} es un teorema que proporciona condiciones suficientes bajo las cuales una curva plana especificada por $F(x,y)=0$ También se puede especificar como la gráfica de una función. $f$ , de modo que para cada punto $(x,y)$ en parte de la curva, uno tiene $y=f(x)$ Un ejemplo es el círculo unitario , cuyos puntos $(x,y)$ satisfacer $x^{2}+y^{2}-1=0$ , que puede resolverse localmente (si $y>0$ ) por $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ , expresando el semicírculo superior como un gráfico. No siempre es posible resolver la ecuación. $F(x,y)=0$ para $y$ algebraicamente, y el teorema de la función implícita proporciona condiciones analíticas bajo las cuales existe una función $f$ cuya gráfica pertenece a la curva dada y, en algunas formulaciones, también proporciona una forma de construir aproximaciones a $f$ .

De forma más general, dado un sistema de $m$ ecuaciones $f i (x 1, ..., x n, y 1, ..., y m) = 0, i = 1, ..., m$ (a menudo abreviado como $F (x, y) = 0$ ), el teorema establece que, bajo una condición leve sobre las derivadas parciales (con respecto a cada $y i$ ) en un punto, las $m$ variables $y i$ son funciones diferenciables de los $x j$ en algún entorno del punto. Como estas funciones generalmente no pueden expresarse en forma cerrada , están implícitamente definidas por las ecuaciones, y esto motivó el nombre del teorema. ^{[ 1 ]}

En otras palabras, bajo una condición suave sobre las derivadas parciales, el conjunto de ceros de un sistema de ecuaciones es localmente la gráfica de una función .

Historia

A Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) se le atribuye la primera formulación rigurosa del teorema de la función implícita. Ulisse Dini (1845–1918) generalizó la versión de variables reales del teorema de la función implícita al contexto de funciones de cualquier número de variables reales. ^{[ 2 ]}

caso de dos variables

Dejar $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ sea una función continuamente diferenciable que define la ecuación implícita de una curva $f(x,y)=0$ . Dejar $(x_{0},y_{0})$ sea un punto en la curva, es decir, un punto tal que $f(x_{0},y_{0})=0$ En este caso sencillo, el teorema de la función implícita se puede enunciar de la siguiente manera:

Teorema — Si ⁠ $f(x,y)$ es una función que es continuamente diferenciable en un entorno del punto $(x_{0},y_{0})$ y ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}$ Entonces existe una única función diferenciable . $\varphi$ de tal manera que $y_{0}=\varphi (x_{0})$ y $f(x,\varphi (x))=0$ en un barrio de $x_{0}$ ⁠ .

Demostración. Al derivar la ecuación $f(x,\varphi (x))=0$ ⁠ , uno obtiene ${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\varphi (x))+\varphi '(x)\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\varphi (x))=0.$ y por lo tanto $\varphi '(x)=-{\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\varphi (x))}{{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\varphi (x))}}.$ Esto da como resultado una ecuación diferencial ordinaria para ⁠ $\varphi$ ⁠ , con la condición inicial ⁠ $\varphi (x_{0})=y_{0}$ ⁠ .

Desde ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}$ El lado derecho de la ecuación diferencial es continuo. Por lo tanto, se aplica el teorema de existencia de Peano, así que existe una solución (posiblemente no única). Para ver por qué ${\textstyle \varphi }$ es único, tenga en cuenta que la función ${\textstyle g_{x}(y)=f(x,y)}$ es estrictamente monótono en un vecindario de ${\textstyle x_{0},y_{0}}$ (como ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0}$ ), por lo tanto es inyectivo . Si ${\textstyle \varphi ,\phi }$ son soluciones de la ecuación diferencial, entonces ${\textstyle g_{x}(\varphi (x))=g_{x}(\phi (x))=0}$ y por inyectividad obtenemos, ${\textstyle \varphi (x)=\phi (x)}$ .

Primer ejemplo

Si definimos la función $f (x, y) = x 2 + y 2$ , entonces la ecuación $f (x, y) = 1$ recorta el círculo unitario como el conjunto de nivel ${(x, y) | f (x, y) = 1}$ . No hay manera de representar el círculo unitario como la gráfica de una función de una variable $y = g (x)$ porque para cada elección de $x \in (-1, 1)$ , hay dos elecciones de y , a saber $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ .

Sin embargo, es posible representar parte del círculo como la gráfica de una función de una variable. Si hacemos $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ para $-1 \leq x \leq 1$ , entonces la gráfica de $y = g 1 (x)$ proporciona la mitad superior del círculo. De manera similar, si $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ , entonces la gráfica de $y = g 2 (x)$ da la mitad inferior del círculo.

El teorema de la función implícita afirma que, bajo ciertas suposiciones leves, funciones como $g 1 (x)$ y $g 2 (x)$ siempre existen, incluso en situaciones donde no se pueden expresar mediante fórmulas explícitas. Garantiza que $g 1 (x)$ y $g 2 (x)$ son diferenciables, e incluso funciona en situaciones donde no disponemos de una fórmula para $f (x, y)$ .

Caso general

Dejar $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ ser una función continuamente diferenciable . Pensamos en $\mathbb {R} ^{n+m}$ como producto cartesiano $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m},$ y escribimos un punto de este producto como $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).$ Partiendo de la función dada $f$ Nuestro objetivo es construir una función. $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ cuyo gráfico $({\textbf {x}},g({\textbf {x}}))$ es precisamente el conjunto de todos $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$ de tal manera que $f({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {0}}$ .

Como se indicó anteriormente, esto no siempre será posible. Por lo tanto, fijaremos un punto. $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ lo cual satisface $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})={\textbf {0}}$ y pediremos un $g$ que funciona cerca del punto $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ En otras palabras, queremos un conjunto abierto . $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ que contiene ${\textbf {a}}$ , un conjunto abierto $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ que contiene ${\textbf {b}}$ y una función $g:U\to V$ de tal manera que la gráfica de $g$ satisface la relación $f={\textbf {0}}$ en $U\times V$ y que ningún otro punto dentro $U\times V$ Hazlo. En símbolos,

$\{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.$

Para enunciar el teorema de la función implícita, necesitamos la matriz jacobiana de $f$ , que es la matriz de las derivadas parciales de $f$ Abreviación $(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ a $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ , la matriz jacobiana es

$(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c|c}X&Y\end{array}}\right]$

dónde $X$ es la matriz de derivadas parciales en las variables $x_{i}$ y $Y$ es la matriz de derivadas parciales en las variables $y_{j}$ . El teorema de la función implícita dice que si $Y$ es una matriz invertible, entonces hay $U$ , $V$ , y $g$ como se deseaba. Al escribir todas las hipótesis juntas se obtiene la siguiente afirmación.

Enunciado del teorema

Dejar $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ Sea una función continuamente diferenciable , y sea $\mathbb {R} ^{n+m}$ tener coordenadas $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$ Fijar un punto $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ con $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})=\mathbf {0}$ , dónde $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ es el vector cero. Si la matriz jacobiana (este es el panel derecho de la matriz jacobiana que se muestra en la sección anterior): $J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]$ Si es invertible , entonces existe un conjunto abierto. $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ que contiene ${\textbf {a}}$ de tal manera que exista una función única $g:U\to \mathbb {R} ^{m}$ de tal manera que $g(\mathbf {a} )=\mathbf {b}$ , y $f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ~{\text{for all}}~\mathbf {x} \in U$ . Además, $g$ es continuamente diferenciable y, denotando el panel izquierdo de la matriz jacobiana mostrada en la sección anterior como: $J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right],$ la matriz jacobiana de derivadas parciales de $g$ en $U$ viene dado por el producto matricial : ^{[ 3 ]} $\left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} )\right]_{m\times n}=-\left[J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\,\left[J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times n}$

Una demostración puede encontrarse en el artículo sobre el teorema de la función inversa . Aquí se detalla el caso bidimensional.

Derivadas superiores

Si, además, $f$ es analítico o continuamente diferenciable $k$ tiempos en un barrio de $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ , entonces uno puede elegir $U$ para que lo mismo sea cierto para $g$ adentro $U$ . ^{[ 4 ]} En el caso analítico, esto se denomina teorema de la función implícita analítica .

El ejemplo del círculo

Volvamos al ejemplo del círculo unitario . En este caso n = m = 1 y $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ . La matriz de derivadas parciales es simplemente una matriz de 1 × 2, dada por $(Df)(a,b)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)&{\dfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2a&2b\end{bmatrix}}$

$Así$ , aquí, la $Y$ en el enunciado del teorema es simplemente el número $2b$ ; la aplicación lineal definida por ella es invertible si y solo si $b \neq 0.$ Por el teorema de la función implícita vemos que podemos escribir localmente el círculo en la forma $y = g (x)$ para todos los puntos donde $y \neq 0.$ Para $(\pm1, 0)$ nos encontramos con un problema, como se señaló antes. El teorema de la función implícita aún se puede aplicar a estos dos puntos, escribiendo $x$ como una función de $y$ , es decir, $x=h(y)$ ; ahora la gráfica de la función será $\left(h(y),y\right)$ , puesto que donde $b = 0$ tenemos $a = 1$ , y se cumplen las condiciones para expresar localmente la función de esta forma.

La derivada implícita de y con respecto a x , y la de x con respecto a y , se pueden encontrar diferenciando totalmente la función implícita. $x^{2}+y^{2}-1$ y equivalente a 0: $2x\,dx+2y\,dy=0,$ donación ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$ y ${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.$

Aplicación: cambio de coordenadas

Supongamos que tenemos un espacio $m$ -dimensional, parametrizado por un conjunto de coordenadas $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ Podemos introducir un nuevo sistema de coordenadas. $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ al proporcionar m funciones $h_{1}\ldots h_{m}$ cada una de ellas continuamente diferenciable. Estas funciones nos permiten calcular las nuevas coordenadas. $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ de un punto, dadas las coordenadas antiguas del punto $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ usando $x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})$ . Uno podría querer verificar si lo contrario es posible: dadas las coordenadas $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ ¿Podemos "regresar" y calcular las coordenadas originales del mismo punto? $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ ¿El teorema de la función implícita proporcionará una respuesta a esta pregunta? Las coordenadas (nuevas y antiguas) $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ están relacionados por f = 0, con $f(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{1},\ldots ,h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{m}).$ Ahora la matriz jacobiana de f en un punto determinado ( a , b ) [donde $a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})$ ] se da por $(Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].$ donde I _m denota la matriz identidad m × m , y $J$ es la matriz $m$ $\times$ $m$ de derivadas parciales, evaluada en ( a , b ). (En lo anterior, estos bloques se denotaron por X e Y. De hecho, en esta aplicación particular del teorema, ninguna de las matrices depende de a .) El teorema de la función implícita ahora establece que podemos expresar localmente $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ como función de $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ Si J es invertible. Exigir que J sea invertible es equivalente a det J ≠ 0, por lo que vemos que podemos volver de las coordenadas con prima a las coordenadas sin prima si el determinante del jacobiano J es distinto de cero. Esta afirmación también se conoce como el teorema de la función inversa .

Ejemplo: coordenadas polares

Como una aplicación simple de lo anterior, consideremos el plano, parametrizado por coordenadas polares $(R, θ)$ . Podemos pasar a un nuevo sistema de coordenadas ( coordenadas cartesianas ) definiendo las funciones $x (R, θ) = R cos(θ)$ e $y (R, θ) = R sin(θ)$ . Esto permite, dado cualquier punto $(R, θ)$ , encontrar las coordenadas cartesianas correspondientes $(x, y)$ . ¿Cuándo podemos volver atrás y convertir coordenadas cartesianas en polares? Según el ejemplo anterior, es suficiente tener $det J \neq 0$ , con $J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.$ Dado que $det J = R$ , la conversión de vuelta a coordenadas polares es posible si $R \neq 0.$ Por lo tanto, queda comprobar el caso $R = 0.$ Es fácil ver que en el caso $R = 0$ , nuestra transformación de coordenadas no es invertible: en el origen, el valor de θ no está bien definido.

Generalizaciones

versión espacial de Banach

Basándonos en el teorema de la función inversa en espacios de Banach , es posible extender el teorema de la función implícita a aplicaciones valuadas en espacios de Banach. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Sean X , Y , Z espacios de Banach . Sea la aplicación $f : X \times Y \to Z$ continuamente diferenciable en el sentido de Fréchet . Si $(x_{0},y_{0})\in X\times Y$ , $f(x_{0},y_{0})=0$ , y $y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)$ es un isomorfismo de espacios de Banach de Y sobre Z , entonces existen entornos U de x ₀ y V de y ₀ y una función diferenciable de Fréchet g : U → V tal que f ( x , g ( x )) = 0 y f ( x , y ) = 0 si y solo si y = g ( x ), para todo $(x,y)\in U\times V$ .

Funciones implícitas a partir de funciones no diferenciables

Existen diversas formas del teorema de la función implícita para el caso en que la función f no es diferenciable. Es estándar que la monotonicidad estricta local sea suficiente en una dimensión. ^{[ 7 ]} La siguiente forma más general fue demostrada por Kumagai basándose en una observación de Jittorntrum. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Consideremos una función continua $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ de tal manera que $f(x_{0},y_{0})=0$ . Si existen barrios abiertos $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ y $B\subset \mathbb {R} ^{m}$ de x ₀ e y ₀ , respectivamente, de tal manera que, para todo y en B , $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ Si a nivel local es uno a uno, entonces existen vecindarios abiertos. $A_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ y $B_{0}\subset \mathbb {R} ^{m}$ de x ₀ e y ₀ , de tal manera que, para todo $y\in B_{0}$ La ecuación f ( x , y ) = 0 tiene una solución única. $x=g(y)\in A_{0},$ donde g es una función continua de B ₀ en A ₀ .

Colectores colapsados

El teorema de colapso de Perelman para 3-variedades , la culminación de su demostración de la conjetura de geometrización de Thurston , puede entenderse como una extensión del teorema de la función implícita. ^{[ 10 ]}

Véase también

Teorema de la función inversa
Teorema del rango constante : Tanto el teorema de la función implícita como el teorema de la función inversa pueden considerarse casos especiales del teorema del rango constante.

Notas

↑ También conocido como teorema de Dini por la escuela pisana en Italia. En la literatura en inglés, el teorema de Dini se denomina teorema de análisis matemático.

Referencias

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↑ Krantz, Steven; Parks, Harold (2003). El teorema de la función implícita . Clásicos modernos de Birkhauser. Birkhauser. ISBN 0-8176-4285-4.
↑ de Oliveira, Oswaldo (2013). "Los teoremas de la función implícita e inversa: demostraciones sencillas". Real Anal. Exchange . 39 (1): 214– 216. arXiv : 1212.2066 . doi : 10.14321/realanalexch.39.1.0207 . S2CID 118792515 .
↑ Fritzsche, K.; Grauert, H. (2002). De funciones holomorfas a variedades complejas . Saltador. pag. 34.ISBN 9780387953953.
↑ Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York: Springer. págs. 15-21 . ISBN 0-387-98593-X.
↑ Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Cálculo avanzado de varias variables . Mineola, Nueva York: Dover Publications. págs. 417–418 . ISBN 0-486-68336-2.
↑ Kudryavtsev, Lev Dmitrievich (2001) [1994], "Función implícita" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
↑ Jittorntrum, K. (1978). "Un teorema de función implícita". Journal of Optimization Theory and Applications . 25 (4): 575– 577. doi : 10.1007/BF00933522 . S2CID 121647783 .
↑ Kumagai, S. (1980). "Un teorema de función implícita: Comentario". Journal of Optimization Theory and Applications . 31 (2): 285– 288. doi : 10.1007/BF00934117 . S2CID 119867925 .
^ Cao, Jianguo; Ge, Jian (2011). "Una prueba simple del teorema de colapso de Perelman para 3 variedades". J. Geom. Anal . 21 (4): 807–869 . arXiv : 1003.2215 . doi : 10.1007/s12220-010-9169-5 . S2CID 514106 .

11. Teorema generalizado de la función implícita. Revista de la Sociedad Matemática de Indonesia. DOI: 10.22.342 v3211.1551. Licencia CCBY-NC-ND-4.0. Analiza el teorema de la función implícita para X, un espacio topológico; Y, un espacio de Banach; y Z, un espacio vectorial topológico.

Lecturas adicionales

Allendoerfer, Carl B. (1974). «Teoremas sobre funciones diferenciables». Cálculo de varias variables y variedades diferenciables . Nueva York: Macmillan. pp. 54–88 . ISBN 0-02-301840-2.
Binmore, KG (1983). «Funciones implícitas» . Cálculo . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 198–211 . ISBN 0-521-28952-1.
Loomis, Lynn H.; Sternberg , Shlomo (1990). Cálculo avanzado ( Edición revisada). Boston: Jones and Bartlett. págs. 164–171 . ISBN 0-86720-122-3.
Protter, Murray H.; Morrey , Charles B. Jr. (1985). «Teoremas de funciones implícitas. Jacobianos» . Cálculo intermedio (2.ª ed.). Nueva York: Springer. págs. 390–420 . ISBN 0-387-96058-9.

[1] También conocido como teorema de Dini por la escuela pisana en Italia. En la literatura en inglés, el teorema de Dini se denomina teorema de análisis matemático.

[2] Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). McGraw-Hill. págs. 204–206 . ISBN 0-07-010813-7.

[3] Krantz, Steven; Parks, Harold (2003). El teorema de la función implícita . Clásicos modernos de Birkhauser. Birkhauser. ISBN 0-8176-4285-4.

[4] Oliveira, Oswaldo (2013). "Los teoremas de la función implícita e inversa: demostraciones sencillas". Real Anal. Exchange . 39 (1): 214– 216. arXiv : 1212.2066 . doi : 10.14321/realanalexch.39.1.0207 . S2CID 118792515 .

[5] Fritzsche, K.; Grauert, H. (2002). De funciones holomorfas a variedades complejas . Saltador. pag. 34.ISBN 9780387953953.

[6] Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York: Springer. págs. 15-21 . ISBN 0-387-98593-X.

[7] Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Cálculo avanzado de varias variables . Mineola, Nueva York: Dover Publications. págs. 417–418 . ISBN 0-486-68336-2.

[8] Kudryavtsev, Lev Dmitrievich (2001) [1994], "Función implícita" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[9] Jittorntrum, K. (1978). "Un teorema de función implícita". Journal of Optimization Theory and Applications . 25 (4): 575– 577. doi : 10.1007/BF00933522 . S2CID 121647783 .

[10] Kumagai, S. (1980). "Un teorema de función implícita: Comentario". Journal of Optimization Theory and Applications . 31 (2): 285– 288. doi : 10.1007/BF00934117 . S2CID 119867925 .

[11] Cao, Jianguo; Ge, Jian (2011). "Una prueba simple del teorema de colapso de Perelman para 3 variedades". J. Geom. Anal . 21 (4): 807–869 . arXiv : 1003.2215 . doi : 10.1007/s12220-010-9169-5 . S2CID 514106 .

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