Curva implícita

Un punto de curva${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$es regular si las primeras derivadas parciales${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})}$y${\ Displaystyle F_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}$no son ambos iguales a 0.

La ecuación de la recta tangente en un punto regular${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$es

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0,}$

por lo tanto la pendiente de la línea tangente, y por consiguiente la pendiente de la curva en ese punto, es

${\displaystyle {\text{pendiente}}=-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}.}$

Si${\displaystyle F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)}$en${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$la curva es vertical en ese punto, mientras que si ambos${\displaystyle F_{y}(x,y)=0}$y${\displaystyle F_{x}(x,y)=0}$En ese punto, la curva no es diferenciable, sino que se convierte en un punto singular , ya sea una cúspide o un punto donde la curva se interseca a sí misma.

Un vector normal a la curva en el punto viene dado por

${\displaystyle \mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}))}$

(aquí escrito como un vector fila).

Para facilitar la lectura de las fórmulas, los argumentos${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$se omiten. La curvatura${\displaystyle \kappa }$en un punto regular viene dado por la fórmula

${\displaystyle \kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}}$. ^{[ 1 ]}

El teorema de la función implícita garantiza dentro de un entorno de un punto${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$la existencia de una función${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle F(x,f(x))=0}$. Por la regla de la cadena , las derivadas de la función${\displaystyle f}$son

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}}$y${\displaystyle f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{F_{y}^{3}}}}$

(donde los argumentos${\displaystyle (x,f(x))}$(Los términos del lado derecho de la segunda fórmula se omiten para facilitar la lectura).

Insertando las derivadas de la función${\displaystyle f}$en las fórmulas para una tangente y curvatura de la gráfica de la ecuación explícita${\displaystyle y=f(x)}$rendimientos

${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$(tangente)

${\displaystyle \kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2}}}}$(curvatura).

La principal desventaja de una curva implícita es la falta de una forma sencilla de calcular puntos individuales, lo cual es necesario para la visualización de dicha curva (véase la siguiente sección).

1. Las representaciones implícitas facilitan el cálculo de puntos de intersección: si una curva se representa implícitamente y la otra paramétricamente, el cálculo de puntos de intersección solo necesita una iteración de Newton simple (1 dimensión), lo cual es contrario a los casos implícito-implícito y paramétrico-paramétrico (ver Intersección ).
2. Una representación implícita${\displaystyle F(x,y)=0}$da la posibilidad de separar puntos que no están en la curva por el signo de${\displaystyle F(x,y)}$Esto puede resultar útil, por ejemplo, al aplicar el método de la falsa posición en lugar de una iteración de Newton.
3. Es fácil generar curvas que sean casi geométricamente similares a la curva implícita dada.${\displaystyle F(x,y)=0,}$con solo añadir un pequeño número:${\displaystyle F(x,y)-c=0}$(véase la sección #Aproximaciones suaves ).

En CAD se utilizan curvas implícitas para la generación de curvas de fusión , ^{[ 2 ] [ 3 ]} que son curvas especiales que establecen una transición suave entre dos curvas dadas. Por ejemplo,

${\displaystyle F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0}$

genera curvas de fusión entre los dos círculos

${\displaystyle f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.}$

El método garantiza la continuidad de las tangentes y curvaturas en los puntos de contacto (véase el diagrama). Las dos líneas

${\displaystyle g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0}$

determinar los puntos de contacto en los círculos. Parámetro${\displaystyle \mu }$es un parámetro de diseño. En el diagrama,${\displaystyle \mu =0.05,\dotsc ,0.2}$.

Curvas equipotenciales de dos cargas puntuales iguales en los puntos${\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}$puede representarse mediante la ecuación

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}-c=0.}$

Las curvas son similares a los óvalos de Cassini , pero no son curvas de ese tipo.

Para la solución de ambas tareas mencionadas anteriormente es esencial contar con un programa informático (al que llamaremos${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$), que, cuando se le da un punto${\displaystyle Q_{0}=(x_{0},y_{0})}$cerca de una curva implícita, encuentra un punto${\displaystyle P}$Eso se ajusta exactamente a la curva, dentro de la precisión del cálculo:

(P1) para el punto de inicio es${\displaystyle j=0}$

(P2) repetir

${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_{x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}(x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\right).}$

( Paso de Newton para la función${\displaystyle g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{j})\right)\ .}$)

(P3) hasta que la distancia entre los puntos${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})}$es lo suficientemente pequeño.

(P4)${\displaystyle P=(x_{j+1},y_{j+1})}$es el punto de la curva cerca del punto de inicio${\displaystyle Q_{0}}$.

Para generar un polígono casi igualmente espaciado en la curva implícita, se elige una longitud de paso.${\displaystyle s}$y

(T1) elige un punto de partida adecuado en las proximidades de la curva.

(T2) determina un primer punto de la curva.${\displaystyle P_{1}}$utilizando el programa${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

(T3) determina la tangente (ver arriba), elige un punto de partida en la tangente usando la longitud del paso${\displaystyle s}$(véase el diagrama) y determina un segundo punto de la curva.${\displaystyle P_{2}}$utilizando el programa${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$.

${\displaystyle \cdots }$

Because the algorithm traces the implicit curve it is called a tracing algorithm. The algorithm traces only connected parts of the curve. If the implicit curve consists of several parts it has to be started several times with suitable starting points.

If the implicit curve consists of several or even unknown parts, it may be better to use a rasterisation algorithm. Instead of exactly following the curve, a raster algorithm covers the entire curve in so many points that they blend together and look like the curve.

(R1) Generate a net of points (raster) on the area of interest of the x-y-plane.

(R2) For every point ${\displaystyle P}$ in the raster, run the point algorithm ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$ starting from P, then mark its output.

If the net is dense enough, the result approximates the connected parts of the implicit curve. If for further applications polygons on the curves are needed one can trace parts of interest by the tracing algorithm.