Matemáticas de la elaboración de libros

La relación entre las probabilidades fraccionarias y decimales es un componente fundamental de la aritmética de las apuestas. Las probabilidades fraccionarias se expresan como${\displaystyle ab}$(o${\displaystyle a/b}$), donde un apostador ganador recibe su apuesta de vuelta más${\displaystyle a}$unidades por cada${\displaystyle b}$unidades apostadas. Probabilidades decimales (${\displaystyle D}$) representan un único valor mayor que 1, que indica el pago total por unidad apostada.

La fórmula para convertir probabilidades fraccionarias a probabilidades decimales es:

${\displaystyle D={\frac {a+b}{b}}}$

Por ejemplo, una apuesta de 40 libras esterlinas a 6 − 4 (fraccional) resulta en un pago de$40 £ + 60 £ = 100 £$. Las probabilidades decimales equivalentes son 2.5 (${\displaystyle 40\times 2.5=100}$). Por el contrario, las probabilidades fraccionarias de${\displaystyle a-1}$(dónde${\displaystyle b=1}$) se obtienen a partir de probabilidades decimales mediante${\displaystyle a=D-1}$.

Las probabilidades implícitas representan la probabilidad teórica de un resultado según lo sugieren las probabilidades citadas. Probabilidades fraccionarias de${\displaystyle ab}$corresponder a una probabilidad implícita (${\displaystyle P}$) de:

${\displaystyle P={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{D}}}$

Por ejemplo, las probabilidades de 6 a 4 corresponden a${\displaystyle {\frac {4}{6+4}}=0,4}$(40%). Una probabilidad implícita de${\displaystyle x}$está representado por probabilidades fraccionarias de${\displaystyle (1-x)/x}$Por lo tanto, una probabilidad de 0,2 se expresa como${\displaystyle (1-0.2)/0.2=4/1}$(4–1), con probabilidades decimales de${\displaystyle D=1/x}$.

Al considerar un partido de fútbol (el evento) que puede ser una "victoria local", un "empate" o una "victoria visitante" (los resultados), entonces se pueden encontrar las siguientes probabilidades para representar la probabilidad real de cada uno de los tres resultados:

Inicio: Pares

Empate: 2-1

Visitante: 5-1

Estas probabilidades pueden representarse como probabilidades implícitas (o porcentajes multiplicando por 100) de la siguiente manera:

Los números pares (o 1-1) corresponden a una probabilidad implícita de 1/2 ( 50 %) .

2-1 corresponde a una probabilidad implícita de 1/3 ( 33 1/3 % ) .

5-1 corresponde a una probabilidad implícita de 1/6 ( 16 2/3 % ) .

Al sumar los porcentajes, se obtiene un total de 100% (lo que representa una cuota justa ). La casa de apuestas reducirá estas cuotas para asegurar una ganancia. Consideremos el modelo más simple de reducción, que utiliza una disminución proporcional de las cuotas. Para el ejemplo anterior, las siguientes cuotas guardan la misma proporción con respecto a sus probabilidades implícitas (3:2:1):

Inicio: 4-6

Empate: 6-4

Visitante: 4-1

4-6 corresponde a una probabilidad implícita de 3/5 ( 60 %) .

6-4 corresponde a una probabilidad implícita de 2/5 ( 40 %) .

4-1 corresponde a una probabilidad implícita de 1/5 ( 20 %) .

Al sumar estos porcentajes, se obtiene un "libro" del 120%.

La cantidad en la que el margen real de la casa de apuestas supera el 100% se conoce como "sobremargen" ^{[ 1 ] : 96–104 [ 2 ] : 126–130} "margen de la casa de apuestas" ^{[ 4 ]} o " vigorish " o "vig" ^{[ 4 ]} y representa la ganancia esperada de la casa de apuestas. Así, en una situación "ideal", si la casa de apuestas acepta 120 £ en apuestas con sus propias cuotas cotizadas en la proporción correcta, pagará solo 100 £ (incluidas las apuestas devueltas) independientemente del resultado real del partido de fútbol. Examinando cómo potencialmente logra esto:

Una apuesta de 60,00 £ con una cuota de 4-6 reporta 100,00 £ (exactamente) por una victoria local.

Una apuesta de 40,00 £ con una cuota de 6-4 devuelve 100,00 £ (exactamente) en caso de empate.

Una apuesta de 20,00 £ con una cuota de 4 a 1 reporta 100,00 £ (exactamente) por una victoria del equipo visitante.

El total de apuestas recibidas asciende a 120,00 £ , con un premio máximo de 100,00 £ independientemente del resultado. Este beneficio de 20,00 £ representa un margen de beneficio del 16 2/3 % sobre la facturación (20,00/120,00). 

En realidad, las casas de apuestas utilizan modelos de reducción más complejos que este modelo de la situación "ideal".

El margen de las casas de apuestas en las ligas de fútbol inglesas disminuyó en los últimos años. ^{[ 5 ]} Un estudio de seis grandes casas de apuestas entre la temporada 2005/06 y la temporada 2017/2018 mostró que el margen promedio en la Premier League disminuyó del 9% al 4%, en la English Football League Championship , la English Football League One y la English Football League Two del 11% al 6%, y en la National League del 11% al 8%.

Para liquidar las apuestas ganadoras, se utilizan cuotas decimales o se suma una a las cuotas fraccionarias. Esto incluye la apuesta en la ganancia. La parte de colocación de las apuestas each-way se calcula por separado de la parte de ganador ; el método es idéntico, pero las cuotas se reducen según el factor de colocación del evento en particular (ver el ejemplo detallado de Accumulator a continuación). Todas las apuestas se consideran apuestas de "ganador" a menos que se indique específicamente "each-way". Todas muestran el uso de cuotas fraccionarias: reemplace (cuotas fraccionarias + 1) por cuotas decimales si se conocen las cuotas decimales. Los caballos que no corren se tratan como ganadores con cuotas fraccionarias de cero (cuotas decimales de 1). Las fracciones de peniques en las ganancias totales siempre son redondeadas a la baja por las casas de apuestas al penique más cercano. Los cálculos a continuación para apuestas múltiples dan como resultado que se muestren los totales para las categorías separadas (por ejemplo, dobles, triples, etc.), por lo que las ganancias totales pueden no ser exactamente las mismas que la cantidad recibida al usar el software informático disponible para las casas de apuestas para calcular las ganancias totales. ^{[ 1 ] : 138–147 [ 2 ] : 163–177}

Cuando un apostador combina más de una selección, por ejemplo, en una apuesta doble , triple o combinada , el margen de beneficio de cada selección se acumula. Esto perjudica al apostador en términos de rentabilidad financiera en comparación con las probabilidades reales de que todas las selecciones resulten ganadoras.

Por ejemplo, consideremos un doblete realizado al seleccionar a los ganadores de dos partidos de tenis:

En el partido 1 entre los jugadores A y B , se considera que ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar. La situación es la misma en el partido 2 entre los jugadores C y D. En una casa de apuestas justa en cada uno de sus partidos, es decir, cada uno con un margen del 100%, a todos los jugadores se les ofrecerían cuotas de 1 a 1. Sin embargo, una casa de apuestas probablemente ofrecería cuotas de 5 a 6 (por ejemplo) para cada uno de los dos resultados posibles en cada evento (cada partido de tenis). Esto resulta en un margen para cada uno de los partidos de tenis del 109,09%, calculado como 100 × ( 6/11 + 6/11 ), es decir, un margen del 9,09 % .

Al combinar los resultados de ambos partidos, existen cuatro posibles resultados: la pareja ganadora podría ser AC , AD , BC o BD . Dado que cada resultado de este ejemplo se ha elegido deliberadamente para garantizar que sean igualmente probables, la probabilidad de que ocurra cada uno es de 1/4 o 0,25 , y las probabilidades fraccionarias en contra de cada uno son de 3 a 1. Una apuesta de 100 unidades a cualquiera de las cuatro combinaciones produciría una ganancia de 100 × (3/1 + 1) = 400 unidades si resulta ganadora, lo que refleja unas probabilidades decimales de 4,0.

Las probabilidades decimales de una apuesta múltiple se calculan a menudo multiplicando las probabilidades decimales de las apuestas individuales. La idea es que, si los eventos son independientes , la probabilidad implícita debería ser el producto de las probabilidades implícitas de las apuestas individuales. En el caso anterior, con probabilidades fraccionarias de 5 − 6, las probabilidades decimales son 11 ⁄ 6. Por lo tanto, las probabilidades decimales de la apuesta doble son 11 ⁄ 6 × 11 ⁄ 6 = 1,833...×1,833... = 3,3611..., o probabilidades fraccionarias de 2,3611 − 1. Esto representa una probabilidad implícita del 29,752% (1/3,3611) y, al multiplicar por 4 (para cada una de las cuatro combinaciones de resultados igualmente probables), se obtiene un total del 119,01%. De este modo, la ganancia neta se ha duplicado ligeramente al combinar dos apuestas simples en una doble.        

En general, el sobregiro combinado en un doble ( OD ₎ , expresado como porcentaje, se calcula a partir de los libros individuales _{B1 y B2} , expresados ​​como decimales, mediante OD ₌ B1 _× B2 × 100 - 100. En _el ejemplo tenemos OD = 1,0909 × 1,0909 × 100 - 100 = 19,01 % .               

Este enorme aumento en las ganancias potenciales para la casa de apuestas (19% en lugar de 9% en un evento; en este caso, la apuesta doble) es la razón principal por la que las casas de apuestas pagan bonos por la selección acertada de ganadores en apuestas múltiples. Compárese, por ejemplo, ofrecer un bono del 25% por la elección correcta de cuatro ganadores de cuatro selecciones en una apuesta Yankee , cuando el margen de beneficio potencial en una apuesta cuádruple simple de carreras con cuotas individuales del 120% supera el 107% (una cuota del 207%). Por eso las casas de apuestas ofrecen apuestas como Lucky 15 , Lucky 31 y Lucky 63 , que ofrecen el doble de cuotas por un ganador y bonos porcentuales crecientes por dos, tres o más ganadores.

En general, para cualquier apuesta combinada de dos a i selecciones, el porcentaje combinado de sobregiro de los libros de B ₁ , B ₂ , ..., B _i dado en términos decimales, se calcula como B ₁ × B ₂ × ... × B _i × 100 - 100. Por ejemplo, la apuesta cuádruple mencionada anteriormente que consta de libros individuales del 120% (1.20) da un sobregiro de 1.20 × 1.20 × 1.20 × 1.20 × 100 − 100 = 107.36%.

Trixie, Yankee, Canadian , Heinz , Super Heinz y Goliath forman una familia de apuestas conocidas como apuestas de cobertura total , que incluyen todas las combinaciones posibles. Arriba se muestran ejemplos de apuestas ganadoras de Trixie y Yankee . Las demás apuestas se calculan de forma similar, considerando todas las combinaciones posibles de selecciones en sus múltiples. Nota: Una apuesta doble puede considerarse una apuesta de cobertura total con solo dos selecciones.

Si una selección en una de estas apuestas no gana, entonces los ganadores restantes se tratan como una apuesta totalmente exitosa en el siguiente "miembro de la familia". Por ejemplo, solo dos ganadores de tres en una Trixie significa que la apuesta se liquida como doble; solo cuatro ganadores de cinco en una Canadian significa que se liquida como Yankee ; solo cinco ganadores de ocho en una Goliath significa que se liquida como Canadian . La parte de colocación de las apuestas each-way se calcula por separado utilizando cuotas de colocación reducidas. Por lo tanto, una Super Heinz each-way en siete caballos con tres ganadores y otros dos caballos colocados se liquida como una Trixie ganadora y una Canadian colocada . Prácticamente todas las casas de apuestas utilizan software informático para facilitar, acelerar y precisar el cálculo para la liquidación de apuestas múltiples.

Las apuestas Patent, Lucky 15 , Lucky 31 , Lucky 63 y Lucky superiores forman una familia de apuestas conocida como apuestas de cobertura total con apuestas simples , que incluyen todas las combinaciones posibles de selecciones, junto con apuestas simples en todas las selecciones. Arriba se muestra un ejemplo de una apuesta Patent ganadora . Las demás apuestas mencionadas se calculan de forma similar, considerando todas las combinaciones posibles de selecciones en sus apuestas múltiples y simples.

Si una selección en una de estas apuestas no gana, entonces los ganadores restantes se tratan como una apuesta totalmente exitosa en el siguiente "miembro de la familia" en la lista. Por ejemplo, solo dos ganadores de tres en un Patent significa que la apuesta se liquida como un doble y dos simples; solo tres ganadores de cuatro en un Lucky 15 significa que se liquida como un Patent ; solo cuatro ganadores de seis en un Lucky 63 significa que se liquida como un Lucky 15. La parte de lugar de las apuestas each-way se calcula por separado utilizando cuotas de lugar reducidas. Por lo tanto, un each-way Lucky 63 en seis caballos con tres ganadores y otros dos caballos colocados se liquida como un Win Patent y un Place Lucky 31 .

Para una Patente (tres selecciones que incluyen simples, dobles y un agudo), el OM se deriva de la expansión de${\displaystyle (a+1)(b+1)(c+1)}$, lo cual es igual a${\displaystyle abc+ab+ac+bc+a+b+c+1}$. De este modo:

${\displaystyle OM_{Patente}=(a+1)(b+1)(c+1)-1}$

Para un Yankee (cuatro selecciones excluyendo sencillos), la fórmula se ajusta para restar las selecciones individuales:

${\displaystyle OM_{Yankee}=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)-1-(a+b+c+d)}$

Para apuestas especializadas que involucran condiciones "Any-To-Come" (ATC) o "Up and Down", el OM tiene en cuenta la posibilidad de volver a apostar las ganancias en diferentes selecciones:

Arriba y abajo (2 selecciones):

• ${\displaystyle OM_{2winners}=2(a+b-1)}$
• ${\displaystyle OM_{1ganador}=a-1}$

Ronda de selecciones (3 selecciones):

• ${\displaystyle OM_{3winners}=(a+1)(b+1)(c+1)+3(a+b+c)-7}$
• ${\displaystyle OM_{2winners}=ab+3(a+b)-4}$
• ${\displaystyle OM_{1ganador}=2(a-1)}$

Bandera (4 selecciones):

• ${\displaystyle OM_{4winners}=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)+5(a+b+c+d)-13}$
• ${\displaystyle OM_{3winners}=(a+1)(b+1)(c+1)+4(a+b+c)-10}$
• ${\displaystyle OM_{2winners}=ab+4(a+b)-6}$
• ${\displaystyle OM_{1ganador}=3(a-1)}$

El cambio de las casas de apuestas tradicionales a las plataformas en línea, como bet365 , Betfair y Pinnacle Sports , ha redefinido el papel de la casa de apuestas como creadora de mercado activa . En los entornos en línea, las cuotas ya no son estáticas; se actualizan continuamente en respuesta a las apuestas entrantes y a la información cambiante del mercado. Este entorno dinámico suele modelarse utilizando marcos de aprendizaje en línea y toma de decisiones secuencial , donde la casa debe equilibrar la maximización de beneficios con la necesidad de gestionar la exposición al riesgo en tiempo real.

Investigaciones matemáticas recientes han explorado diversos enfoques algorítmicos para la creación de apuestas en línea:

• Modelado Minimax Adversario : Este marco modela las apuestas como un juego repetido entre la casa y un jugador adversario que representa el mercado agregado. La configuración normalmente implica un evento con${\displaystyle K}$posibles resultados y un horizonte temporal de${\displaystyle T}$rondas de apuestas. En cada ronda${\displaystyle t\in \{1,\dots ,T\}}$La casa de apuestas ofrece una serie de pagos y el mercado responde realizando una apuesta. El objetivo de la casa es minimizar su pérdida máxima , o arrepentimiento , independientemente del resultado final o de la estrategia del apostador. ^{[ 6 ]}
• Control estocástico : Algunos modelos tratan la llegada de apuestas como un proceso de Poisson . El corredor de apuestas busca maximizar la utilidad esperada de su capital a lo largo del tiempo ajustando las cuotas en función del inventario actual y la intensidad de las apuestas entrantes mediante control estocástico y la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman . ^{[ 7 ]}
• Beneficio frente a predicción : Otros estudios analizan la disyuntiva entre maximizar el beneficio de las casas de apuestas y obtener información precisa, como en los mercados de predicción . Mientras que los mercados de predicción buscan la eficiencia de precios, las casas de apuestas con fines de lucro suelen maximizar sus ganancias explotando las desviaciones entre la probabilidad real de un evento y la distribución de las creencias de los apostadores. ^{[ 8 ]}

En las apuestas algorítmicas, el arrepentimiento mide la diferencia entre el pago real de la casa después de${\displaystyle T}$rondas y el pago que habría obtenido si hubiera conocido la distribución total de las apuestas a posteriori.

• Límites de arrepentimiento : Para un evento con${\displaystyle K}$resultados y${\displaystyle T}$rondas de apuestas, un algoritmo de precios óptimo puede asegurar que el arrepentimiento de la casa crezca a un ritmo de${\displaystyle O({\sqrt {T}})}$.
• Conexión con los polinomios de Hermite : El factor de escala para el arrepentimiento óptimo de las apuestas está fundamentalmente vinculado a los polinomios de Hermite . Específicamente, para cualquier evento con${\displaystyle K}$posibles resultados, el factor de escala asintótico del arrepentimiento del corredor de apuestas está determinado por la raíz más grande de la${\displaystyle K}$Polinomio de Hermite probabilístico -ésimo. ^{[ 9 ]}

Si bien las estrategias minimax protegen contra el jugador que, en el peor de los casos, apuesta todo su capital a un solo resultado (apuesta decisiva), las apuestas en el mercado real suelen distribuirse entre múltiples resultados. Los algoritmos modernos utilizan estrategias oportunistas para aprovechar estos patrones de apuestas subóptimos y no decisivos.

• Frontera de Bellman-Pareto : El algoritmo rastrea un vector de estado de pagos comprometidos. Al caracterizar la frontera de Bellman - Pareto (el conjunto de todos los vectores de pagos futuros que no se pueden mejorar para un resultado sin empeorar otro), la casa puede ajustar dinámicamente las probabilidades para obtener ganancias adicionales cuando las apuestas están mal distribuidas.
• Mecanismo de llenado de agua : Este enfoque funciona de manera similar a un algoritmo de llenado de agua ; cuando los apostadores realizan apuestas no decisivas, el algoritmo reduce el "nivel de agua" (el pago máximo garantizado en todos los resultados), lo que permite a la casa superar el límite teórico del peor caso. ^{[ 9 ]}