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Importance sampling

Importance sampling is a Monte Carlo method for evaluating properties of a particular distribution , while only having samples generated from a different distribution than the d...

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Importance sampling is a Monte Carlo method for evaluating properties of a particular distribution, while only having samples generated from a different distribution than the distribution of interest. Its introduction in statistics is generally attributed to a paper by Teun Kloek and Herman K. van Dijk in 1978,[1] but its precursors can be found in statistical physics as early as 1949.[2][3] Importance sampling is also related to umbrella sampling in computational physics. Depending on the application, the term may refer to the process of sampling from this alternative distribution, the process of inference, or both.

Basic theory

Let X:Ω→R{\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } be a random variable in some probability space(Ω,F,P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}. We wish to estimate the expected value of X{\displaystyle X} under P{\displaystyle \mathbb {P} }, denoted EP[X]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]}. If we have statistically independent random samples X1,…,Xn{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}, generated according to P{\displaystyle \mathbb {P} }, then an empirical estimate of EP[X]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]} is just

E^P[X]=1n∑i=1nXiwhereXi∼P(X){\displaystyle {\widehat {\mathbb {E} }}_{\mathbb {P} }[X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\quad \mathrm {donde} \;X_{i}\sim \mathbb {P} (X)}

and the precision of this estimate depends on the variance of X{\displaystyle X}:

varP⁡[E^P[X]]=varP⁡[X]n.{\displaystyle \operatorname {var} _{\mathbb {P} }{\big [}{\widehat {\mathbb {E} }}_{\mathbb {P} }[X]{\big ]}={\frac {\operatorname {var} _{\mathbb {P} }[X]}{n}}.}

The basic idea of importance sampling is to sample from a different distribution to lower the variance of the estimation of EP[X]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]}, or when sampling directly from P{\displaystyle \mathbb {P} } is difficult.

This is accomplished by first choosing a random variable Y≥0{\displaystyle Y\geq 0} such that EP[Y]=1{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[Y]=1} and that P{\displaystyle \mathbb {P} }-almost everywhereY(ω)≠0{\displaystyle Y(\omega )\neq 0}. With the variable Y{\displaystyle Y} we define a probability Q{\displaystyle \mathbb {Q} } that satisfies

EP[X]=EQ[XY].{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {Q} }\left[{\frac {X}{Y}}\right].}

The variable X/Y{\displaystyle X/Y} will thus be sampled under Q{\displaystyle \mathbb {Q} } to estimate EP[X]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]} as above and this estimation is improved when

varQ⁡[XY]<varP⁡[X].{\displaystyle \operatorname {var} _{\mathbb {Q} }\left[{\frac {X}{Y}}\right]<\operatorname {var} _{\mathbb {P} }[X].}

When X{\displaystyle X} is of constant sign over Ω{\displaystyle \Omega }, the best variable Y{\displaystyle Y} would clearly be Y∗=XEP[X]≥0{\displaystyle Y^{*}={\frac {X}{\mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]}}\geq 0}, so that X/Y∗{\displaystyle X/Y^{*}} is the searched constant EP[X]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]} and a single sample under Q∗{\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}} suffices to give its value. Unfortunately we cannot take that choice, because EP[X]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]} is precisely the value we are looking for! However this theoretical best case Y∗{\displaystyle Y^{*}} gives us an insight into what importance sampling does: for all x∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }, the density of Q∗{\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}} at X=x{\displaystyle X=x} can be written as

Q∗(X∈[x;x+dx])=∫ω∈{X∈[x;x+dx]}X(ω)EP[X]dP(ω)=1EP[X]xP(X∈[x;x+dx]).{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ^{*}{\big (}X\in [x;x+dx]{\big )}&=\int _{\omega \in \{X\in [x;x+dx]\}}{\frac {X(\omega )}{\mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]}}\,d\mathbb {P} (\omega )\\[6pt]&={\frac {1}{\mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]}}\;x\,\mathbb {P} (X\in [x;x+dx]).\end{aligned}}}

To the right, xP(X∈[x;x+dx]){\displaystyle x\,\mathbb {P} (X\in [x;x+dx])} is one of the infinitesimal elements that sum up to EP[X]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]}:

EP[X]=∫−∞+∞xP(X∈[x;x+dx]){\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]=\int _{-\infty }^{+\infty }x\,\mathbb {P} (X\in [x;x+dx])}

therefore, a good probability change Q{\displaystyle \mathbb {Q} } in importance sampling will redistribute the law of X{\displaystyle X} so that its samples' frequencies are sorted directly according to their contributions in EP[X]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]} as opposed to EP[1]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[1]}. Hence the name "importance sampling."

Importance sampling is often used as a Monte Carlo integrator. When P{\displaystyle \mathbb {P} } is the uniform distribution over Ω=R{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }, the expectation EP[X]{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} }[X]} corresponds to the integral of the real function X:R→R{\displaystyle X\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }.

Application to probabilistic inference

Estos métodos se utilizan frecuentemente para estimar densidades o expectativas posteriores en problemas de estimación de estado y/o parámetros en modelos probabilísticos que son demasiado difíciles de tratar analíticamente. Algunos ejemplos incluyen redes bayesianas y autoencoders variacionales ponderados por importancia . [ 4 ]

Aplicación a la simulación

El muestreo por importancia es una técnica de reducción de varianza que se puede utilizar en el método de Monte Carlo . La idea detrás del muestreo por importancia es que ciertos valores de las variables aleatorias de entrada en una simulación tienen mayor impacto en el parámetro que se está estimando que otros. Si estos valores " importantes " se enfatizan mediante un muestreo más frecuente, entonces se puede reducir la varianza del estimador . Por lo tanto, la metodología básica del muestreo por importancia consiste en elegir una distribución que "fomente" los valores importantes. El uso de distribuciones "sesgadas" dará como resultado un estimador sesgado si se aplica directamente en la simulación. Sin embargo, los resultados de la simulación se ponderan para corregir el uso de la distribución sesgada, lo que garantiza que el nuevo estimador de muestreo por importancia sea insesgado. La ponderación viene dada por la razón de verosimilitud , es decir, la derivada de Radon-Nikodym de la verdadera distribución subyacente con respecto a la distribución de simulación sesgada.

El problema fundamental en la implementación de la simulación por muestreo de importancia radica en la elección de la distribución sesgada que favorece las regiones importantes de las variables de entrada. Elegir o diseñar una buena distribución sesgada es el "arte" del muestreo de importancia. Las ventajas de una buena distribución pueden traducirse en un ahorro considerable de tiempo de ejecución; las desventajas de una mala distribución pueden ser tiempos de ejecución mayores que los de una simulación de Monte Carlo convencional sin muestreo de importancia.

Considerarincógnita{\displaystyle X}ser la muestra yF(incógnita)gramo(incógnita){\displaystyle {\frac {f(X)}{g(X)}}}ser la razón de verosimilitud, dondeF{\displaystyle f}es la función de densidad de probabilidad (masa) de la distribución deseada ygramo{\displaystyle g}es la función de densidad de probabilidad (masa) de la distribución sesgada/propuesta/muestra. Entonces el problema se puede caracterizar eligiendo la distribución muestral.gramo{\displaystyle g}que minimiza la varianza de la muestra escalada:

gramo∗=mingramovargramo⁡(incógnitaF(incógnita)gramo(incógnita)).{\displaystyle g^{*}=\min _{g}\operatorname {var} _{g}\left(X{\frac {f(X)}{g(X)}}\right).}

Se puede demostrar que la siguiente distribución minimiza la varianza anterior: [ 5 ]

gramo∗(incógnita)=|incógnita|F(incógnita)∫|incógnita|F(incógnita)dincógnita.{\displaystyle g^{*}(X)={\frac {|X|f(X)}{\int |x|f(x)\,dx}}.}

Observa que cuandoincógnita≥0{\displaystyle X\geq 0}, esta varianza se convierte en 0.

Enfoque matemático

Considere estimar mediante simulación la probabilidadpagt{\displaystyle p_{t}\,}de un eventoincógnita≥t{\displaystyle X\geq t}, dóndeincógnita{\displaystyle X}es una variable aleatoria con función de distribución acumulativaF(incógnita){\displaystyle F(x)}y función de densidad de probabilidadF(incógnita)=F′(incógnita){\displaystyle f(x)=F'(x)\,}, donde prima denota derivada . AK{\displaystyle K}-secuencia independiente de la longitud e idénticamente distribuida (iid)incógnitai{\displaystyle X_{i}\,}se genera a partir de la distribuciónF{\displaystyle F}y el númerokt{\displaystyle k_{t}}de variables aleatorias que se encuentran por encima del umbralt{\displaystyle t}se cuentan. La variable aleatoriakt{\displaystyle k_{t}}Se caracteriza por la distribución binomial.

PAG(kt=k)=(Kk)pagtk(1−pagt)K−k,k=0,1,…,K.{\displaystyle P(k_{t}=k)={K \choose k}p_{t}^{k}(1-p_{t})^{K-k},\,\quad \quad k=0,1,\dots ,K.}

Se puede demostrar quemi[kt/K]=pagt{\displaystyle \mathbb {E} [k_{t}/K]=p_{t}}, yvar⁡[kt/K]=pagt(1−pagt)/K{\displaystyle \operatorname {var} [k_{t}/K]=p_{t}(1-p_{t})/K}, así que en el límiteK→∞{\displaystyle K\to \infty }podemos obtenerpagt{\displaystyle p_{t}}. Tenga en cuenta que la varianza es baja sipagt≈1{\displaystyle p_{t}\approx 1}El muestreo por importancia se ocupa de la determinación y el uso de una función de densidad alternativa.F∗{\displaystyle f_{*}\,}(paraincógnita{\displaystyle X}), generalmente denominada densidad de polarización, para el experimento de simulación. Esta densidad permite el eventoincógnita≥t {\displaystyle {X\geq t\ }}para ocurrir con mayor frecuencia, por lo que las longitudes de las secuenciasK{\displaystyle K}se vuelve más pequeño para una varianza de estimador dada . Alternativamente, para una dadaK{\displaystyle K}, el uso de la densidad de sesgo da como resultado una varianza menor que la de la estimación convencional de Monte Carlo. A partir de la definición depagt{\displaystyle p_{t}\,}, podemos presentarF∗{\displaystyle f_{*}\,}como se indica a continuación.

pagt=mi[1{incógnita≥t}]=∫1{incógnita≥t}F(incógnita)F∗(incógnita)F∗(incógnita)dincógnita=mi∗[1{incógnita≥t}W(incógnita)]{\displaystyle {\begin{aligned}p_{t}&=\mathbb {E} [1_{\{X\geq t\}}]\\[6pt]&=\int 1_{\{x\geq t\}}{\frac {f(x)}{f_{*}(x)}}f_{*}(x)\,dx\\[6pt]&=\mathbb {E} _{*}[1_{\{X\geq t\}}W(X)]\end{aligned}}}

dónde

W(⋅)≡F(⋅)F∗(⋅){\displaystyle W(\cdot )\equiv {\frac {f(\cdot )}{f_{*}(\cdot )}}}

es una razón de verosimilitud y se denomina función de ponderación. La última igualdad en la ecuación anterior motiva al estimador.

pag^t=1K∑i=1K1{incógnitai≥t}W(incógnitai),incógnitai∼F∗{\displaystyle {\hat {p}}_{t}={\frac {1}{K}}\,\sum _{i=1}^{K}1_{\{X_{i}\geq t\}}W(X_{i}),\,\quad \quad X_{i}\sim f_{*}}

Este es el estimador de muestreo de importancia depagt{\displaystyle p_{t}\,}y es imparcial. Es decir, el procedimiento de estimación consiste en generar muestras i.i.d. a partir deF∗{\displaystyle f_{*}\,}y por cada muestra que excedat{\displaystyle t\,}, la estimación se incrementa por el pesoW{\displaystyle W\,}evaluado en el valor de la muestra. Los resultados se promedian sobreK{\displaystyle K\,}ensayos. Se demuestra fácilmente que la varianza del estimador de muestreo de importancia es

var∗⁡pag^t=1Kvar∗⁡[1{incógnitai≥t}W(incógnita)]=1K{mi∗[1{incógnitai≥t}2W2(incógnita)]−pagt2}=1K{mi[1{incógnitai≥t}W(incógnita)]−pagt2}{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} _{*}{\widehat {p}}_{t}&={\frac {1}{K}}\operatorname {var} _{*}[1_{\{X_{i}\geq t\}}W(X)]\\[5pt]&={\frac {1}{K}}\left\{\mathbb {E} _{*}[1_{\{X_{i}\geq t\}}^{2}W^{2}(X)]-p_{t}^{2}\right\}\\[5pt]&={\frac {1}{K}}\left\{\mathbb {E} [1_{\{X_{i}\geq t\}}W(X)]-p_{t}^{2}\right\}\end{aligned}}}

Ahora bien, el problema del muestreo de importancia se centra entonces en encontrar una densidad de sesgo.F∗{\displaystyle f_{*}\,}De tal manera que la varianza del estimador de muestreo por importancia sea menor que la varianza de la estimación general de Monte Carlo. Para alguna función de densidad de sesgo que minimiza la varianza y, bajo ciertas condiciones, la reduce a cero, se la denomina función de densidad de sesgo óptima.

Métodos de sesgo convencionales

Aunque existen muchos tipos de métodos de sesgo, los dos siguientes son los más utilizados en las aplicaciones del muestreo por importancia.

Escalada

Desplazamiento de la masa de probabilidad hacia la región del eventoincógnita≥t {\displaystyle {X\geq t\ }}mediante escalamiento positivo de la variable aleatoriaincógnita{\displaystyle X\,}Un valor mayor que la unidad tiene el efecto de aumentar la varianza (y también la media) de la función de densidad. Esto resulta en una cola más pesada de la densidad, lo que conlleva un aumento en la probabilidad del evento. El escalado es probablemente uno de los métodos de sesgo más antiguos que se conocen y se ha utilizado ampliamente en la práctica. Es sencillo de implementar y, por lo general, proporciona ganancias de simulación conservadoras en comparación con otros métodos.

En el muestreo de importancia por escalado, la densidad de simulación se elige como la función de densidad de la variable aleatoria escalada.aincógnita{\displaystyle aX\,}donde normalmentea>1{\displaystyle a>1}para la estimación de la probabilidad de cola. Mediante transformación,

F∗(incógnita)=1aF(incógnitaa){\displaystyle f_{*}(x)={\frac {1}{a}}f{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}\,}

y la función de ponderación es

W(incógnita)=aF(incógnita)F(incógnita/a){\displaystyle W(x)=a{\frac {f(x)}{f(x/a)}}\,}

Si bien el escalado desplaza la masa de probabilidad hacia la región de eventos deseada, también empuja la masa hacia la región complementaria.incógnita<t{\displaystyle X<t\,}lo cual es indeseable. Siincógnita{\displaystyle X\,}es una suma denorte{\displaystyle n\,}variables aleatorias, la propagación de la masa tiene lugar en unnorte{\displaystyle n\,}espacio dimensional. La consecuencia de esto es una ganancia de muestreo de importancia decreciente para un espacio dimensional creciente.norte{\displaystyle n\,}y se denomina efecto de dimensionalidad. Una versión moderna del muestreo de importancia por escalado es, por ejemplo, el llamado muestreo sigma-escalado (SSS), que consiste en realizar múltiples análisis de Monte Carlo (MC) con diferentes factores de escala. A diferencia de muchos otros métodos de estimación de alto rendimiento (como las distancias del peor caso, WCD), el SSS no se ve muy afectado por el problema de la dimensionalidad. Además, el uso de múltiples resultados de MC no degrada la eficiencia. Por otro lado, al igual que WCD, el SSS solo está diseñado para variables estadísticas gaussianas y, a diferencia de WCD, el método SSS no está diseñado para proporcionar esquinas estadísticas precisas. Otra desventaja del SSS es que las ejecuciones de MC con factores de escala grandes pueden volverse difíciles, por ejemplo, debido a problemas de convergencia del modelo y del simulador. Además, en el SSS nos enfrentamos a una fuerte compensación entre sesgo y varianza: utilizando factores de escala grandes, obtenemos resultados de rendimiento bastante estables, pero cuanto mayores sean los factores de escala, mayor será el error de sesgo. Si las ventajas del SSS no son muy importantes en la aplicación de interés, entonces a menudo otros métodos son más eficientes.

Traducción

Otra técnica de sesgo simple y efectiva emplea la traslación de la función de densidad (y por lo tanto de la variable aleatoria) para colocar gran parte de su masa de probabilidad en la región de eventos raros. La traslación no sufre un efecto de dimensionalidad y se ha utilizado con éxito en varias aplicaciones relacionadas con la simulación de sistemas de comunicación digital . A menudo proporciona mejores ganancias de simulación que el escalado. En el sesgo por traslación, la densidad de simulación viene dada por

F∗(incógnita)=F(incógnita−do),do>0{\displaystyle f_{*}(x)=f(x-c),\quad c>0\,}

dóndedo{\displaystyle c\,}es la magnitud del desplazamiento y debe elegirse para minimizar la varianza del estimador de muestreo de importancia.

Efectos de la complejidad del sistema

El problema fundamental del muestreo por importancia es que diseñar buenas distribuciones sesgadas se vuelve más complicado a medida que aumenta la complejidad del sistema. Los sistemas complejos son aquellos con memoria a largo plazo, ya que el procesamiento complejo de pocas entradas es mucho más fácil de manejar. Esta dimensionalidad o memoria puede causar problemas de tres maneras:

En principio, las ideas del muestreo por importancia se mantienen en estas situaciones, pero el diseño se vuelve mucho más complejo. Un enfoque eficaz para combatir este problema consiste básicamente en dividir la simulación en varios subproblemas más pequeños y mejor definidos. A continuación, se utilizan estrategias de muestreo por importancia para abordar cada uno de estos subproblemas más sencillos. Ejemplos de técnicas para dividir la simulación son el condicionamiento, la simulación de eventos de error (EES) y la simulación regenerativa.

Evaluación del muestreo de importancia

Para identificar técnicas exitosas de muestreo por importancia, es útil poder cuantificar el ahorro de tiempo de ejecución debido al uso del enfoque de muestreo por importancia. La medida de rendimiento comúnmente utilizada esσMETROdo2/σIS2{\displaystyle \sigma _{MC}^{2}/\sigma _{IS}^{2}\,}Esto puede interpretarse como el factor de aceleración mediante el cual el estimador de muestreo por importancia alcanza la misma precisión que el estimador MC. Esto debe calcularse empíricamente, ya que es improbable que las varianzas del estimador sean analíticamente posibles cuando su media es intratable. Otros conceptos útiles para cuantificar un estimador de muestreo por importancia son los límites de la varianza y la noción de eficiencia asintótica. Una medida relacionada es el llamado Tamaño Efectivo de la Muestra (ESS) . [ 6 ]

Función de costo de varianza

La varianza no es la única función de coste posible para una simulación, y otras funciones de coste, como la desviación absoluta media, se utilizan en diversas aplicaciones estadísticas. Sin embargo, la varianza es la principal función de coste abordada en la literatura, probablemente debido a su uso en intervalos de confianza y en la medición del rendimiento.σMETROdo2/σIS2{\displaystyle \sigma _{MC}^{2}/\sigma _{IS}^{2}\,}.

Un problema asociado es el hecho de que la proporciónσMETROdo2/σIS2{\displaystyle \sigma _{MC}^{2}/\sigma _{IS}^{2}\,}Se sobreestima el ahorro en tiempo de ejecución debido al muestreo por importancia, ya que no se incluye el tiempo de cálculo adicional necesario para computar la función de ponderación . Por lo tanto, algunas personas evalúan la mejora neta en el tiempo de ejecución mediante diversos métodos. Quizás un inconveniente más importante del muestreo por importancia sea el tiempo que se requiere para diseñar y programar la técnica y derivar analíticamente la función de ponderación deseada.

Muestreo de importancia múltiple y adaptativo

Cuando se presentan diferentes distribuciones de propuestas,gramoi(incógnita){\displaystyle g_{i}(x)},i=1,…,norte,{\displaystyle i=1,\ldots ,n,}se utilizan conjuntamente para la extracción de las muestrasincógnita1,…,incógnitanorte,{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}Se pueden emplear diferentes funciones de ponderación adecuadas (por ejemplo, véase [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] ). En un entorno adaptativo, las distribuciones de propuesta,gramoi,t(incógnita){\displaystyle g_{i,t}(x)},i=1,…,norte,{\displaystyle i=1,\ldots ,n,}yt=1,…,T,{\displaystyle t=1,\ldots ,T,}se actualizan en cada iteraciónt{\displaystyle t}del algoritmo de muestreo de importancia adaptativa. Por lo tanto, dado que se utiliza una población de densidades de propuesta, se pueden emplear varias combinaciones adecuadas de esquemas de muestreo y ponderación. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Kloek, T.; van Dijk, HK (1978). "Estimaciones bayesianas de parámetros de sistemas de ecuaciones: una aplicación de la integración por Monte Carlo" (PDF) . Econometrica . 46 (1): 1– 19. doi : 10.2307/1913641 . JSTOR 1913641 . 
  2. ↑ Goertzle, G. (1949). "Muestreo por cuotas y funciones de importancia en la solución estocástica de problemas de partículas". Informe técnico ORNL-434, Laboratorio Nacional de Oak Ridge . Aecd; 2793. hdl : 2027/mdp.39015086443671 .
  3. ↑ Kahn, H. ; Harris, TE (1949). "Estimación de la transmisión de partículas mediante muestreo aleatorio". Método de Monte Carlo . Serie de Matemáticas Aplicadas. 12. Oficina Nacional de Estándares: 27–30 .
  4. ↑ Burda, Yuri; Grosse, Roger; Salakhutdinov, Ruslan (2016). "Autoencoders ponderados por importancia". Actas de la 4.ª Conferencia Internacional sobre Representaciones de Aprendizaje . arXiv : 1509.00519 .
  5. ↑ Rubinstein, RY, & Kroese, DP (2011). Simulación y el método de Monte Carlo (Vol. 707). John Wiley & Sons.
  6. ↑ Martino, Luca; Elvira, Víctor; Louzada, Francisco (2017). "Tamaño de muestra efectivo para muestreo de importancia basado en medidas de discrepancia". Procesamiento de señales . 131 : 386–401 . arXiv : 1602.03572 . Bibcode : 2017SigPr.131..386M . doi : 10.1016/j.sigpro.2016.08.025 . S2CID 26317735 . 
  7. ↑ Veach, Eric; Guibas, Leonidas J. (1995-01-01). "Combinación óptima de técnicas de muestreo para la representación Monte Carlo" . Actas de la 22.ª conferencia anual sobre gráficos por computadora y técnicas interactivas - SIGGRAPH '95 . Nueva York, NY, EE. UU.: ACM. págs. 419–428 . CiteSeerX 10.1.1.127.8105 . doi : 10.1145/218380.218498 . ISBN   978-0-89791-701-8. S2CID 207194026 . 
  8. ↑ Owen, Art; Asociado, Yi Zhou (2000-03-01). "Muestreo de importancia seguro y eficaz". Journal of the American Statistical Association . 95 (449): 135– 143. CiteSeerX 10.1.1.36.4536 . doi : 10.1080/01621459.2000.10473909 . ISSN 0162-1459 . S2CID 119761472 .   
  9. ↑ Elvira, V.; Martino, L.; Luengo, D.; Bugallo, MF (2015-10-01). "Estimadores eficientes de muestreo de importancia múltiple". IEEE Signal Processing Letters . 22 (10): 1757– 1761. arXiv : 1505.05391 . Bibcode : 2015ISPL...22.1757E . doi : 10.1109/LSP.2015.2432078 . ISSN 1070-9908 . S2CID 14504598 .  
  10. ↑ Elvira, Víctor; Martín, Luca; Luengo, David; Bugallo, Mónica F. (2017). "Mejora de la población de Montecarlo: esquemas alternativos de ponderación y remuestreo". Procesamiento de señales . 131 : 77– 91. arXiv : 1607.02758 . Código Bib : 2017SigPr.131...77E . doi : 10.1016/j.sigpro.2016.07.012 . S2CID 205171823 . 
  11. ↑ Cappé, O.; Guillin, A.; Marin, JM; Robert, CP (2004-12-01). "Monte Carlo poblacional". Journal of Computational and Graphical Statistics . 13 (4): 907– 929. doi : 10.1198/106186004X12803 . ISSN 1061-8600 . S2CID 119690181 .  
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  13. ↑ Cappé, Olivier; Douc, Randal; Guillin, Arnaud; Marin, Jean-Michel; Robert, Christian P. (2008-04-25). "Muestreo de importancia adaptativo en clases de mezcla generales". Statistics and Computing . 18 (4): 447– 459. arXiv : 0710.4242 . doi : 10.1007/s11222-008-9059-x . ISSN 0960-3174 . S2CID 483916 .  
  14. ^ Cornuet, Jean-Marie; Marín, Jean-Michel; Mira, Antonieta ; Robert, Christian P. (1 de diciembre de 2012). "Muestreo adaptativo de importancia múltiple". Revista escandinava de estadística . 39 (4): 798–812 . arXiv : 0907.1254 . doi : 10.1111/j.1467-9469.2011.00756.x . ISSN 1467-9469 . S2CID 17191248 .  
  15. ↑ Martino, L.; Elvira, V.; Luengo, D.; Corander, J. (2015-08-01). "Un muestreador adaptativo de importancia de población: aprendizaje a partir de la incertidumbre". IEEE Transactions on Signal Processing . 63 (16): 4422– 4437. Bibcode : 2015ITSP...63.4422M . CiteSeerX 10.1.1.464.9395 . doi : 10.1109/TSP.2015.2440215 . ISSN 1053-587X . S2CID 17017431 .   
  16. ↑ Bugallo, Mónica F.; Martino, Luca; Corander, Jukka (1 de diciembre de 2015). "Muestreo de importancia adaptativo en el procesamiento de señales" . Procesamiento digital de señales . Número especial en honor a William J. (Bill) Fitzgerald. 47 : 36–49 . Bibcode : 2015DSP....47...36B . doi : 10.1016/j.dsp.2015.05.014 .
  17. ↑ Bugallo, MF; Elvira, V.; Martino, L.; Luengo, D.; Miguez, J.; Djuric, PM (julio de 2017). "Muestreo de importancia adaptativo: el pasado, el presente y el futuro". IEEE Signal Processing Magazine . 34 (4): 60– 79. Bibcode : 2017ISPM...34...60B . doi : 10.1109/msp.2017.2699226 . ISSN 1053-5888 . S2CID 5619054 .  

Referencias

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