Rompecabezas de suma y producto

El Rompecabezas de la Suma y el Producto , también conocido como el Rompecabezas Imposible porque parece carecer de información suficiente para su solución, es un rompecabezas de lógica . Fue publicado por primera vez en 1969 por Hans Freudenthal , ^{[ 1 ] [ 2 ]} y el nombre Rompecabezas Imposible fue acuñado por Martin Gardner . ^{[ 3 ]} El rompecabezas tiene solución, aunque no es fácil. Existen muchos rompecabezas similares.

X e Y son dos números enteros mayores que 1, y Y > X. Su suma no es mayor que 100. S y P son dos matemáticos (y, por consiguiente, lógicos perfectos); S conoce la suma X + Y y P conoce el producto X × Y. Tanto S como P conocen toda la información de este párrafo.

En la conversación que sigue, ambos participantes siempre dicen la verdad:

• S dice: "P no conoce a X ni a Y ".
• P dice: "Ahora sé X e Y ".
• S dice: "Ahora también conozco X e Y ".

¿Qué son X e Y ?

El problema se resuelve con relativa facilidad una vez que se aclaran los conceptos y las perspectivas. Hay tres partes involucradas: S, P y O. S conoce la suma X+Y , P conoce el producto X·Y , y el observador O no sabe nada más que el enunciado original del problema. Las tres partes poseen la misma información, pero la interpretan de manera diferente. Entonces, se convierte en un juego de información.

Llamemos a la descomposición de un número A en dos términos, A=B+C, una descomposición en dos partes. No se requiere ningún conocimiento avanzado, como la conjetura de Goldbach , ni ninguna condición para que el producto B·C de dicha descomposición sea único (es decir, que no existan otros dos números que, al multiplicarse, den el mismo resultado). Sin embargo, con la conjetura de Goldbach, y considerando que P sabría inmediatamente que X e Y son semiprimos , se puede deducir que la suma x+y no puede ser par, ya que todo número par puede escribirse como la suma de dos números primos. El producto de esos dos números sería, por lo tanto, un semiprimo.

Los siguientes pasos proporcionan la solución:

1. S (Sue), P (Pete) y O (Otto) elaboran tablas con todos los productos que se pueden formar a partir de descomposiciones de dos en dos de las sumas en el rango, es decir, de 5 a 100 ( X > 1 e Y > X requieren que comencemos en 5). Por ejemplo, 11 se puede descomponer en dos en 2+9, 3+8, 4+7 y 5+6. Los productos respectivos son 18, 24, 28 y 30, y los jugadores colocan una marca junto a cada uno de estos productos en sus tablas (Tabla 1). Cuando terminan, algunos números no tienen marcas, otros tienen una y otros tienen más de una.
2. Sue ahora observa su suma y todas sus divisiones de 2. Observa que todas las divisiones de 2 tienen productos que no son únicos, es decir, existe una factorización diferente que es una división de 2 de alguna otra suma posible. Lo ve en la tabla del Paso 1, donde todos sus productos tienen más de una marca. Se da cuenta de que, debido a esto, Pete no podrá determinar de forma única los factores X e Y observando el producto (eso habría requerido que al menos uno de los productos candidatos tuviera solo una marca). Por lo tanto, exclama: "P no puede saber X e Y ". Cuando Pete y Otto escuchan esto, obtienen la información de que ninguno de los productos asociados con la suma de Sue es único. Al revisar las sumas posibles, una por una, Sue, Pete y Otto ahora pueden, cada uno por su cuenta, hacer una lista de todas las sumas elegibles (Tabla 2). La tabla contiene aquellas sumas cuyos productos descompuestos en 2 no son únicos, es decir, tienen más de una marca en la Tabla 1. Sue, Pete y Otto han creado la tabla de sumas candidatas (Sue, por supuesto, ya conoce su suma, pero necesita comprender el razonamiento de Pete).
3. Considerando la nueva información de la Tabla 2, Pete vuelve a examinar su producto. Las sumas de todas las posibles divisiones de su producto, excepto una, han desaparecido de la Tabla 2 en comparación con todos los números entre 5 y 100 que se consideraron sumas desde el principio. La única que queda debe ser la suma de los dos números ocultos X e Y , cuyo producto X·Y conoce. A partir de la suma y el producto, es fácil deducir los números individuales, por lo que le dice a Sue: «Ahora conozco X e Y ». Pete ha terminado y abandona el juego.
4. Sue y Otto recalculan la Tabla 1, esta vez contando solo los productos de las divisiones de 2 de las sumas que están en la Tabla 2 en lugar de todos los números en el rango de 5 a 100 como en la Tabla 1 original. Esta tabla actualizada se llama Tabla 1B. Sue mira todos los productos de las divisiones de 2 de su suma y encuentra que solo uno de ellos aparece exactamente una vez en la Tabla 1B. Este debe ser entonces el producto que tiene Pete, y ella puede inferir los dos números a partir de su suma y producto tan fácilmente como lo hizo Pete. Así, le dice a Otto (Pete ya se ha ido) que "Ahora también sé X e Y ". Sue también ha terminado y sale del juego, solo queda Otto.
5. A partir de la información del paso 4, Otto examina todas las sumas de la Tabla 2 en busca de una que tenga una única división de 2 con una sola marca en la Tabla 1B. La suma deseada solo puede tener una marca, de lo contrario Sue no habría podido determinar X e Y con certeza. Finalmente, Otto encuentra la suma deseada, que resulta ser la única con estas propiedades, lo que permite resolver el problema original con una solución única. La tarea de Otto también ha concluido.

La solución tiene X e Y como 4 y 13, con P sabiendo inicialmente que el producto es 52 y S sabiendo que la suma es 17.

Inicialmente P no conoce la solución, ya que

52 = 4 × 13 = 2 × 26

S sabe que P desconoce la solución, ya que todas las sumas posibles que dan 17 dentro de las restricciones producen productos igualmente ambiguos. Sin embargo, una vez que P sabe que S cree que existen múltiples soluciones posibles dado el producto, P puede descartar 2 x 26, puesto que en ese caso la suma es 28, y las sumas pares quedan descartadas por la conjetura de Goldbach, como se mencionó anteriormente.

Así pues, P ahora sabe que los números son 4 y 13 y le dice a S que él también los conoce. A partir de esto, S sabe que de los pares posibles basados ​​en la suma (es decir, 2+15, 3+14, 4+13, 5+12, 6+11, 7+10, 8+9) solo uno tiene un producto que le permitiría a P deducir la respuesta, que es 4 + 13. El lector puede entonces deducir la única solución posible basándose en el hecho de que S pudo determinarla. Nótese que, por ejemplo, si a S se le hubiera dicho 97 (48 + 49) y a P se le hubiera dicho 2352 (48 * 49), P podría deducir la única solución posible, pero S no, ya que 44 y 53 seguirían siendo una alternativa lógicamente posible.

El problema puede generalizarse. ^{[ 2 ]} El límite X + Y ≤ 100 se elige de forma bastante deliberada. Si se altera el límite de X + Y , el número de soluciones puede cambiar. Para X + Y < 62, no hay solución. Esto podría parecer contraintuitivo al principio, ya que la solución X = 4, Y = 13 se ajusta al límite. Pero al excluir los productos con factores que suman números entre estos límites, ya no hay múltiples formas de factorizar todas las no soluciones, lo que lleva a la información que no produce ninguna solución al problema. Por ejemplo, si no se considera X = 2, Y = 62, X + Y = 64, X · Y = 124, entonces solo queda un producto de 124, a saber, 4·31, que produce una suma de 35. Entonces 35 se elimina cuando S declara que P no puede conocer los factores del producto, lo cual no habría ocurrido si se permitiera la suma de 64.

Por otro lado, cuando el límite es X + Y ≤ 1685 o superior, aparece una segunda solución X = 4, Y = 61. Por lo tanto, a partir de entonces, el problema no es resoluble en el sentido de que ya no hay una solución única. De manera similar, si X + Y ≤ 1970 o superior aparece una tercera solución ( X = 16, Y = 73). Todas estas tres soluciones contienen un número primo . La primera solución sin número primo es la cuarta que aparece en X + Y ≤ 2522 o superior con valores X = 16 = 2·2·2·2 e Y = 111 = 3·37.

Si la condición Y > X > 1 se cambia a Y > X > 2, hay una solución única para umbrales X + Y ≤ t para 124 < t < 5045, después de lo cual hay múltiples soluciones. En 124 y por debajo, no hay soluciones. No es sorprendente que el umbral para una solución haya aumentado. Intuitivamente, el espacio del problema se volvió más "disperso" cuando el número primo 2 ya no está disponible como factor X , creando menos productos posibles X·Y a partir de una suma A dada . Cuando hay muchas soluciones, es decir, para t más alto , algunas soluciones coinciden con las del problema original con Y > X > 1, por ejemplo X = 16, Y = 163.

Si se reemplaza la condición X + Y ≤ t para algún umbral t por X·Y ≤ u , el problema cambia de apariencia. Se vuelve más fácil de resolver con menos cálculos. Un valor razonable para u podría ser u = t · t /4 para el t correspondiente , basado en el mayor producto de dos factores cuya suma es t siendo ( t /2)·( t /2). Ahora el problema tiene una solución única en los rangos 47 < t < 60, 71 < t < 80, 107 < t < 128 y 131 < t < 144, y ninguna solución por debajo de ese umbral. Los resultados de la formulación alternativa no coinciden con los de la formulación original, ni en número de soluciones ni en contenido.

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