Operación de simetría

La operación identidad corresponde a no modificar el objeto. Dado que cada molécula es indistinguible de sí misma si no se le aplica ninguna acción, todo objeto posee al menos la operación identidad. Esta operación se denota por E o I. En la operación identidad, no se observa ningún cambio en la molécula. Incluso la molécula más asimétrica posee la operación identidad. La necesidad de dicha operación identidad surge de los requisitos matemáticos de la teoría de grupos.

La operación de reflexión se lleva a cabo con respecto a elementos de simetría conocidos como planos de simetría o planos de reflexión. ^{[ 2 ]} Cada uno de estos planos se denota como σ (sigma). Su orientación con respecto al eje principal de la molécula se indica mediante un subíndice. El plano debe pasar a través de la molécula y no puede estar completamente fuera de ella.

• Si el plano de simetría contiene el eje principal de la molécula (es decir, el eje z molecular ), se designa como un plano de simetría vertical, que se indica mediante un subíndice v ( σ _v ).
• Si el plano de simetría es perpendicular al eje principal, se designa como un plano de simetría horizontal, que se indica mediante un subíndice h ( σ _h ).
• Si el plano de simetría biseca el ángulo entre dos ejes de simetría de orden 2 perpendiculares al eje principal, se denomina plano de simetría diedral, que se indica con un subíndice d ( σ _d ).

Mediante la reflexión en cada plano especular, la molécula debe ser capaz de producir una imagen idéntica de sí misma.

En una inversión a través de un centro de simetría, i (el elemento), imaginamos tomar cada punto de una molécula y luego moverlo la misma distancia en el lado opuesto. En resumen, la operación de inversión proyecta cada átomo a través del centro de inversión y hacia afuera a la misma distancia en el lado opuesto. El centro de inversión es un punto en el espacio que se encuentra en el centro geométrico de la molécula. Como resultado, todas las coordenadas cartesianas de los átomos se invierten (es decir, x,y,z a –x,–y,–z ). El símbolo utilizado para representar el centro de inversión es i . Cuando la operación de inversión se realiza n veces, se denota por i ⁿ , donde${\displaystyle i^{n}=E}$cuando n es par y${\displaystyle i^{n}=-E}$cuando n es impar.

_{Ejemplos de moléculas que poseen un centro de} inversión incluyen ciertas moléculas con geometría octaédrica (fórmula general AB₆ ), geometría plano-cuadrada ( fórmula general _AB₄ ) y etileno ( H₂C =CH₂ _{) . Ejemplos} ^{de moléculas sin centros de} inversión son el ciclopentadienuro ( _{C₅H₅ )} y moléculas con geometría piramidal trigonal (fórmula general AB₃ ) . [ ₃ ^]

Una rotación propia se refiere a una rotación simple alrededor de un eje . Dichas operaciones se denotan por ⁠${\displaystyle C_{n}^{m},}$donde C n _{es una} rotación de${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$o​​${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{n}},}$Se realiza m veces. El superíndice m se omite si es igual a uno. C ₁ es una rotación de 360°, donde n = 1. Es equivalente a la operación de identidad ( E ). C ₂ es una rotación de 180°, como${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{2}}=180^{\circ },}$⁠ C ₃ es una rotación de 120°, ya que ⁠${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{3}}=120^{\circ },}$y así sucesivamente.

_{Aquí ,} la molécula puede rotarse hasta alcanzar posiciones equivalentes alrededor _de un eje. Un ejemplo de molécula con simetría C₂ es la molécula de agua ( H₂O ). Si la molécula de _{H₂O se rota 180° alrededor de un eje que pasa por el átomo de} oxígeno, no se observa ninguna diferencia detectable antes y después de la operación C₂ .

El orden n de un eje puede considerarse como un número de veces que, para la rotación más pequeña que da una configuración equivalente, esa rotación debe repetirse para dar una configuración idéntica a la estructura original (es decir, una rotación de 360° o 2π ) . Un ejemplo de esto es _{la rotación propia} C3 , que rota por ⁠${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}.}$⁠ C ₃ representa la primera rotación alrededor deleje C _{3 por} ⁠${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}},}$⁠ ⁠${\displaystyle C_{3}^{2}}$⁠ es la rotación por ⁠${\displaystyle 2\times {\tfrac {2\pi }{3}},}$mientras​​${\displaystyle C_{3}^{3}}$⁠ es la rotación por ⁠${\displaystyle 3\times {\tfrac {2\pi }{3}}.}$⁠ ⁠${\displaystyle C_{3}^{3}}$es la configuración idéntica porque da la estructura original, y se llama elemento identidad ( E ). Por lo tanto, C ₃ es un orden de tres, y a menudo se le denomina eje triple . ^{[ 3 ]}

Una rotación impropia implica dos pasos operativos: una rotación propia seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación. La rotación impropia se representa mediante el símbolo S _n, donde n es el orden. Dado que la rotación impropia es la combinación de una rotación propia y una reflexión, S _n siempre existirá cuando C _n y un plano perpendicular existan por separado. ^{[ 3 ]} S ₁ se suele denotar como σ , una operación de reflexión respecto a un plano de reflexión. S ₂ se suele denotar como i , una operación de inversión respecto a un centro de inversión. Cuando n es un número par${\displaystyle S_{n}^{n}=E,}$pero cuando n es impar${\displaystyle S_{n}^{2n}=E.}$

Los ejes de rotación, los planos de simetría y los centros de inversión son elementos de simetría , no operaciones de simetría. El eje de rotación de mayor orden se conoce como eje principal de rotación. Por convención, el eje z cartesiano de la molécula debe contener el eje principal de rotación.

Diclorometano , CH₂Cl₂ _. Existe un eje de rotación C₂ _que pasa por el átomo de carbono y los puntos medios entre los dos átomos de hidrógeno y los dos átomos de cloro. Definimos el eje z como colineal con el eje C₂, el plano xz como el que contiene CH₂ y el plano yz como el que contiene CCl₂ . Una _operación de rotación C₂ _{permuta los} dos átomos de hidrógeno y los dos átomos de cloro. La reflexión en el _plano yz permuta los átomos de hidrógeno, mientras que la reflexión en el plano _xz permuta los _{átomos de} cloro. Las cuatro operaciones de simetría E , C₂ , σ( xz ) y σ( yz ) forman el grupo puntual C₂v . Nótese que si se realizan dos operaciones cualesquiera sucesivamente _, el resultado es el mismo que si se hubiera realizado una sola operación del grupo.

Metano , CH₄ . Además de las rotaciones propias de orden 2 y 3, existen tres ejes S₄ mutuamente perpendiculares _que pasan _a medio camino entre los enlaces CH y seis planos de simetría. Nótese que${\displaystyle S_{4}^{2}=C_{2}.}$