Integral impropia

En análisis matemático , una integral impropia es una extensión de la noción de integral definida a casos que violan las suposiciones habituales para ese tipo de integral. ^{[ 1 ]} En el contexto de las integrales de Riemann (o, equivalentemente, las integrales de Darboux ), esto generalmente implica la no acotación, ya sea del conjunto sobre el cual se toma la integral o del integrando (la función que se integra), o ambos. También puede involucrar conjuntos acotados pero no cerrados o funciones acotadas pero no continuas . Si bien una integral impropia generalmente se escribe simbólicamente como una integral definida estándar, en realidad representa un límite de una integral definida o una suma de tales límites; por lo tanto, se dice que las integrales impropias convergen o divergen. ^{[ 2 ] [ 1 ]} Si una integral definida regular (que puede llamarse retronómicamente integral propia ) se resuelve como si fuera impropia, se obtendrá la misma respuesta.

En el caso más simple de una función de valor real de una sola variable integrada en el sentido de Riemann (o Darboux) sobre un único intervalo, las integrales impropias pueden tener cualquiera de las siguientes formas:

1. ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$
2. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$
3. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$
4. ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$, dónde${\displaystyle f(x)}$está indefinido o discontinuo en algún punto${\displaystyle [a,b]}$

Las tres primeras formas son impropias porque las integrales se toman sobre un intervalo no acotado. (También pueden ser impropias por otras razones, como se explica más adelante). Dicha integral a veces se describe como de "primer" tipo si el integrando satisface las hipótesis de integración. ^{[ 2 ]} Las integrales de la cuarta forma que son impropias porque${\displaystyle f(x)}$tiene una asíntota vertical en algún punto del intervalo${\displaystyle [a,b]}$pueden describirse como de "segundo" tipo o clase. ^{[ 2 ]} Las integrales que combinan aspectos de ambos tipos a veces se describen como de "tercer" tipo o clase. ^{[ 2 ]}

En cada uno de los casos anteriores, la integral impropia debe reescribirse utilizando uno o más límites, dependiendo de lo que esté causando que la integral sea impropia. Por ejemplo, en el caso 1, si${\displaystyle f(x)}$es continua en todo el intervalo${\displaystyle [a,\infty )}$, entonces

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

El límite de la derecha se considera la definición de la notación integral de la izquierda.

Si${\displaystyle f(x)}$es solo continuo en${\displaystyle (a,\infty )}$y no en${\displaystyle a}$en sí mismo, entonces normalmente esto se reescribe como

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

para cualquier elección de${\displaystyle c>a}$. Aquí ambos límites deben converger a un valor finito para que se pueda decir que la integral impropia converge. Este requisito evita el caso ambiguo de sumar infinitos positivos y negativos (es decir, el "${\displaystyle \infty -\infty }$" forma indeterminada ). Alternativamente, se podría utilizar un límite iterado o un único límite basado en el valor principal de Cauchy .

Si${\displaystyle f(x)}$es continuo en${\displaystyle [a,d)}$y${\displaystyle (d,\infty )}$, con una discontinuidad de cualquier tipo en${\displaystyle d}$, entonces

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to d^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx+\lim _{u\to d^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

para cualquier elección de${\displaystyle c>d}$Las observaciones anteriores sobre formas indeterminadas, límites iterados y el valor principal de Cauchy también son aplicables aquí.

La función${\displaystyle f(x)}$puede tener más discontinuidades, en cuyo caso se requerirían aún más límites (o una expresión de valor principal más complicada).

Los casos 2 a 4 se manejan de manera similar. Vea los ejemplos a continuación.

Las integrales impropias también pueden evaluarse en el contexto de los números complejos, en dimensiones superiores y en otros marcos teóricos como la integración de Lebesgue o la integración de Henstock-Kurzweil . Las integrales que se consideran impropias en un marco pueden no serlo en otros.

La definición original de la integral de Riemann no se aplica a una función como${\displaystyle 1/{x^{2}}}$en el intervalo [ 1, ∞) , porque en este caso el dominio de integración no está acotado . Sin embargo, la integral de Riemann a menudo se puede extender por continuidad , definiendo la integral impropia en su lugar como un límite.

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}$

La definición estricta de la integral de Riemann tampoco abarca la función${\textstyle 1/{\sqrt {x}}}$en el intervalo [ 0, 1 ] . El problema aquí es que el integrando no está acotado en el dominio de integración. En otras palabras, la definición de la integral de Riemann requiere que tanto el dominio de integración como el integrando estén acotados . Sin embargo, la integral impropia sí existe si se entiende como el límite

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.}$

A veces, las integrales pueden tener dos singularidades donde son impropias. Consideremos, por ejemplo, la función 1/(( x + 1) √ x ) integrada de 0 a ∞ (mostrada a la derecha). En el límite inferior del dominio de integración, cuando x tiende a 0, la función tiende a ∞ , y el límite superior es también ∞ , aunque la función tiende a 0. Por lo tanto, se trata de una integral doblemente impropia. Integrada, digamos, de 1 a 3, una suma de Riemann ordinaria es suficiente para producir un resultado de π /6. Para integrar de 1 a ∞ , una suma de Riemann no es posible. Sin embargo, cualquier límite superior finito, digamos t (con t > 1 ), da un resultado bien definido, 2 arctan( √ t ) − π/2 . Este tiene un límite finito cuando t tiende a infinito, a saber, π /2. De manera similar, la integral de 1/3 a 1 también permite una suma de Riemann, produciendo de nuevo, por coincidencia, π /6. Reemplazar 1/3 por un valor positivo arbitrario s (con s < 1 ) es igualmente seguro, dando π/2 − 2 arctan( √ s ) . Esto también tiene un límite finito cuando s tiende a cero, a saber, π /2. Combinando los límites de los dos fragmentos, el resultado de esta integral impropia es

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}}$

Este proceso no garantiza el éxito; un límite podría no existir o ser infinito. Por ejemplo, en el intervalo acotado de 0 a 1, la integral de 1 / x no converge; y en el intervalo no acotado de 1 a ∞ , la integral de 1/ √x no converge.

También puede ocurrir que un integrando no esté acotado cerca de un punto interior, en cuyo caso la integral debe dividirse en ese punto. Para que la integral en su conjunto converja, deben existir las integrales límite en ambos lados y deben estar acotadas. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{-}}\int _{-1}^{s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0^{+}}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{-}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{-s}}\right)+\lim _{t\to 0^{+}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}}$

Pero la integral similar

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$

No se le puede asignar un valor de esta manera, ya que las integrales por encima y por debajo de cero en el dominio integral no convergen de forma independiente. (Sin embargo, véase el valor principal de Cauchy ).

Una integral impropia converge si existe el límite que la define. Así, por ejemplo, se dice que la integral impropia converge si existe.

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx}$

existe y es igual a L si las integrales bajo el límite existen para todo t suficientemente grande , y el valor del límite es igual a L.

También es posible que una integral impropia diverja hasta el infinito. En ese caso, se puede asignar el valor de ∞ (o −∞) a la integral. Por ejemplo

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\infty .}$

Sin embargo, otras integrales impropias pueden simplemente divergir en ninguna dirección en particular, como por ejemplo:

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}$

que no existe, ni siquiera como un número real extendido . Esto se denomina divergencia por oscilación.

Una limitación de la técnica de integración impropia es que el límite debe tomarse con respecto a un extremo a la vez. Así, por ejemplo, una integral impropia de la forma

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$

puede definirse tomando dos límites separados; a los cuales

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

siempre que el límite doble sea finito. También puede definirse como un par de integrales impropias distintas de primera especie:

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$

donde c es cualquier punto conveniente para comenzar la integración. Esta definición también se aplica cuando una de estas integrales es infinita, o ambas si tienen el mismo signo.

Un ejemplo de una integral impropia donde ambos extremos son infinitos es la integral gaussiana.${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$Un ejemplo que se evalúa a infinito es${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}$. Pero ni siquiera se pueden definir de forma inequívoca otras integrales de este tipo, como por ejemplo:${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx}$, puesto que el límite doble es infinito y el método de dos integrales

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}x\,dx}$

produce una forma indeterminada ,${\displaystyle \infty -\infty }$En este caso, sin embargo , se puede definir una integral impropia en el sentido del valor principal de Cauchy :

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{-b}^{b}x\,dx=0.}$

Las preguntas que uno debe abordar para determinar una integral impropia son:

• ¿Existe el límite?
• ¿Se puede calcular el límite?

La primera cuestión es de análisis matemático . La segunda puede abordarse mediante técnicas de cálculo, pero también, en algunos casos, mediante integración de contorno , transformadas de Fourier y otros métodos más avanzados.

Existen varias teorías de integración . Desde el punto de vista del cálculo, la teoría integral de Riemann suele considerarse la teoría por defecto. Al utilizar integrales impropias, puede ser importante determinar qué teoría de integración se está empleando.

• Para la integral de Riemann (o la integral de Darboux , que es equivalente a ella), la integración impropia es necesaria tanto para intervalos no acotados (ya que no se puede dividir el intervalo en un número finito de subintervalos de longitud finita) como para funciones no acotadas con integral finita (ya que, suponiendo que no esté acotada superiormente, entonces la integral superior será infinita, pero la integral inferior será finita).
• La integral de Lebesgue trata de manera diferente los dominios no acotados y las funciones no acotadas, de modo que a menudo una integral que solo existe como una integral de Riemann impropia existirá como una integral de Lebesgue (propia), como por ejemplo:${\textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$Por otro lado, también existen integrales que tienen una integral de Riemann impropia pero no una integral de Lebesgue (propia), como por ejemplo:${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$La teoría de Lebesgue no ve esto como una deficiencia: desde el punto de vista de la teoría de la medida ,${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\infty -\infty }$y no puede definirse satisfactoriamente. Sin embargo, en algunas situaciones puede ser conveniente emplear integrales de Lebesgue impropias, como ocurre, por ejemplo, al definir el valor principal de Cauchy . La integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier , con un uso generalizado de integrales sobre toda la recta real.
• Para la integral de Henstock-Kurzweil , la integración impropia no es necesaria , y esto se considera una fortaleza de la teoría: abarca todas las funciones integrables de Lebesgue e integrables de Riemann impropias.

En algunos casos, la integral

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\ dx}$

puede definirse como una integral (una integral de Lebesgue , por ejemplo) sin referencia al límite

${\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

pero no se puede calcular de otra manera conveniente. Esto suele ocurrir cuando la función f que se integra de a a c tiene una asíntota vertical en c , o si c  =  ∞ (véanse las figuras 1 y 2). En tales casos, la integral de Riemann impropia permite calcular la integral de Lebesgue de la función. Específicamente, se cumple el siguiente teorema ( Apostol 1974 , Teorema 10.33) :

• Si una función f es integrable de Riemann en [ a , b ] para todo b  ≥ a , y las integrales parciales 

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

están acotadas cuando b → ∞, entonces las integrales de Riemann impropias   

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,\quad {\mbox{and }}\int _{a}^{\infty }|f(x)|\,dx}$

Ambas existen. Además, f es integrable de Lebesgue en [ a , ∞), y su integral de Lebesgue es igual a su integral de Riemann impropia.

Por ejemplo, la integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

puede interpretarse alternativamente como la integral impropia

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}$

También puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el conjunto (0, ∞). Dado que ambos tipos de integral coinciden, se puede elegir el primer método para calcular su valor, incluso si finalmente se prefiere considerarla como una integral de Lebesgue. Por lo tanto, las integrales impropias son herramientas claramente útiles para obtener los valores reales de las integrales.

En otros casos, sin embargo, una integral de Lebesgue entre puntos extremos finitos puede ni siquiera estar definida, porque las integrales de las partes positiva y negativa de f son ambas infinitas, pero la integral de Riemann impropia aún puede existir. Estos casos son integrales "propiamente impropias", es decir, sus valores no pueden definirse excepto como tales límites. Por ejemplo,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

no puede interpretarse como una integral de Lebesgue, ya que

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}$

Pero${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$Sin embargo, es integrable entre cualesquiera dos puntos extremos finitos, y su integral entre 0 e ∞ se entiende generalmente como el límite:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Se puede hablar de las singularidades de una integral impropia, es decir, aquellos puntos de la recta real extendida en los que se utilizan límites.

Consideremos la diferencia en los valores de dos límites:

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}$

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.}$

El primero es el valor principal de Cauchy de la expresión que de otro modo estaría mal definida.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

De manera similar, tenemos

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,}$

pero

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$

El primero es el valor principal de la expresión, que de otro modo estaría mal definida.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

Todos los límites anteriores son casos de forma indeterminada.${\displaystyle \infty -\infty }$.

Estas patologías no afectan a las funciones "integrables de Lebesgue", es decir, funciones cuyas integrales tienen valores absolutos finitos.

Una integral impropia puede divergir en el sentido de que el límite que la define puede no existir. En este caso, existen definiciones más sofisticadas del límite que permiten obtener un valor convergente para la integral impropia. Estos métodos se denominan métodos de sumabilidad .

Un método de sumabilidad, popular en el análisis de Fourier , es el de la suma de Cesàro . La integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

es Cesàro sumable (C,  α) si

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\ dx}$

existe y es finito ( Titchmarsh 1948 , §1.15) . El valor de este límite, si existe, es la  suma (C, α) de la integral.

Una integral es (C,  0) sumable precisamente cuando existe como una integral impropia. Sin embargo, hay integrales que son (C,  α) sumables para α  >  0 que no convergen como integrales impropias (en el sentido de Riemann o Lebesgue). Un ejemplo es la integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin x\,dx}$

que no existe como una integral impropia, pero es (C, α ) sumable para todo α  >  0. Esta es una versión integral de la serie de Grandi .

La integral impropia también puede definirse para funciones de varias variables. La definición es ligeramente diferente, dependiendo de si se requiere integrar sobre un dominio no acotado, como${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$o se trata de integrar una función con singularidades, como${\displaystyle f(x,y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)}$.

• Apostol, T (1974), Análisis matemático , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1.
• Apostol, T (1967), Cálculo, Vol. 1 (2.ª  ed.), Jon Wiley & Sons.
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Métodos numéricos con aplicaciones (1.ª  ed.), autarkaw.com
• Titchmarsh, E (1948), Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (2.ª  ed.), Nueva York, NY: Chelsea Pub. Co. (publicado en 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) .
• Cooper, Jeffery (2005), Análisis de trabajo , Gulf Professional
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), Un curso de cálculo y análisis multivariable , Springer

• Métodos numéricos para resolver integrales impropias en el Instituto de Métodos Numéricos Holísticos.