Vector de impulso

La respuesta impulsional de un sistema de segundo orden correspondiente a la resultante de dos vectores impulsionales es la misma que la respuesta temporal del sistema con una entrada de dos impulsos correspondiente a dos vectores impulsionales después del último impulso, independientemente de si el sistema es no amortiguado o subamortiguado. □

Si la resultante de los vectores impulso es cero, la respuesta temporal de un sistema de segundo orden para la entrada de la secuencia de impulsos correspondiente a los vectores impulso se vuelve cero también después del último impulso, independientemente de si el sistema es no amortiguado o subamortiguado. □

Consideremos un sistema de segundo orden subamortiguado con la función de transferencia${\displaystyle 4\pi ^{2}/(s^{2}+0,4\pi s+4\pi ^{2})}$Este sistema tiene${\displaystyle \omega _ {n}=2\pi}$y${\displaystyle \zeta =0.1}$. Para vectores de impulso dados${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {I} _{2}}$como se muestra en la figura, el resultante se puede representar de dos maneras,${\displaystyle \mathbf {I} _ {R1}}$y${\displaystyle \mathbf {I} _{R2}}$, en el cual${\displaystyle \mathbf {I} _ {R1}}$corresponde a un impulso negativo con${\displaystyle A_{R1}=I_{R1}/e^{\zeta \omega _{n}t_{R1}}}$y${\displaystyle t_{R1}=\theta _{R1}/\omega _{d}}$, y${\displaystyle \mathbf {I} _{R2}}$corresponde a un impulso positivo con${\displaystyle A_{R2}=I_{R2}/e^{\zeta \omega _{n}t_{R2}}}$y${\displaystyle t_{R2}=\theta _{R2}/\omega _{d}}$.

Los resultados${\displaystyle \mathbf {I} _ {R1}}$,${\displaystyle \mathbf {I} _{R2}}$Se puede encontrar de la siguiente manera.

${\displaystyle R_{x}=I_{1}+I_{2}\cos \theta _{2},\ \ R_{y}=I_{2}\sin \theta _{2}}$,

${\displaystyle I_{R1}=-{\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\ \ \theta _{R1}=\pi +\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})}$

${\displaystyle I_{R2}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\ \ \theta _{R2}=\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle -\pi /2<\tan ^{-1}(a)<\pi /2}$Las respuestas impulsionales${\displaystyle y_{R1}}$y${\displaystyle y_{R2}}$correspondiente a${\displaystyle \mathbf {I} _ {R1}}$y${\displaystyle \mathbf {I} _{R2}}$son exactamente iguales con${\displaystyle y_{1}+y_{2}}$después de cada impulso, la ubicación temporal se muestra en las líneas verdes de la figura (b).

Ahora, coloque un vector impulso.${\displaystyle \mathbf {I} _{3}}$en el diagrama de vector impulso para cancelar el resultante${\displaystyle \mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}}$como se muestra en la figura. El vector impulso${\displaystyle \mathbf {I} _{3}}$es dado por

${\displaystyle I_{3}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\ \ \theta _{3}=\pi +\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})}$.

Cuando la secuencia de impulsos corresponde a tres vectores de impulso${\displaystyle \mathbf {I} _{1},\mathbf {I} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {I} _{3}}$Se aplica a un sistema de segundo orden como entrada, la respuesta temporal resultante no causa vibración residual después del último tiempo de impulso.${\displaystyle t_{3}}$como se muestra en la línea roja de la figura inferior (b). Por supuesto, otro vector cancelante${\displaystyle \mathbf {I} _{3}^{'}}$puede existir, que es el vector impulso con la misma magnitud que${\displaystyle \mathbf {I} _{3}}$pero con una dirección de flecha opuesta. Sin embargo, este vector de cancelación tiene un tiempo de impulso más largo que puede ser hasta medio período en comparación con${\displaystyle \mathbf {I} _{3}}$.

Utilizando vectores de impulso, podemos rediseñar ^{[ 1 ]} los conformadores de entrada conocidos ^{[ 3 ]} como vibración cero (ZV), vibración cero y derivada (ZVD) y conformadores ZVD ⁿ . El conformador ZV se compone de dos vectores de impulso, en los que el primer vector de impulso se encuentra en 0° y el segundo vector de impulso con la misma magnitud se encuentra en 180° para${\displaystyle \mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}=\mathbf {0} }$. Luego, a partir del diagrama de vector de impulso del conformador ZV del lado derecho,

${\displaystyle \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi }$

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=I}$.

Por lo tanto,${\displaystyle t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d}}$.

Desde${\displaystyle A_{1}+A_{2}=1}$(restricción de normalización) debe cumplirse, y${\displaystyle A_{1}=I_{1},\ \ A_{2}=I_{2}/e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}$,

${\displaystyle I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}=I+{\frac {I}{K}}=1,\quad K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$.

Por lo tanto,${\displaystyle I=K/(K+1)}$.

Por lo tanto, el conformador ZV${\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})}$es dado por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d}\\K/(K+1),&1/(K+1)\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle \quad }$

El conformador ZVD se compone de tres vectores de impulso, en los que el primer vector de impulso se encuentra en 0 rad, el segundo vector en${\displaystyle \pi }$rad, y el tercer vector en${\displaystyle 2\pi }$rad, y la relación de magnitud es${\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}=1:2:1}$. Entonces${\displaystyle \mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}+\mathbf {I} _{3}=\mathbf {0} }$. Del diagrama de vector impulso,

${\displaystyle \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi }$.

Por lo tanto,${\displaystyle t_{1}=0,\ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ t_{3}=2\pi /\omega _{d}}$.

También del diagrama de vector impulso,

${\displaystyle I_{1}=I_{3}=I,\ \ I_{2}=2I}$.

Desde${\displaystyle A_{1}+A_{2}+A_{3}=1}$debe ser sostenido,

${\displaystyle I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}=I+{\frac {2I}{K}}+{\frac {I}{K^{2}}}=1,\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$.

Por lo tanto,${\displaystyle I=K^{2}/(K+1)^{2}}$.

Por lo tanto, el conformador ZVD${\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})}$ es dado por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\K^{2}/(K+1)^{2},&2K/(K+1)^{2},&1/(K+1)^{2}\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle \quad }$

El conformador ZVD ² está compuesto por cuatro vectores de impulso, en los que el primer vector de impulso se encuentra en 0 rad, el segundo vector en${\displaystyle \pi }$rad, el tercer vector en${\displaystyle 2\pi }$rad, y el cuarto vector en${\displaystyle 3\pi }$rad, y la relación de magnitud es${\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}=1:3:3:1}$. Entonces${\displaystyle \mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}+\mathbf {I} _{3}+\mathbf {I} _{4}=\mathbf {0} }$. Del diagrama de vector impulso,

${\displaystyle \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi ,\ \ \theta _{4}=3\pi }$.

Por lo tanto,${\displaystyle t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ \ t_{3}=2\pi /\omega _{d},\ \ t_{4}=3\pi /\omega _{d}}$.

Además, a partir del diagrama de vectores de impulso,

${\displaystyle I_{1}=I_{4}=I,\ \ I_{2}=I_{3}=3I}$.

Desde${\displaystyle A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}=1}$debe ser sostenido,

${\displaystyle I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}+{\frac {I_{4}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{4}}}}=I+{\frac {3I}{K}}+{\frac {3I}{K^{2}}}+{\frac {I}{K^{3}}}=1,\ \ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$.

Por lo tanto,${\displaystyle I=K^{3}/(K+1)^{3}}$.

Por lo tanto, el conformador ZVD ²${\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})+A_{4}\delta (t-t_{4})}$es dado por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d},&3\pi /\omega _{d}\\K^{3}/(K+1)^{3},&3K^{2}/(K+1)^{3},&3K/(K+1)^{3},&1/(K+1)^{3}\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle \quad }$

De manera similar, se puede obtener el conformador ZVD ^{3 con cinco vectores de impulso, en el que el primer vector se encuentra en 0 rad, el segundo vector en}${\displaystyle \pi }$rad, tercer vector en${\displaystyle 2\pi }$rad, el cuarto vector en${\displaystyle 3\pi }$rad, y el quinto vector en${\displaystyle 4\pi }$rad, y la relación de magnitud es${\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}:I_{5}=1:4:6:4:1}$En general, para el conformador ZVD ⁿ , el i -ésimo vector impulso se encuentra en${\displaystyle (i-1)\pi }$rad, y la relación de magnitud es${\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}:\cdots :I_{n+2}={\tbinom {n+1}{0}}:{\tbinom {n+1}{1}}:{\tbinom {n+1}{2}}:\cdots$ :{\tbinom {n+1}{n+1}}} donde${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}}$implica una combinación matemática.

Ahora, consideremos conformadores de igual tiempo de conformación y magnitudes (ETM), ^{[ 1 ]} con la misma magnitud de vectores de impulso y con el mismo ángulo entre vectores de impulso. El conformador ETM n satisface las condiciones

${\displaystyle \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}={\frac {2\pi }{n-1}},\cdots ,\theta _{n-1}={\frac {(n-2)2\pi }{n-1}}\ \ }$

${\displaystyle I_{2}=I_{3}=\cdots =I_{n-1}=I_{1}+I_{n},\ \ I_{n}=mI_{1}\ (m>0)}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}=1}$.

Por lo tanto, la resultante de los vectores de impulso del conformador ETM n siempre se vuelve cero para todo${\displaystyle n\geq 2}$Una ventaja del conformador ETM n es que, a diferencia de los conformadores ZVD ⁿ o extra insensibles (EI), ^{[ 4 ]} el tiempo de conformación es siempre un período (amortiguado) de la respuesta temporal, incluso si n aumenta. El conformador ETM4 con cuatro vectores de impulso se obtiene a partir de las condiciones anteriores junto con las definiciones de vectores de impulso como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&(2\pi /3)/\omega _{d},&(4\pi /3)/\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\I/(1+m),&I/K^{2/3},&I/K^{4/3},&mI/[(1+m)K^{2}]\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle I={\frac {(1+m)K^{2}}{K^{2}+(1+m)(K^{4/3}+K^{2/3})+m}},\quad K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$.

El conformador ETM5 con cinco vectores de impulso se obtiene de forma similar a como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&0.5\pi /\omega _{d},&\pi /\omega _{d},&1.5\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\I/(1+m),&I/K^{1/2},&I/K,&I/K^{3/2},&mI/[(1+m)K^{2}]\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle I={\frac {(1+m)K^{2}}{K^{2}+(1+m)(K^{3/2}+K+K^{1/2})+m}},\quad K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$.

De la misma manera, el modelador n de ETM con${\displaystyle n\geq 6}$se pueden obtener fácilmente. En general, los modeladores ETM son menos sensibles a los errores de modelado que los modeladores ZVD ⁿ en un amplio rango de errores positivos. Tenga en cuenta que el modelador ZVD es un modelador ETM3 con${\displaystyle m=1}$.

Además, los vectores de impulso se pueden aplicar para diseñar conformadores de entrada con impulsos negativos. Consideremos un conformador de magnitud igual negativa (NMe), ^{[ 1 ]} en el que las magnitudes de tres vectores de impulso son${\displaystyle I_{1}=I(>0),\ I_{2}=-I,\ I_{3}=I}$y los ángulos son${\displaystyle \theta _{1}=0,\ \theta _{2}=\pi /3,\ \theta _{3}=2\pi /3}$Entonces, la resultante de tres vectores impulso se vuelve cero, y por lo tanto se suprime la vibración residual. Tiempo de impulso${\displaystyle t_{2},t_{3}}$del conformador NMe se obtienen como${\displaystyle t_{2}=(\pi /3)/\omega _{d},\ t_{3}=(2\pi /3)/\omega _{d}}$y las magnitudes de los impulsos se obtienen fácilmente resolviendo el sistema de ecuaciones.

${\displaystyle A_{1}=I,A_{2}=-I/e^{\zeta \omega _{n}t_{2}},\ \ A_{3}=I/e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}$

${\displaystyle A_{1}+A_{2}+A_{3}=1}$.

El conformador de NMe resultante${\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})}$es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&(\pi /3)/\omega _{d},&(2\pi /3)/\omega _{d}\\I,&-I/K^{1/3},&I/K^{2/3}\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle I=K/(K-K^{2/3}+K^{1/3}),\ \ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$.

El conformador NMe tiene un tiempo de subida más rápido que el conformador ZVD, pero es más sensible a los errores de modelado que el conformador ZVD. Tenga en cuenta que el conformador NMe es el mismo que el conformador UM ^{[ 5 ]} si el sistema no está amortiguado (${\displaystyle \zeta =0}$).

La figura (a) de la derecha muestra un diagrama de bloques típico de un sistema de control de conformación de entrada, y la figura (b) muestra la supresión de vibraciones residuales en las respuestas de escalón unitario mediante los conformadores ZV, ZVD, ETM4 y NMe.

Consulte la referencia ^{[ 1 ]} para ver las curvas de sensibilidad de los modeladores de entrada anteriores, que representan la robustez ante errores de modelado en${\displaystyle \omega _{n}}$y${\displaystyle \zeta }$.