Posición general

En geometría algebraica y geometría computacional , la posición general es una noción de genericidad para un conjunto de puntos u otros objetos geométricos. Se refiere a la situación general , en contraposición a algunos casos más especiales o fortuitos que son posibles, a los que se denomina posición especial . Su significado preciso varía según el contexto.

Por ejemplo, en términos generales, dos líneas en el plano se intersecan en un solo punto (no son paralelas ni coincidentes). También se dice que "dos líneas genéricas se intersecan en un punto", lo cual se formaliza mediante la noción de punto genérico . De manera similar, tres puntos genéricos en el plano no son colineales ; si tres puntos son colineales (y aún más si dos coinciden), se trata de un caso degenerado .

Esta noción es importante en matemáticas y sus aplicaciones, porque los casos degenerados pueden requerir un tratamiento excepcional; por ejemplo, al enunciar teoremas generales o dar enunciados precisos de los mismos, y al escribir programas informáticos (véase complejidad genérica ).

Un conjunto de puntos en un espacio afín de dimensión d ( el espacio euclidiano de dimensión d es un ejemplo común) está en posición lineal general (o simplemente en posición general ) si ningún k de ellos se encuentra en un plano de dimensión ( k − 2) para k = 2, 3, ..., d + 1. Estas condiciones contienen una considerable redundancia, ya que, si la condición se cumple para algún valor k _{≥ 0} , entonces también debe cumplirse para todo k con 2 ≤ k ≤ k _{≥ 0.} Por lo tanto, para que un conjunto que contiene al menos d + 1 puntos en un espacio afín de dimensión d esté en posición general, basta con que ningún hiperplano contenga más de d puntos, es decir, que los puntos no satisfagan más relaciones lineales de las necesarias. ^{[ 1 ]}

Un conjunto de como máximo d + 1 puntos en posición lineal general también se denomina afínmente independiente (este es el análogo afín de la independencia lineal de vectores, o más precisamente, de rango máximo), y d + 1 puntos en posición lineal general en el espacio d afín constituyen una base afín . Véase transformación afín para más información.

De manera similar, n vectores en un espacio vectorial n -dimensional son linealmente independientes si y solo si los puntos que definen en el espacio proyectivo (de dimensión n − 1 ) están en posición lineal general.

Si un conjunto de puntos no se encuentra en posición lineal general, se denomina caso degenerado o configuración degenerada, lo que implica que satisfacen una relación lineal que no siempre tiene por qué cumplirse.

Una aplicación fundamental es que, en el plano, cinco puntos determinan una cónica , siempre que los puntos estén en posición lineal general (no haya tres colineales).

Esta definición puede generalizarse aún más: se puede hablar de puntos en posición general con respecto a una clase fija de relaciones algebraicas (por ejemplo, secciones cónicas ). En geometría algebraica, este tipo de condición se encuentra con frecuencia, ya que los puntos deben imponer condiciones independientes a las curvas que pasan por ellos.

Por ejemplo, cinco puntos determinan una cónica , pero en general seis puntos no se encuentran sobre una cónica, por lo que estar en posición general con respecto a las cónicas requiere que no haya seis puntos que se encuentren sobre una cónica.

La posición general se conserva bajo transformaciones birregulares : si los puntos de la imagen satisfacen una relación, entonces bajo una transformación birregular esta relación puede recuperarse para obtener los puntos originales. Es importante destacar que la transformación de Veronese es birregular; dado que los puntos bajo la transformación de Veronese corresponden a la evaluación de un polinomio de grado d en ese punto, esto formaliza la noción de que los puntos en posición general imponen condiciones lineales independientes a las variedades que pasan por ellos.

La condición básica para la posición general es que los puntos no caigan sobre subvariedades de grado inferior al necesario; en el plano, dos puntos no deben coincidir, tres puntos no deben caer sobre una línea, seis puntos no deben caer sobre una cónica, diez puntos no deben caer sobre una cúbica, y lo mismo ocurre para grados superiores.

Sin embargo, esto no es suficiente. Si bien nueve puntos determinan un cubo, existen configuraciones de nueve puntos que son especiales con respecto a los cubos, a saber, la intersección de dos cubos. La intersección de dos cubos, que es${\displaystyle 3\times 3=9}$El conjunto de puntos (según el teorema de Bézout ) es especial porque nueve puntos en posición general están contenidos en un único cubo, mientras que si están contenidos en dos cubos, en realidad están contenidos en un haz ( sistema lineal de un parámetro ) de cubos, cuyas ecuaciones son combinaciones lineales proyectivas de las ecuaciones de los dos cubos. Por lo tanto, tales conjuntos de puntos imponen una condición menos a los cubos que los contienen de lo esperado, y en consecuencia satisfacen una restricción adicional, a saber, el teorema de Cayley-Bacharach que establece que cualquier cubo que contenga ocho de los puntos necesariamente contiene el noveno. Afirmaciones análogas son válidas para grados superiores.

Para puntos en el plano o en una curva algebraica , la noción de posición general se hace algebraicamente precisa mediante la noción de divisor regular , y se mide por la anulación de los grupos de cohomología de haces superiores del fibrado de líneas asociado (formalmente, haz invertible ). Como refleja la terminología, esto es significativamente más técnico que la imagen geométrica intuitiva, de manera similar a como una definición formal de número de intersección requiere álgebra sofisticada. Esta definición se generaliza en dimensiones superiores a hipersuperficies (subvariedades de codimensión 1), en lugar de a conjuntos de puntos, y los divisores regulares se contrastan con los divisores superabundantes , como se discute en el teorema de Riemann-Roch para superficies .

Nótese que no todos los puntos en posición general son proyectivamente equivalentes, lo cual es una condición mucho más fuerte; por ejemplo, cualesquiera k puntos distintos en la línea están en posición general, pero las transformaciones proyectivas son solo 3-transitivas, siendo el invariante de 4 puntos la razón cruzada .

Las distintas geometrías permiten diferentes concepciones de las restricciones geométricas. Por ejemplo, el concepto de círculo tiene sentido en la geometría euclidiana , pero no en la geometría lineal afín ni en la geometría proyectiva, donde los círculos no se distinguen de las elipses, ya que se puede comprimir un círculo para que se convierta en una elipse. De manera similar, la parábola es un concepto de geometría afín, pero no de geometría proyectiva, donde una parábola es simplemente un tipo de cónica. La geometría que predomina en la geometría algebraica es la geometría proyectiva, mientras que la geometría afín tiene un uso significativo, pero mucho menor.

Así, en la geometría euclidiana, tres puntos no colineales determinan un círculo (como la circunferencia circunscrita al triángulo que definen), pero cuatro puntos, en general, no lo hacen (solo lo hacen para cuadriláteros cíclicos ), por lo que la noción de "posición general con respecto a los círculos", es decir, "ningún conjunto de cuatro puntos se encuentra sobre un círculo", tiene sentido. En la geometría proyectiva, en cambio, los círculos no se distinguen de las cónicas, y cinco puntos determinan una cónica, por lo que no existe una noción proyectiva de "posición general con respecto a los círculos".

La posición general es una propiedad de las configuraciones de puntos, o más generalmente de otras subvariedades (líneas en posición general, por lo que no hay tres concurrentes, y cosas así). La posición general es una noción extrínseca , que depende de una incrustación como subvariedad. Informalmente, las subvariedades están en posición general si no se pueden describir de forma más simple que otras. Un análogo intrínseco de la posición general es el tipo general , y corresponde a una variedad que no se puede describir mediante ecuaciones polinómicas más simples que otras. Esto se formaliza mediante la noción de dimensión de Kodaira de una variedad, y según esta medida los espacios proyectivos son las variedades más especiales, aunque hay otras igualmente especiales, es decir, que tienen dimensión de Kodaira negativa. Para curvas algebraicas, la clasificación resultante es: línea proyectiva, toro, superficies de género superior (${\displaystyle g\geq 2}$), y clasificaciones similares aparecen en dimensiones superiores, en particular la clasificación de Enriques-Kodaira de superficies algebraicas .

En la teoría de la intersección , tanto en geometría algebraica como en topología geométrica , se utiliza la noción análoga de transversalidad : las subvariedades en general se intersecan transversalmente, es decir con multiplicidad 1, en lugar de ser tangentes u otras intersecciones de orden superior.

En términos muy abstractos, la posición general es una discusión de propiedades genéricas de un espacio de configuración ; en este contexto, se entiende por propiedades que se cumplen en el punto genérico de un espacio de configuración, o equivalentemente en un conjunto Zariski-abierto.

Esta noción coincide con la noción de genérico en la teoría de la medida , que significa casi en todas partes en el espacio de configuración, o equivalentemente que los puntos elegidos al azar estarán casi con seguridad (con probabilidad 1) en posición general.

• Yale, Paul B. (1968), Geometría y simetría , Holden-Day