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Articulo de referencia

Estructuralismo (filosofía de las matemáticas)

El estructuralismo es una teoría de la filosofía de las matemáticas que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras de objetos matemáticos . Los objetos matemátic...

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El estructuralismo es una teoría de la filosofía de las matemáticas que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras de objetos matemáticos . Los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por su lugar en dichas estructuras. En consecuencia, el estructuralismo afirma que los objetos matemáticos no poseen propiedades intrínsecas , sino que se definen por sus relaciones externas en un sistema. Por ejemplo, el estructuralismo sostiene que el número 1 se define exhaustivamente por ser el sucesor del 0 en la estructura de la teoría de los números naturales ; y, por generalización de este ejemplo, que cualquier número natural se define por su lugar respectivo en dicha teoría. Otros ejemplos de objetos matemáticos podrían ser las líneas y los planos en geometría , o los elementos y las operaciones en álgebra abstracta .

El estructuralismo es una perspectiva epistemológicamente realista, ya que sostiene que las proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad objetivo . Sin embargo, su afirmación central se refiere únicamente al tipo de entidad que es un objeto matemático, y no al tipo de existencia que tienen los objetos o estructuras matemáticas (es decir, su ontología ). El tipo de existencia que tienen los objetos matemáticos dependería de la de las estructuras en las que están integrados; las diferentes subvariedades del estructuralismo hacen diferentes afirmaciones ontológicas al respecto. [ 1 ]

El estructuralismo en la filosofía de las matemáticas se asocia particularmente con Paul Benacerraf , Geoffrey Hellman , Michael Resnik , Stewart Shapiro y James Franklin .

Motivación histórica

La motivación histórica para el desarrollo del estructuralismo se deriva de un problema fundamental de la ontología . Desde la Edad Media , los filósofos han debatido sobre si la ontología de las matemáticas contiene objetos abstractos . En la filosofía de las matemáticas, un objeto abstracto se define tradicionalmente como una entidad que:

(1) existe independientemente de la mente; (2) existe independientemente del mundo empírico; y (3) tiene propiedades eternas e inmutables.

El platonismo matemático tradicional sostiene que ciertos elementos matemáticos —números naturales , números reales , funciones , relaciones , sistemas— son objetos abstractos. Por el contrario, el nominalismo matemático niega la existencia de tales objetos abstractos en la ontología de las matemáticas.

A finales del siglo XIX y principios del XX, varios programas antiplatónicos ganaron popularidad. Entre ellos se encontraban el intuicionismo , el formalismo y el predicativismo . Sin embargo, a mediados del siglo XX, estas teorías antiplatónicas presentaban sus propios problemas. Esto dio lugar a un resurgimiento del interés por el platonismo. Fue en este contexto histórico donde se desarrollaron las motivaciones del estructuralismo. En 1965, Paul Benacerraf publicó un influyente artículo titulado «Lo que los números no podrían ser». [ 2 ] Benacerraf concluyó, basándose en dos argumentos principales, que el platonismo conjuntista no puede tener éxito como teoría filosófica de las matemáticas.

En primer lugar, Benacerraf argumentó que los enfoques platónicos no superan la prueba ontológica. [ 2 ] Desarrolló un argumento contra la ontología del platonismo conjuntista, conocido históricamente como el problema de identificación de Benacerraf . Benacerraf observó que existen formas conjuntistas elementalmente equivalentes de relacionar los números naturales con conjuntos puros . Sin embargo, si se solicitan las declaraciones de identidad "verdaderas" para relacionar los números naturales con conjuntos puros, los diferentes métodos conjuntistas arrojan declaraciones de identidad contradictorias al relacionar estos conjuntos elementalmente equivalentes. [ 2 ] Esto genera una falsedad conjuntista. En consecuencia, Benacerraf infirió que esta falsedad conjuntista demuestra la imposibilidad de que exista algún método platónico para reducir los números a conjuntos que revele objetos abstractos.

En segundo lugar, Benacerraf argumentó que los enfoques platónicos no superan la prueba epistemológica . Sostuvo que no existe un método empírico o racional para acceder a los objetos abstractos. Si los objetos matemáticos no son espaciales ni temporales, Benacerraf infiere que tales objetos no son accesibles a través de la teoría causal del conocimiento . [ 3 ] El problema epistemológico fundamental surge, pues, para el platonista, al ofrecer una explicación plausible de cómo un matemático con una mente empírica limitada es capaz de acceder con precisión a verdades eternas, independientes de la mente y del mundo. Fue a partir de estas consideraciones —el argumento ontológico y el argumento epistemológico— que las críticas antiplatónicas de Benacerraf motivaron el desarrollo del estructuralismo en la filosofía de las matemáticas (aunque véase más adelante en relación con las variantes platónicas de esta última).

Variedades

Stewart Shapiro divide el estructuralismo en tres escuelas de pensamiento principales. [ 4 ] Estas escuelas se denominan ante rem , in re y post rem .

  • El estructuralismo ante rem [ 5 ] ("antes de la cosa"), o estructuralismo abstracto [ 4 ] o abstraccionismo [ 6 ] [ a ] ​​(particularmente asociado con Michael Resnik , [ 4 ] Stewart Shapiro , [ 4 ] Edward Zalta , [ 7 ] Bob Hale y Crispin Wright , [ 8 ] y Øystein Linnebo ) [ 9 ] tiene una ontología similar al platonismo (véase también neologicismo modal ). Se sostiene que las estructuras tienen una existencia real, aunque abstracta e inmaterial. Como tal, se enfrenta al problema epistemológico estándar , como señaló Benacerraf, de explicar la interacción entre tales estructuras abstractas y matemáticos de carne y hueso. [ 3 ] Se han presentado varios intentos para afrontar este desafío: Resnik y Shapiro, por ejemplo, proponen que el conocimiento necesario de las estructuras matemáticas abstractas se obtiene mediante la construcción de sistemas de axiomas, que proporcionan definiciones implícitas de las estructuras relevantes, evitando así cualquier necesidad de contacto entre la mente y las abstractas; alternativamente, y quizás con mayor éxito, Linsky y Zalta (trabajando juntos), y Balaguer (por separado), han desarrollado un enfoque denominado platonismo plenitudinario (o platonismo "de sangre"), en el que se postula que todos los objetos matemáticos que posiblemente podrían existir existen realmente; por lo tanto, no es necesario que se produzca ningún contacto con dichas abstractas: toda teoría matemática internamente consistente describiría con precisión alguna colección de objetos matemáticos (realmente existentes). [ 10 ]
  • El estructuralismo in re [ 5 ] ("en la cosa"), o estructuralismo modal [ 4 ] (particularmente asociado con Geoffrey Hellman ), [ 4 ] es el equivalente del realismo aristotélico [ 11 ] (realismo en el valor de verdad, pero antirrealismo sobre los objetos abstractos en la ontología). Se sostiene que las estructuras existen en la medida en que algún sistema concreto las ejemplifica; o, para el estructuralista modal, en la medida en que es posible que existan de esa manera. Esto conlleva los problemas habituales de que algunas estructuras perfectamente legítimas podrían no existir accidentalmente, y que un mundo físico finito podría no ser lo suficientemente "grande" para albergar algunas estructuras que de otro modo serían legítimas. [ b ] El realismo aristotélico de James Franklin es también un estructuralismo in re , argumentando que las propiedades estructurales como la simetría se instancian en el mundo físico y, por lo tanto, son perceptibles. [ 12 ] En respuesta al problema de las estructuras no instanciadas que son demasiado grandes para caber en el mundo físico, Franklin señala que otras ciencias también pueden tratar con universales no instanciados; por ejemplo, la ciencia del color puede tratar con un tono de azul que resulta no aparecer en ningún objeto real. [ 13 ]
  • El estructuralismo post rem [ 14 ] ("después de la cosa"), o estructuralismo eliminativo [ 4 ] (particularmente asociado con Paul Benacerraf ), [ 4 ] es antirrealista respecto a las estructuras de una manera que se asemeja al nominalismo . Al igual que el nominalismo, el enfoque post rem niega la existencia de objetos matemáticos abstractos con propiedades distintas a su lugar en una estructura relacional. Según esta perspectiva, los sistemas matemáticos existen y tienen características estructurales en común; si algo es cierto para una estructura, será cierto para todos los sistemas que ejemplifican dicha estructura. Sin embargo, es meramente instrumental hablar de estructuras "compartidas" entre sistemas: de hecho, no tienen existencia independiente.

Véase también

Precursores

Notas

  1. ↑ No confundir con el platonismo abstraccionista .
  2. ↑ La versión específicamente modal de este enfoque está sujeta al segundo problema —que el mundo puede no ser capaz de acomodar estructuras más allá de un cierto tamaño (finito)— pero no al primero (ya que la mera posibilidad de instanciación es, para el estructuralista modal, suficiente). [ 5 ]

Referencias

  1. ↑ Brown, James (2008). Filosofía de las matemáticas . Routledge. pág . 62. ISBN  978-0-415-96047-2.
  2. 1 2 3 Benacerraf, Paul (1965). "Lo que los números no podrían ser". Philosophical Review . 74 (1): 47– 73. doi : 10.2307/2183530 . JSTOR 2183530 . 
  3. 1 2 Benacerraf, Paul (1983). «La verdad matemática» . En Putnam, H. W.; Benacerraf, P. (eds.). Filosofía de las matemáticas: Lecturas selectas (2.ª ed.). Cambridge University Press. pp. 403–420 . ISBN   978-0-521-29648-9.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 Shapiro, Stewart (mayo de 1996). "Estructuralismo matemático". Philosophia Mathematica . 4 (2): 81– 82. doi : 10.1093/philmat/4.2.81 .
  5. 1 2 3 Shapiro 1997 , págs. 9–10 
  6. ↑ Tennant, Neil (2017), "Logicismo y neologicismo" , en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy ( edición de invierno de 2017), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 10 de julio de 2022. .
  7. ↑ Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (febrero de 2011). "Un estructuralismo ante rem lógicamente coherente" (PDF) . Taller de dependencia ontológica . Universidad de Bristol.
  8. ↑ Hale, Bob; Wright, Crispin (2001). El estudio adecuado de la razón: ensayos hacia una filosofía neofregeana de las matemáticas . Oxford University Press.
  9. ↑ Linnebo, Øystein (2018). Thin Objects: An Abstractionist Account . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-255896-1.
  10. ↑ Balaguer, Mark (2025), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Platonismo en la metafísica: El argumento epistemológico contra el platonismo" , The Stanford Encyclopedia of Philosophy ( edición de primavera de 2025), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 10 de septiembre de 2025. 
  11. ↑ da Silva, Jairo José (2017). Matemáticas y sus aplicaciones: una perspectiva trascendental-idealista . Springer. pág. 265. ISBN  978-3-319-63073-1.
  12. ↑ Franklin 2014 , págs. 48–59 
  13. ↑ Franklin, James (2015). "Propiedades no instanciadas y aristotelismo semiplatónico" . Review of Metaphysics . 69 (1): 25– 45. JSTOR 24636591. Recuperado el 29 de junio de 2021 . 
  14. ↑ Nefdt, Ryan M. (2018). "Inferencialismo y estructuralismo: una historia de dos teorías" . Logique et Analyse . 244 : 489–512 . doi : 10.2143/LEA.244.0.3285352 .

Bibliografía

  • Franklin, James (2014). Una filosofía realista aristotélica de las matemáticas: las matemáticas como ciencia de la cantidad y la estructura . Palgrave Macmillan. ISBN 978-1-137-40072-7.
  • Resnik, Michael (1982). "Las matemáticas como ciencia de patrones: epistemología". Noûs . 16 (1): 95– 105. doi : 10.2307/2215419 . JSTOR 2215419 . 
  • Resnik, Michael (1997). Las matemáticas como ciencia de los patrones . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-825014-2.
  • Shapiro, Stewart (1997). Filosofía de las matemáticas: Estructura y ontología . Oxford University Press. doi : 10.1093/0195139305.001.0001 . ISBN 978-0-19-513930-3.
  • Estructuralismo matemático , Enciclopedia de filosofía en Internet
  • Abstraccionismo , Enciclopedia de Filosofía en Internet
  • Proyecto de investigación Fundamentos del Estructuralismo , Universidad de Bristol, Reino Unido.