Teorema del incremento

En el análisis no estándar , un campo de las matemáticas, el teorema del incremento establece lo siguiente: Supongamos que una función y = f ( x ) es diferenciable en x y que Δ x es infinitesimal . Entonces $${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon \,\Delta x}$$ para algún infinitesimal ε , donde $${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).}$$

Si${\textstyle \Delta x\neq 0}$entonces podremos escribir $${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)+\varepsilon ,}$$ lo cual implica que${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}\approx f'(x)}$, o en otras palabras que${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$está infinitamente cerca de${\textstyle f'(x)}$, o${\textstyle f'(x)}$es la parte estándar de${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$.

Existe un teorema similar en el cálculo estándar. Supongamos de nuevo que y = f ( x ) es diferenciable, pero ahora sea Δ x un número real estándar distinto de cero. Entonces la misma ecuación $${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon \,\Delta x}$$ se cumple con la misma definición de Δ y , pero en lugar de que ε sea infinitesimal, tenemos $${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\varepsilon =0}$$ (considerando x y f como datos dados, de modo que ε es una función únicamente de Δ x ).

• Cálculo no estándar
• Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal
• Abraham Robinson
• Teorema de Taylor

• Howard Jerome Keisler : Cálculo elemental: Un enfoque infinitesimal . Primera edición: 1976; segunda edición: 1986. Este libro está actualmente agotado. La editorial ha devuelto los derechos de autor al autor, quien ha puesto a disposición la segunda edición en formato PDF para su descarga en http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
• Robinson, Abraham (1996). Análisis no estándar (  Edición revisada). Princeton University Press. ISBN 0-691-04490-2.