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Articulo de referencia

Índice de un álgebra de Lie

En álgebra, sea g un álgebra de Lie sobre un cuerpo K. Sea además ξ ∈ gramo ∗ {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}^{*}} Sea una 1-forma en g . El estabilizador g ξ de ξ es la ...

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En álgebra, sea g un álgebra de Lie sobre un cuerpo K. Sea ademásξ∈gramo∗{\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}Sea una 1-forma en g . El estabilizador g ξ de ξ es la subálgebra de Lie de elementos de g que aniquilan ξ en la representación coadjunta . El índice del álgebra de Lie es

Indiana⁡gramo:=minξ∈gramo∗oscuro⁡gramoξ.{\displaystyle \operatorname {ind} {\mathfrak {g}}:=\min \limits _{\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}\dim {\mathfrak {g}}_{\xi }.}

Ejemplos

Álgebras de Lie reductivas

Si g es reductivo , entonces el índice de g es también el rango de g , porque la representación adjunta y coadjunta son isomorfas y rk g es la dimensión mínima de un estabilizador de un elemento en g . Esta es en realidad la dimensión del estabilizador de cualquier elemento regular en g .

Álgebra de Lie de Frobenius

Si ind g = 0, entonces g se llama álgebra de Lie de Frobenius . Esto es equivalente al hecho de que la forma de KirillovKξ:gramo⊗gramo→K:(incógnita,Y)↦ξ([incógnita,Y]){\displaystyle K_{\xi }\colon {\mathfrak {g\otimes g}}\to \mathbb {K} :(X,Y)\mapsto \xi ([X,Y])} es no singular para algún ξ en g * . Otra condición equivalente cuando g es el álgebra de Lie de un grupo algebraico G , es que g es de Frobenius si y solo si G tiene una órbita abierta en g * bajo la representación coadjunta.

Álgebra de Lie de un grupo algebraico

Si g es el álgebra de Lie de un grupo algebraico G , entonces el índice de g es el grado de trascendencia del cuerpo de funciones racionales en g * que son invariantes bajo la acción (co)adjunta de G. [ 1 ]

Referencias

  1. ↑ Panyushev, Dmitri I. (2003). "El índice de un álgebra de Lie, el centralizador de un elemento nilpotente y el normalizador del centralizador". Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 134 (1): 41– 59. doi : 10.1017/S0305004102006230 . S2CID 13138268 . 

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