Función de indicador (análisis complejo)

En el campo de las matemáticas conocido como análisis complejo , la función indicadora de una función completa indica la tasa de crecimiento de la función en diferentes direcciones.

Consideremos una función completa${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$. Suponiendo que su orden de crecimiento es${\displaystyle \rho }$, la función indicadora de${\displaystyle f}$se define como ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle h_{f}(\theta )=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log |f(re^{i\theta })|}{r^{\rho }}}.}$$

La función indicadora también puede definirse para funciones que no son enteras pero sí analíticas dentro de un ángulo.${\displaystyle D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}}$.

Por la propia definición de la función indicadora, tenemos que el indicador del producto de dos funciones no excede la suma de los indicadores: ^{[ 2 ] : 51–52}$${\displaystyle h_{fg}(\theta )\leq h_{f}(\theta )+h_{g}(\theta ).}$$

De manera similar, el indicador de la suma de dos funciones no excede el mayor de los dos indicadores: $${\displaystyle h_{f+g}(\theta )\leq \max\{h_{f}(\theta ),h_{g}(\theta )\}.}$$

Los cálculos elementales muestran que, si${\displaystyle f(z)=e^{(A+iB)z^{\rho }}}$, entonces${\displaystyle |f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}}$. Por lo tanto, ^{[ 2 ] : 52}$${\displaystyle h_{f}(\theta )=A\cos(\rho \theta )-B\sin(\rho \theta ).}$$

En particular, $${\displaystyle h_{\exp }(\theta )=\cos(\theta ).}$$

Dado que las funciones seno y coseno complejas se pueden expresar en términos de la exponencial, se deduce del resultado anterior que

${\displaystyle h_{\sin }(\theta )=h_{\cos }(\theta )=\left|\sin(\theta )\right|}$

Otra función indicadora fácilmente deducible es la de la función Gamma recíproca . Sin embargo, esta función es de tipo infinito (y de orden${\displaystyle \rho =1}$), por lo tanto, es necesario definir la función indicadora para que sea $${\displaystyle h_{1/\Gamma }(\theta )=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log |1/\Gamma (re^{i\theta })|}{r\log r}}.}$$

La aproximación de Stirling de la función Gamma produce entonces que $${\displaystyle h_{1/\Gamma }(\theta )=-\cos(\theta ).}$$

Otro ejemplo es el de la función de Mittag-Leffler.${\displaystyle E_{\alpha }}$Esta función es de orden${\displaystyle \rho =1/\alpha }$y ^{[ 3 ] : 50}

$${\displaystyle h_{E_{\alpha }}(\theta )={\begin{cases}\cos \left({\frac {\theta }{\alpha }}\right),&{\text{para }}|\theta |\leq {\frac {1}{2}}\alpha \pi$$ ;\\0,&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}

El indicador de la función G de Barnes se puede calcular fácilmente a partir de su expresión asintótica (que aproximadamente dice que${\displaystyle \log G(z+1)\sim {\frac {z^{2}}{2}}\log z}$):

${\displaystyle h_{G}(\theta )={\frac {\log(G(re^{i\theta }))}{r^{2}\log(r)}}={\frac {1}{2}}\cos(2\theta ).}$

Aquellos${\displaystyle h}$funciones indicadoras que son de la forma $${\displaystyle h(\theta )=A\cos(\rho \theta )+B\sin(\rho \theta )}$$ se llaman${\displaystyle \rho }$-convexo trigonométricamente (${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son constantes reales). Si${\displaystyle \rho =1}$, simplemente decimos que${\displaystyle h}$es trigonométricamente convexa.

Estos indicadores poseen algunas propiedades especiales. Por ejemplo, las siguientes afirmaciones son todas verdaderas para una función indicadora que es trigonométricamente convexa al menos en un intervalo${\displaystyle (\alpha,\beta)}$: ^{[ 1 ] : 55–57 [ 2 ] : 54–61}

• Si${\displaystyle h(\theta _{1})=-\infty }$por un${\displaystyle \theta _{1}\in (\alpha ,\beta )}$, entonces${\displaystyle h=-\infty }$en todas partes${\displaystyle (\alpha,\beta)}$.
• Si${\displaystyle h}$está delimitado por${\displaystyle (\alpha,\beta)}$, entonces es continua en este intervalo. Además,${\displaystyle h}$satisface una condición de Lipschitz en${\displaystyle (\alpha,\beta)}$.
• Si${\displaystyle h}$está delimitado por${\displaystyle (\alpha,\beta)}$, entonces tiene derivada tanto por la izquierda como por la derecha en cada punto del intervalo${\displaystyle (\alpha,\beta)}$Además, la derivada por la izquierda no es mayor que la derivada por la derecha. Asimismo, se cumple que la derivada por la derecha es continua por la derecha, mientras que la derivada por la izquierda es continua por la izquierda.
• Si${\displaystyle h}$está delimitado por${\displaystyle (\alpha,\beta)}$, entonces tiene derivada en todos los puntos, excepto posiblemente en un conjunto numerable .
• Si${\displaystyle h}$es${\displaystyle \rho }$-trigonométricamente convexo en${\displaystyle [\alfa,\beta]}$, entonces${\displaystyle h(\theta )+h(\theta +\pi /\rho )\geq 0}$, cuando sea${\displaystyle \alpha \leq \theta <\theta +\pi /\rho \leq \beta }$.