Notación de índice

Un vector tratado como una matriz de números escribiéndolo como un vector fila o un vector columna (el que se utilice dependerá de la conveniencia o el contexto):

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$

La notación de índices permite indicar los elementos de la matriz simplemente escribiendo una _i , donde se sabe que el índice i va de 1 a n , debido a las n dimensiones. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, dado el vector:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}10&8&9&6&3&5\\\end{pmatrix}}}$

entonces algunas entradas son

${\displaystyle a_{1}=10,\,a_{2}=8,\,\cdots ,\,a_{6}=5}$.

La notación se puede aplicar a vectores en matemáticas y física . La siguiente ecuación vectorial

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {c} }$

También se puede escribir en términos de los elementos del vector (también llamados componentes), es decir

${\displaystyle a_{i}+b_{i}=c_{i}}$

donde los índices toman un rango de valores determinado. Esta expresión representa un conjunto de ecuaciones, una para cada índice. Si cada vector tiene n elementos, es decir , i = 1, 2, ... , n , entonces las ecuaciones son explícitamente...

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}+b_{1}&=c_{1}\\a_{2}+b_{2}&=c_{2}\\&\ \ \vdots \\a_{n}+b_{n}&=c_{n}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la notación de índice sirve como una forma abreviada eficiente de

1. representando la estructura general de una ecuación,
2. si bien es aplicable a componentes individuales.

Se utiliza más de un índice para describir conjuntos de números en dos o más dimensiones, como los elementos de una matriz (véase también la imagen de la derecha);

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}}$

La entrada de una matriz A se escribe usando dos índices, digamos i y j , con o sin comas para separarlos: a _ij o a _i,j , donde el primer subíndice es el número de fila y el segundo el número de columna. La yuxtaposición también se usa como notación para la multiplicación; esto puede ser fuente de confusión. Por ejemplo, si

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}9&8&6\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{pmatrix}}}$

entonces algunas entradas son

${\displaystyle a_{11}=9,\,a_{12}=8,\,a_{21}=1,\,\cdots ,\,a_{23}=7,\,\cdots }$.

Para índices mayores que 9, puede ser preferible la notación basada en comas (por ejemplo, un _3,12 en lugar de un ₃₁₂ ).

Las ecuaciones matriciales se escriben de forma similar a las ecuaciones vectoriales, como por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {C} }$

en términos de los elementos de las matrices (también llamados componentes)

${\displaystyle A_{ij}+B_{ij}=C_{ij}}$

para todos los valores de i y j . Nuevamente, esta expresión representa un conjunto de ecuaciones, una para cada índice. Si cada matriz tiene m filas y n columnas, es decir , i = 1, 2, …, m y j = 1, 2, …, n , entonces hay mn ecuaciones.

La notación permite una clara generalización a matrices multidimensionales de elementos: tensores. Por ejemplo,

${\displaystyle A_{i_{1}i_{2}\cdots }+B_{i_{1}i_{2}\cdots }=C_{i_{1}i_{2}\cdots }}$

representando un conjunto de muchas ecuaciones.

En el análisis tensorial, se utilizan superíndices en lugar de subíndices para distinguir entidades covariantes de contravariantes, véase covarianza y contravarianza de vectores e índices de elevación y descenso .

Las cosas se vuelven más interesantes cuando consideramos arreglos con más de un índice, por ejemplo, una tabla bidimensional. Tenemos tres posibilidades:

• convertir la matriz bidimensional en unidimensional calculando un único índice a partir de los dos
• Consideremos una matriz unidimensional donde cada elemento es otra matriz unidimensional, es decir, una matriz de matrices.
• Utilice almacenamiento adicional para guardar la matriz de direcciones de cada fila de la matriz original y almacene las filas de la matriz original como matrices unidimensionales separadas.

En C, se pueden usar los tres métodos. Cuando se usa el primer método, el programador decide cómo se organizan los elementos del array en la memoria de la computadora y proporciona las fórmulas para calcular la ubicación de cada elemento. El segundo método se usa cuando el número de elementos en cada fila es el mismo y se conoce al momento de escribir el programa. El programador declara que el array tiene, por ejemplo, tres columnas escribiendo elementtype tablename[][3];. Luego se hace referencia a un elemento particular del array escribiendo tablename[first index][second index]. El compilador calcula el número total de celdas de memoria ocupadas por cada fila, usa el primer índice para encontrar la dirección de la fila deseada y luego usa el segundo índice para encontrar la dirección del elemento deseado en la fila. Cuando se usa el tercer método, el programador declara la tabla como un array de punteros, como en elementtype *tablename[];. Cuando el programador especifica posteriormente un elemento particular tablename[first index][second index], el compilador genera instrucciones para buscar la dirección de la fila especificada por el primer índice y usar esta dirección como base al calcular la dirección del elemento especificado por el segundo índice.

void mult3x3f ( float result [][ 3 ], const float A [][ 3 ], const float B [][ 3 ]) { int i , j , k ; for ( i = 0 ; i < 3 ; ++ i ) { for ( j = 0 ; j < 3 ; ++ j ) { result [ i ][ j ] = 0 ; for ( k = 0 ; k < 3 ; ++ k ) result [ i ][ j ] += A [ i ][ k ] * B [ k ][ j ]; } } }