Métrica inducida

En matemáticas y física teórica , la métrica inducida es el tensor métrico definido en una subvariedad que se induce a partir del tensor métrico en una variedad en la que está incrustada la subvariedad, mediante el retroceso . ^{[ 1 ]} Se puede determinar utilizando la siguiente fórmula (utilizando la convención de suma de Einstein ), que es la forma componente de la operación de retroceso: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }\ }$

Aquí${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$describir los índices de coordenadas${\displaystyle \xi ^{a}}$de la subvariedad mientras que las funciones${\displaystyle X^{\mu }(\xi ^{a})}$codificar la incrustación en la variedad de dimensión superior cuyos índices tangentes se denotan${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle \nu }$.

Dejar

${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {C}}\to \mathbb {R} ^{3},\ \tau \mapsto {\begin{cases}{\begin{aligned}x^{1}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\cos(m\cdot \tau )\\x^{2}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\sin(m\cdot \tau )\\x^{3}&=b\sin(n\cdot \tau ).\end{aligned}}\end{cases}}}$

ser un mapa del dominio de la curva${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ con parámetro${\displaystyle \tau }$en la variedad euclidiana${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Aquí${\displaystyle a,b,m,n\in \mathbb {R} }$son constantes.

Luego se proporciona una métrica en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$como

${\displaystyle g=\sum \limits _ {\mu ,\nu }g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\otimes \mathrm {d} x^{\nu }\quad {\text{con}}\quad g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.

y calculamos

${\displaystyle g_{\tau \tau }=\sum \limits _ {\mu ,\nu }{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \tau }}\underbrace {g_{\mu \nu }} _{\delta _ {\mu \nu }}=\sum \limits _{\mu }\left({\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}\right)^{2}=m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2}}$

Por lo tanto${\displaystyle g_{\mathcal {C}}=(m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2})\,\mathrm {d} \tau \otimes \mathrm {d} \tau }$

• Primera forma fundamental